円錐台型単体ハニカム

幾何学において、円錐台単体ハニカム（または円錐台n単体ハニカム）は、アフィン・コクセター群の対称性に基づく、ハニカムの次元無限級数である。これはシュレーフリ記号t _0,1 {3 ^[n+1] }で表され、コクセター・ディンキン図では、隣接する2つのノードが環状に並んだn+1ノードの巡回グラフとして表される。これはn単体ファセットと、すべての円錐台単体から構成される。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$

格子ではありませんが、2次元や3次元では カゴメ格子とも呼ばれます。

n次元では、各超平面は空間を分割するn+1組の平行超平面の集合として見ることができます。各超平面には、1次元低い同じハニカム構造が含まれています。

1次元では、ハニカムは交互に色分けされた線分を持つアペイロゴンを表します。2次元では、ハニカムはコクセターグラフを持つ三六角形のタイル張りを表します。3次元では、コクセターグラフを持つ1/4立方体ハニカム構造を表す。空間を交互に正四面体と切頂正四面体セルで充填する。4次元では、コクセターグラフを持つ、円周切頂5セルハニカムと呼ばれる。5セル面、切断5セル面、および二切断5セル面を持つ。5次元では、サイクロ切断5単体ハニカムと呼ばれ、コクセターグラフを持つ。は、 5単体、切断5単体、および二切断5単体の面で空間を埋める。6次元では、これはサイクロ切断6単体ハニカムと呼ばれ、コクセターグラフを持つ。、6 単体、切り詰められた 6 単体、2 切り詰められた 6 単体、および3 切り詰められた 6 単体の面で空間を埋めます。

n	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$	名前 コクセター図	頂点図形	イメージとファセット
1	${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$	アペイロゴン		黄色とシアンの線分
2	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	三角形のタイル張り	矩形	黄色と青の正三角形と 赤い六角形
3	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$	1/4立方ハニカム	細長い 三角形の反プリズム	黄色と青の四面体と 赤と紫の切頂四面体
4	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$	サイクロトランケーテッド5セルハニカム	細長い 四面体反プリズム	5セル、切り捨て5セル、 ビット切り捨て5セル
5	${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}$	サイクロトランケーテッド5単体ハニカム		5-単体、切り捨て5-単体、 ビット切り捨て5-単体
6	${\displaystyle {\tilde {A}}_{6}}$	サイクロトランケーテッド6単体ハニカム		6単体、切り捨て6単体、 二切り捨て6単体、三切り捨て6単体
7	${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$	サイクロトランケーテッド7単体ハニカム		7-単体、切り捨て7-単体、 ビット切り捨て7-単体
8	${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$	サイクロトランケーテッド8単体ハニカム		8 単体、切り捨て 8 単体、 2 切り捨て 8 単体、3 切り捨て 8 単体、 4 切り捨て 8 単体

折り畳みによる投影

円切断された(2 n + 1)-および2 n-単体ハニカムと(2 n −1)-単体ハニカムは、同じ頂点配置を共有する2組の鏡を互いに写像する幾何学的折り畳み操作によって、n次元超立方ハニカムに投影することができます。

${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{9}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{11}}$		...
${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{6}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{10}}$		...
		${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$		${\displaystyle {\tilde {A}}_{9}}$		...
${\displaystyle {\tilde {C}}_{1}}$		${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$		${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$		${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$		${\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}$		...

参照

• 超立方ハニカム
• 交互超立方ハニカム
• 1/4超立方ハニカム
• 単純ハニカム
• 全切形単体ハニカム

参考文献

• ジョージ・オルシェフスキー『均一な全倍数体テトラコーム』原稿（2006年）（11個の凸均一タイリング、28個の凸均一ハニカム、および143個の凸均一テトラコームの完全なリスト）
• Branko Grünbaum , 3次元空間の均一タイリング. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
• コクセター『HSM 正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]
  • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] （1.9 一様空間充填）
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\チルダ {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ / /${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\チルダ {E}}_{n-1}}$
E ^2	均一なタイリング	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	六角
E ^3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E4^​	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24セルハニカム
E ^5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E ^6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E ^7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E8^​	均一な8ハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E9^​	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E ^10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E ^n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21