空間曲線のフレネ座標系の角速度ベクトル
微分幾何学 、特に空間曲線の理論 において、 ダルブーベクトルは 空間曲線の フレネフレーム の 角速度 ベクトル である。 [1] 発見者である ガストン・ダルブー にちなんで名付けられた。 [2] 角運動量 に正比例するため、 角運動量ベクトル とも呼ばれる 。
フレネ・セレ装置を用いると、ダルブーベクトル ω は次のように表される [3]。
ω
＝ τ
T
+ κ
B
（ 1 ）
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\tau \mathbf {T} +\kappa \mathbf {B} \qquad \qquad (1)}
そして、次のような対称的な 性質を持つ ： [2]
ω
×
T
＝
T ′
、
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}\times \mathbf {T} =\mathbf {T'} ,}
ω
×
北
＝
北 ′
、
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {N} =\mathbf {N'} ,}
ω
×
B
＝
B ′
、
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}\times \mathbf {B} =\mathbf {B'} ,}
これは式(1)からフレネ・セレの定理 を用いて導くことができる （あるいはその逆）。
剛体が、 β ( t )によってパラメトリックに記述される正則曲線に沿って運動するとする 。この物体は固有の 座標系を 持つ。物体が曲線に沿って運動する際、その固有座標系は曲線のフレネ座標系と一致するようにする。このとき、物体の運動は2つのベクトル、すなわち並進ベクトルと 回転ベクトル ω （面速度ベクトル：ダルブーベクトル）によって記述される。
この回転は物理的なものではなく、運動 学的なものであることに注意してください。なぜなら、通常、剛体が空間内を自由に運動する場合、その回転は並進運動とは独立しているからです。例外となるのは、 ジェットコースター のカートのように、物体の回転が並進運動と一致するように物理的に制約されている場合です 。
剛体が規則曲線に沿って滑らかに運動している様子を考えてみましょう。並進運動を「因数分解」すると、物体はフレネ座標系と同じ方向に回転しているように見えます。フレネ座標系全体の回転は、3つのフレネベクトルそれぞれの回転の組み合わせです。
ω
＝
ω
T
+
ω
北
+
ω
B
。
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }.}
各フレネベクトルは、剛体の中心である「原点」（物体内の任意の点をその中心と呼ぶ）の周りを動きます。接線ベクトルの面速度は、以下の式で表されます。
ω
T
＝
リム
Δ t → 0
T
（ t ） ×
T
（ t + Δ t ）
2 Δ t
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T} (t+\Delta t) \over 2\,\Delta t}}
＝
T
（ t ） ×
T ′
（ t ）
2
。
{\displaystyle ={\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T'} (t) \over 2}.}
同じく、
ω
北
＝
1 2
北
（ t ） ×
北 ′
（ t ） 、
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\ \mathbf {N} (t)\times \mathbf {N'} (t),}
ω
B
＝
1 2
B
（ t ） ×
B ′
（ t ） 。
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\ \mathbf {B} (t)\times \mathbf {B'} (t).}
ここでフレネ・セレの定理を適用して面速度成分を求めます。
ω
T
＝
1 2
T
×
T ′
＝
1 2
κ
T
×
北
＝
1 2
κ
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }={1 \over 2}\mathbf {T} \times \mathbf {T'} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {T} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} }
ω
北
＝
1 2
北
×
北 ′
＝
1 2
（ − κ
北
×
T
+ τ
北
×
B
） ＝
1 2
（ κ
B
+ τ
T
）
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\mathbf {N} \times \mathbf {N'} ={1 \over 2}(-\kappa \mathbf {N} \times \mathbf {T} +\tau \mathbf {N} \times \mathbf {B} )={1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )}
ω
B
＝
1 2
B
×
B ′
＝ −
1 2
τ
B
×
北
＝
1 2
τ
T
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\mathbf {B} \times \mathbf {B'} =-{1 \over 2}\tau \mathbf {B} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\tau \mathbf {T} }
となることによって
ω
＝
1 2
κ
B
+
1 2
（ κ
B
+ τ
T
） +
1 2
τ
T
＝ κ
B
+ τ
T
、
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} +{1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )+{1 \over 2}\tau \mathbf {T} =\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} ,}
主張どおり。
ダルブーベクトルは、曲率 κ と ねじれ τを 幾何学的に解釈する簡潔な方法を提供します 。曲率は、フレネフレームの従法線単位ベクトルを中心とした回転の尺度であり、ねじれはフレネフレームの接線単位ベクトルを中心とした回転の尺度です。 [2]
参考文献
^ ストーカー、JJ（2011）、微分幾何学、純粋数学と応用数学、第20巻、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、p.62、 ISBN 9781118165478 。 ^ abc Farouki, Rida T. (2008), ピタゴラス-ホドグラフ曲線：代数と幾何学の不可分性、Geometry and Computing、第1巻、Springer、p. 181、 ISBN 9783540733980 。 ^ Oprea, John (2007)、微分幾何学とその応用、アメリカ数学協会教科書、MAA、p. 21、 ISBN 9780883857489 。
