日の畳み込み

数学、特に圏論において、デイ畳み込みは関数畳み込みの圏化版と見ることができる関数に対する演算である。これは1970年にブライアン・デイ^{[1]によって、}エンリッチド関数圏の一般的な文脈において初めて導入された。

Day 畳み込みは、2 つの対称モノイド カテゴリに対して対称モノイド構造を与えます。 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathbf {C} ,\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ,\mathbf {D} }$

関連するもう1つのバージョンは、Day 畳み込みが、あるモノイド カテゴリ上の関数のカテゴリ上のモノイド カテゴリ構造のテンソル積として機能するというものです。 ${\displaystyle [\mathbf {C} ,V]}$ ${\displaystyle V}$

意味

最初のバージョン

2 つの対称モノイド について、Day 畳み込みを次のように定義します。 ${\displaystyle F,G\colon \mathbf {C} \to \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} ,\mathbf {D} }$

それは構成に沿った左カンの延長です${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to ^{\otimes }\mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to ^{F,G}\mathbf {D} \times \mathbf {D} \to ^{\otimes }\mathbf {D} }$

このようにオブジェクト について評価すると、の近似を純粋テンソルとして近似した の余極限を直感的に得ることができる。${\displaystyle O\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle F(x)\otimes G(y)}$ ${\displaystyle O\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle x\otimes y}$

左カン拡張はcoendsを介して計算され、以下のバージョンになります。

強化版

を対称モノイド閉圏上に拡がるモノイド圏とする。2つの関手 が与えられ、それらのデイ畳み込みを次の共終点として定義する。^[2]${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes _{c})}$ ${\displaystyle (V,\otimes )}$ ${\displaystyle F,G\colon \mathbf {C} \to V}$

${\displaystyle F\otimes _{d}G=\int ^{x,y\in \mathbf {C} }\mathbf {C} (x\otimes _{c}y,-)\otimes Fx\otimes Gy}$

が対称ならば、も対称である。これは結合的モノイド積を定義することが証明できる。 ${\displaystyle \otimes _{c}}$ ${\displaystyle \otimes _{d}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(F\otimes _{d}G)\otimes _{d}H\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}(F\otimes _{d}G)c_{1}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}\left(\int ^{c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\right)\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{2}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{3}}Fc_{3}\otimes (G\otimes _{d}H)c_{1}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&F\otimes _{d}(G\otimes _{d}H)\end{aligned}}}$

参考文献

1. デイ、ブライアン (1970). 「関数の閉圏について」.ミッドウェストカテゴリーセミナーIV報告, 数学講義ノート. 139 : 1–38 .
2. ロレギアン、フォスコ (2021). (共同)微積分を終了します。 p. 51. arXiv : 1501.02503。土井：10.1017/9781108778657。ISBN 9781108778657. S2CID  237839003。

外部リンク

• nラボでの日中畳み込み