ヤコビ楕円関数

数学において、ヤコビの楕円関数は基本的な楕円関数の集合である。これらは振り子の運動の記述や電子楕円フィルタの設計に用いられる。三角関数は円を基準として定義されるが、ヤコビの楕円関数は他の円錐曲線、特に楕円を参照する一般化である。三角関数との関係は表記法に含まれており、例えば の対応する表記法などである。ヤコビの楕円関数は複素解析の概念を定義および/または理解する必要がないため、ワイエルシュトラスの楕円関数よりも実用的な問題でよく用いられる。これらはカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ ( 1829 ) によって導入された。カール・フリードリヒ・ガウスは1797 年に既に特殊なヤコビの楕円関数、特にレムニスケート楕円関数を研究していたが^{[ 1 ]}、その研究が発表されたのはずっと後のことであった。 ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \sin}$

概要

複素平面上の基本長方形${\displaystyle u}$

で表されるヤコビの楕円関数は12個あります。ここで、およびは、文字、、、のいずれかです。（表記の完全性のため、 の形の関数は当然1に設定されます。）は引数、 はパラメータであり、どちらも複素数である可能性があります。実際、ヤコビの楕円関数はと の両方において有理型です。^{[ 2 ] -}平面における零点と極の分布はよく知られています。しかし、 -平面における零点と極の分布に関する問題は未だ解明されていません。^{[ 2 ]}${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

複素引数平面において、12個の関数は単純な極と零点の繰り返し格子を形成する。^{[ 3 ]}関数に応じて、1つの繰り返し平行四辺形、すなわち単位セルは、実軸上に長さまたはの辺を持ち、虚軸上に長さまたはの辺を持つ。ここで、およびは4分の1周期として知られ、は第一種楕円積分である。単位セルの性質は、「補助長方形」（一般に平行四辺形）を調べることで判断できる。補助長方形は、原点を1つの角、 対角線上の対角を とする長方形である。図に示すように、補助長方形の4つの角は、原点から反時計回りに、、、、と名付けられる。関数は、角に零点を持ち、角に極を持つ。12個の関数は、これらの極と零点を長方形の角に配置する12通りの方法に対応している。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 2K'}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K=K(m)}$ ${\displaystyle K'=K(1-m)}$ ${\displaystyle K(\cdot )}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (K,K')}$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$

引数とパラメータが実数の場合、 と は実数となり、補助平行四辺形は実際には長方形となり、ヤコビの楕円関数はすべて実数直線上で実数値となります。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$

ヤコビの楕円関数は において二重周期的であるため、トーラスを介して因数分解されます。つまり、コサインとサインが円上で事実上定義されているのと同じように、その定義域はトーラスと見なすことができます。1 つの円だけではなく、実円と虚円の 2 つの円の積が得られます。複素平面は複素トーラスで置き換えることができます。最初の円の円周は、 2 番目の円の円周は です。ここで、とは の4 分の 1 周期です。各関数には、トーラス上の反対の位置に 2 つの零点と 2 つの極があります。点、、の間には、零点が 1 つと極が 1 つあります。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K+iK'}$ ${\displaystyle iK'}$

ヤコビの楕円関数は、以下の特性を満たす二重周期有理型関数です。

• コーナーには単純なゼロがあり、コーナーには単純なポールが あります。${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$
• 複素数は関数 の周期の半分に等しい。つまり、関数 は方向に周期的であり、周期は である。関数 は他の2つの方向と にも周期的であり、周期はと が4分の1周期となる。${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} }$ ${\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \mathrm {pp} '}$ ${\displaystyle \mathrm {pq} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}$

ヤコビ楕円関数${\displaystyle \operatorname {sn} }$

ヤコビ楕円関数${\displaystyle \operatorname {cn} }$

ヤコビ楕円関数${\displaystyle \operatorname {dn} }$

ヤコビ楕円関数${\displaystyle \operatorname {sc} }$

複素平面における4つのヤコビ楕円関数のプロット。これらの関数の二重周期的挙動を示している。これらの画像は、領域彩色法の一種を用いて生成されたものである。^{[ 4 ]}いずれも の値はに等しい。${\displaystyle u}$ ${\displaystyle k={\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 0.8}$

表記

楕円関数は様々な表記法で表すことができるため、不必要に混乱を招く可能性があります。楕円関数は2変数の関数です。最初の変数は振幅 で表されますが、より一般的には以下に示す で表されます。2番目の変数はパラメータ、楕円係数 （ここで ）、またはモジュラー角 （ここで ）で表されます。との補集合はそれぞれ およびと として定義されます。以下では、これらの4つの用語は、様々な式を簡略化するために特に説明することなく使用されています。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'=1-m}$ ${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$

12個のヤコビ楕円関数は一般に と表記され、およびは文字、、、のいずれかである。 の形の関数は、表記の完全性を保つために自明に 1 に設定される。「主要な」関数は一般にとされ、他のすべての関数はこれら3つの関数から導かれ、式はこれら3つの関数のみで記述されることが多いが、様々な対称性や一般化は、これら3つの関数全体を用いることで最も簡便に表現されることが多い。（この表記法はグーダーマンとグライシャーによるもので、ヤコビ独自の表記法ではない。） ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$

この記事全体を通じて、. ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}$

これらの関数は、乗算規則によって表記上互いに関連している：（引数は省略）

${\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }$

そこから他のよく使われる関係が導き出されます:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }$

${\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }$

楕円関数とネヴィル・シータ関数の同一視から、乗法則は直ちに導かれる^{[ 5 ]。}

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

また、次の点にも注意してください。

${\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$

楕円積分の逆関数による定義

ヤコビ振幅（縦軸に沿って測定）の独立変数uと係数kの関数としてのモデル

楕円関数を第一種不完全楕円積分 の逆関数と関連付ける定義が存在する。これらの関数は、パラメータとを入力として取る。を満たす ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=F(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

はヤコビ振幅と呼ばれる：

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi .}$

この枠組みでは、楕円正弦sn  u（ラテン語：sinus amplitudinis）は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=\sin \operatorname {am} (u,m)}$

楕円余弦cn  u（ラテン語：cosinus amplitudinis）は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\cos \operatorname {am} (u,m)}$

およびデルタ振幅dn  u (ラテン語: delta amplitudinis ) ^{[注 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u,m).}$

上記において、値は自由パラメータであり、通常は となる実数（ただし、一般には複素数となる場合もある）とみなされるため、楕円関数は2つの変数とパラメータ によって与えられると考えることができます。残りの9つの楕円関数は、上記の3つの関数（ 、、 ）から簡単に構築でき、以下のセクションで説明します。 のとき、 は4分の1周期に等しいことに注意してください。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$ ${\displaystyle u}$  ${\displaystyle K}$

最も一般的な設定では、は、 （ における）無限個の対数分岐点（分岐は の整数倍だけ異なる）を持つ多価関数である。つまり、およびで、となる。^{[ 6 ]}この多価関数は、これらの分岐点を結んでいる線分に沿って複素平面を切断することによって単価にすることができる（切断は非等価な方法で実行でき、非等価な単価関数を与える）。したがって、 は分岐切断を除くあらゆる場所で解析的になる。対照的に、などの楕円関数には分岐点がなく、 のすべての分岐に対して矛盾のない値を与え、複素平面全体で有理型である。すべての楕円関数は（定義により）複素平面全体で有理型であるため、（単価関数として考えると）は楕円関数ではない。 ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \sin \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$

しかし、 をからへの線分で -平面上に切断することは可能であり、その後は、ある方向からの連続性によって における分岐切断を定義するだけで済みます。すると は、最小周期で において単値かつ単周期となり、前述の対数分岐点で特異点を持ちます。および の場合、は実数直線上で において連続します。 のとき、の-平面上の分岐切断はについてで実数直線と交差します。したがって の場合、は実数直線上で において連続せず、不連続点で を飛び越えます。 ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 4iK(1-m)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2\pi }$

しかし、このように定義すると、 -平面（ -平面ではない）で非常に複雑な分岐が生じます。これらはまだ完全には説明されていません。 ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$

させて

${\displaystyle E(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$

をパラメータとする第二種不完全楕円積分とする。 ${\displaystyle m}$

ヤコビイプシロン関数は次のように定義される。

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=E(\operatorname {am} (u,m),m)}$

およびに対して、各変数における解析接続により、ヤコビイプシロン関数は複素平面全体（およびの両方）で有理型である。あるいは、 -平面および-平面の両方において、^{[ 7 ]}${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,m)\,\mathrm {d} t;}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ はこのように明確に定義される。なぜならのすべての留数がゼロであるので、積分は経路独立であるからである。したがって、ヤコビのイプシロンは第一種不完全楕円積分と第二種不完全楕円積分を次のように関連付ける。 ${\displaystyle t\mapsto \operatorname {dn} (t,m)^{2}}$

${\displaystyle E(\varphi ,m)={\mathcal {E}}(F(\varphi ,m),m).}$

ヤコビのイプシロン関数は楕円関数ではありませんが、ヤコビの楕円関数をパラメータに関して微分すると現れます。

ヤコビzn関数は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\mathcal {E}}(u,m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.}$

これは単周期関数であり、 では有理型であるが、 では有理型ではない（との分岐切断のため）。 における最小周期はである。これはヤコビゼータ関数と次式で関連している。${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K(m)}$ ${\displaystyle Z(\varphi ,m)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,m),m).}$

歴史的に、ヤコビの楕円関数は振幅を用いて最初に定義されました。楕円関数に関するより現代的な文献では、ヤコビの楕円関数は他の方法、例えばシータ関数の比（下記参照）によって定義され、振幅は無視されます。

現代的な用語で言えば、楕円積分との関係はではなく(または) で表現されます。 ${\displaystyle \operatorname {sn} (F(\varphi ,m),m)=\sin \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (F(\varphi ,m),m)=\cos \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (F(\varphi ,m),m)=\varphi }$

三角法としての定義：ヤコビの楕円

ヤコビの楕円（x ²  +  y ² / b ²  = 1、b は 実数）と、特定の角度φとパラメータ bの値に対する12個のヤコビ楕円関数pq ( u , m ) のプロット。実線は楕円で、 m  = 1 − 1/ b ²、u  =  F ( φ、m ) である。ここで、 F (⋅,⋅) は第1種楕円積分（パラメータ ）である。点線は単位円である。円と楕円のx  = cdにおける接線とx軸の dc における接線は、薄い灰色で示されている。${\displaystyle m=k^{2}}$

${\displaystyle \cos \varphi ,\,\sin \varphi }$ は、半径が で、角がの単位円上に定義され、正のx軸から測った単位円の弧の長さである。同様に、ヤコビの楕円関数は、との単位楕円上に定義される。 ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \varphi =}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle b\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$

それからそして ${\displaystyle 0\leq m<1}$

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

各角度のパラメータ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$

（第一種不完全楕円積分）を計算します。単位円（）上では、弧長は となります。しかし、と楕円の弧長の関係はより複雑です。^{[ 8 ]}${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

を楕円上の点とし、を単位円がと原点を結ぶ直線と交わる点とします。すると、単位円から得られるおなじみの関係が成立 します。${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$

楕円を読み取る

${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$

したがって、直線と単位円の交点のx軸およびy軸への射影は、単におよびとなる。これらの射影は「三角法による定義」と解釈できる。つまり、 ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle OP}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}$

と パラメータを持つ点のと値については、関係式を挿入することで ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$

とに代入すると、 ${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos \varphi }$ ${\displaystyle y=r(\varphi ,m)\sin \varphi }$

${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$

単位楕円上の点のx座標とy座標に関する後者の関係は、単位円上の点の座標に関する 関係の一般化として考えることができます。${\displaystyle x=\cos \varphi }$ ${\displaystyle y=\sin \varphi }$

次の表は、変数( x , y , r )と( φ ,dn)におけるすべてのヤコビ楕円関数pq(u,m)の式をまとめたものです。 ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

ヤコビ楕円関数pq[ u , m ]を{ x , y , r }と{ φ ,dn} の関数として

		q
		c	s	n	d
p
	c	1	${\displaystyle x/y=\cot(\varphi )}$	${\displaystyle x/r=\cos(\varphi )}$	${\displaystyle x=\cos(\varphi )/\operatorname {dn} }$
	s	${\displaystyle y/x=\tan(\varphi )}$	1	${\displaystyle y/r=\sin(\varphi )}$	${\displaystyle y=\sin(\varphi )/\operatorname {dn} }$
	n	${\displaystyle r/x=\sec(\varphi )}$	${\displaystyle r/y=\csc(\varphi )}$	1	${\displaystyle r=1/\operatorname {dn} }$
	d	${\displaystyle 1/x=\sec(\varphi )\operatorname {dn} }$	${\displaystyle 1/y=\csc(\varphi )\operatorname {dn} }$	${\displaystyle 1/r=\operatorname {dn} }$	1

ヤコビのシータ関数による定義

楕円積分の使用

同様に、ヤコビの楕円関数はシータ関数を用いて定義することができる。^{[ 9 ]}となるように、 ${\displaystyle z,\tau \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle \theta _{1}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{2}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{3}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2niz+\pi i\tau n^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{4}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{2niz+\pi i\tau n^{2}}}$

、、とします 。そして、、、および、${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\theta _{2}(0|\tau )}$ ${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\theta _{3}(0|\tau )}$ ${\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\theta _{4}(0|\tau )}$ ${\displaystyle K=K(m)}$ ${\displaystyle K'=K(1-m)}$ ${\displaystyle \zeta =\pi u/(2K)}$ ${\displaystyle \tau =iK'/K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}.\end{aligned}}}$

Jacobi zn関数はシータ関数でも表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u,m)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{4}'(\zeta |\tau )}{\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{3}'(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\zeta |\tau )}}+m{\frac {\operatorname {sn} (u,m)\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{2}'(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\zeta |\tau )}}+{\frac {\operatorname {dn} (u,m)\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {cn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{1}'(\zeta |\tau )}{\theta _{1}(\zeta |\tau )}}-{\frac {\operatorname {cn} (u,m)\operatorname {dn} (u,m)}{\operatorname {sn} (u,m)}}\end{aligned}}}$

ここで、は最初の変数に関する 偏微分を表します。${\displaystyle '}$

モジュラー反転の使用

実際、ウィテカーとワトソンによるヤコビ楕円関数の定義は、上で示したものとは少し異なっており（しかし、それと同値である）、モジュラー反転に依存している 。 ${\displaystyle \lambda }$

複素平面上の領域。下から2つの半円、左から1本の半円、右から1本の半円によって囲まれます。${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}},}$

のすべての値は、一度だけ^{[ 10 ]}で 仮定されます${\displaystyle \mathbb {C} -\{0,1\}}$

${\displaystyle F_{1}-(\partial F_{1}\cap \{\tau \in \mathbb {H} :\operatorname {Re} \tau <0\})}$

ここで、 は複素平面の上半平面であり、は の境界であり、${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \partial F_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle F_{1}=\{\tau \in \mathbb {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq 1,\left|\operatorname {Re} (1/\tau )\right|\leq 1\}.}$

このようにして、各はただ1つのとのみ関連付けられる。そして、ウィテカーとワトソンはヤコビの楕円関数を次のように定義する。 ${\displaystyle m\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\lambda (\tau )\in \mathbb {C} -\{0,1\}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\end{aligned}}}$

ここで である。本書では という追加の制約が加えられているが、これは実際には必須の制約ではない（Coxの参考文献を参照）。また、または の場合には、ヤコビ楕円関数は非楕円関数に退化する。これについては後述する。 ${\displaystyle \zeta =u/\theta _{3}(\tau )^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\notin (-\infty ,0)\cup (1,\infty )}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m=1}$

ネヴィル・シータ関数による定義

ヤコビの楕円関数はネヴィルのθ関数を使って非常に簡単に定義できる：^{[ 11 ]}

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

ヤコビの楕円関数の複雑な積の簡略化は、多くの場合、これらの恒等式を使用すると容易になります。

ヤコビ変換

ヤコビ虚数変換

特定の角度 φにおける、退化したヤコビ曲線（x ²  +  y ² / b ²  = 1, b  = ∞）と12個のヤコビ楕円関数 pq( u ,1) のプロット。実線は、m  = 1、u  =  F ( φ ,1)の退化した楕円（ x ²  = 1）である。ここで、 F (⋅,⋅) は第一種楕円積分である。点線は単位円である。これらはm  = 0 におけるヤコビ関数（円三角関数）であるが、虚数引数を持つため、6個の双曲三角関数に対応する。

ヤコビ虚数変換は、虚数変数iuの様々な関数、あるいはそれと同値なmパラメータの様々な値間の関係を関連付ける。主要な関数について述べると：^{[ 12 ]：506}

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$

乗法則を用いると、他のすべての関数は上記の3つの式で表すことができます。これらの変換は一般に と書き表されます。次の表は、指定された pq( u,m ) に対する を示しています。^{[ 11 ]} (引数は省略されています) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$

ヤコビ虚数変換${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$

		q
		c	s	n	d
p
	c	1	ns	ノースカロライナ	nd
	s	− i sn	1	− i sc	− i sd
	n	cn	i cs	1	CD
	d	dn	i ds	直流	1

双曲型三角関数は虚数引数を持つ円三角関数に比例するので、ヤコビ関数はm=1の双曲型関数になることがわかります。^{[ 5 ]：249} 図では、ヤコビ曲線はx  = 1とx  = −1の2本の垂直線に退化しています。

ヤコビ実変換

ヤコビ実変換^{[ 5 ] : 308 は} 、楕円関数のmの交互の値に関する表現式を与える。この変換は一般に と表記される。次の表は、指定された pq( u,m ) に対する を与える。^{[ 11 ]}（引数は省略されている） ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle (k\,u,1/m)}$

ヤコビ実変換${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$

		q
		c	s	n	d
p
	c	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle k\operatorname {ds} }$	${\displaystyle \operatorname {dn} }$	${\displaystyle \operatorname {dc} }$
	s	${\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sd} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sn} }$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sc} }$
	n	${\displaystyle \operatorname {nd} }$	${\displaystyle k\operatorname {ns} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \operatorname {nc} }$
	d	${\displaystyle \operatorname {cd} }$	${\displaystyle k\operatorname {cs} }$	${\displaystyle \operatorname {cn} }$	${\displaystyle 1}$

その他のヤコビ変換

ヤコビの実数変換と虚数変換は、様々な方法で組み合わせることで、さらに3つの単純な変換を生み出すことができます。^{[ 5 ]：214} 実数変換と虚数変換は、6つの変換のグループ（D ₃または非調和群）内の2つの変換です。もし

${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$

は実変換における mパラメータの変換であり、

${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$

が虚数変換におけるmの変換である場合、他の変換はこれら2つの基本変換を連続的に適用することによって構築でき、さらに3つの可能性のみが得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$

これら5つの変換と恒等変換（μ _U ( m ) =  m）を組み合わせると、6元群が得られます。ヤコビの楕円関数に関しては、一般的な変換はわずか3つの関数で表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

ここで、i = U、I、IR、R、RI、またはRIRで、変換を表します。γ _iはこれら3つの関数に共通する乗算係数であり、プライム記号は変換後の関数を表します。他の9つの変換後の関数は、上記の3つの関数から構築できます。変換を表すためにcs、ns、ds関数が選択された理由は、他の関数はこれら3つの関数の比（逆関数を除く）となり、乗算係数が打ち消されるためです。

次の表は、 6つの変換それぞれについて、3つのps関数の乗算係数、変換されたm 、および変換された関数名を示しています。 ^{[ 5 ]：214} （通常通り、k ²  =  m、1 −  k ²  =  k ₁ ²  =  m ′であり、引数（）は省略されています） ${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$

6つの変換のパラメータ

変換 i	${\displaystyle \gamma _{i}}$	${\displaystyle \mu _{i}(m)}$	cs'	ns'	ds'
あなた	1	メートル	cs	ns	ds
私	私	メートル	ns	cs	ds
IR	いいね	−m'/m	ds	cs	ns
R	け	1/m	ds	ns	cs
RI	ik 1	1/m'	ns	ds	cs
RIR	k 1	−m/m'	cs	ds	ns

例えば、RIR変換については次の表を作成することができる。^{[ 11 ]}変換は一般的に次のように記述される（引数は省略）。 ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$ ${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$

RIRの変革${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$

		q
		c	s	n	d
p
	c	1	k' cs	CD	cn
	s	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$ sc	1	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$ sd	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$ スン
	n	直流	${\displaystyle k'}$ ds	1	dn
	d	ノースカロライナ	${\displaystyle k'}$ ns	nd	1

ヤコビ変換の価値は、任意の実数値パラメータmを持つヤコビ楕円関数の任意の集合が、uが実数値である別の集合に変換できることである。^{[ 5 ]：p.215} ${\displaystyle 0<m\leq 1/2}$

振幅変換

以下では、2 番目の変数は抑制され、 と等しくなります。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} (u+v)+\operatorname {am} (u-v))={\frac {2\operatorname {sn} u\operatorname {cn} u\operatorname {dn} v}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}},}$

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u+v)-\operatorname {am} (u-v))={\dfrac {\operatorname {cn} ^{2}v-\operatorname {sn} ^{2}v\operatorname {dn} ^{2}u}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}}}$

両方のアイデンティティはすべての人に対して有効であり、両側が明確に定義されています。 ${\displaystyle u,v,m\in \mathbb {C} }$

と

${\displaystyle m_{1}=\left({\frac {1-{\sqrt {m'}}}{1+{\sqrt {m'}}}}\right)^{2},}$

我々は持っています

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u,m)+\operatorname {am} (K-u,m))=-\operatorname {sn} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ({\sqrt {m'}}u,-m/m')+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\operatorname {sn} (u,m),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ((1+{\sqrt {m'}})u,m_{1})+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\sin(2\operatorname {am} (u,m))}$

ここで、すべての恒等式は、両側が明確に定義されるように、すべてに対して有効です。 ${\displaystyle u,m\in \mathbb {C} }$

ヤコビ双曲線

ヤコビ双曲線（x ²  +  y ² / b ²  = 1、b は虚数）と12個のヤコビ楕円関数 pq( u , m )を、角度φとパラメータbの特定の値に対してプロットしたグラフ。実線は双曲線で、 m  = 1 − 1/ b ²、u  =  F ( φ , m ) となる。ここで、 F (⋅,⋅) は第一種楕円積分である。点線は単位円である。ds-dc三角形の場合、σ  = sin( φ )cos( φ ) となる。

複素数を導入すると、楕円には関連する双曲線が生まれます。

${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

上記の式の楕円関数xと yにヤコビの虚数変換^{[ 11 ]}を適用すると、

${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$

したがって、 と置くことができます。したがって、楕円は、m を 1-m に置き換えた双対楕円になります。これは、「はじめに」で述べた複素トーラスにつながります。^{[ 13 ]}一般に、m は複素数ですが、m が実数で m<0 の場合、曲線は x 方向に長軸を持つ楕円になります。m=0 では曲線は円であり、0<m<1 の場合は、曲線は y 方向に長軸を持つ楕円です。m  = 1 では、曲線はx  = ±1 で 2 本の垂直線に退化します。m > 1 の場合、 曲線は双曲線です。m が複素数で実数でない場合は、 xまたはyまたはその両方が複素数であり、曲線を実数のx - y図で記述することはできません。 ${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$

マイナー機能

関数名の 2 文字の順序を逆にすると、上記の 3 つの関数の逆数になります。

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}$

同様に、3 つの主要関数の比率は、分子の最初の文字と分母の最初の文字に対応します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

もっと簡潔に言うと、

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$

ここで、p と q は文字 s、c、d のいずれかです。

周期性、極、留数

12 個の Jacobi 楕円関数 pq(u,m) の位相を関数複素引数 u としてプロットしたもので、極と零点が示されています。プロットは実方向と虚方向の 1 サイクル全体にわたっており、色付きの部分は右下のカラー ホイール (自明な dd 関数に代わる) に従って位相を示しています。絶対値が 1/3 未満の領域は黒で表示され、おおよそ零点の位置を示します。絶対値が 3 を超える領域は白で表示され、おおよそ極の位置を示します。すべてのプロットでm  = 2/3を使用し、 K  =  K ( m )、K ′ =  K (1 −  m )、K (⋅) は第 1 種の完全楕円積分です。極の矢印は零点位相の方向を指しています。右矢印と左矢印はそれぞれ正と負の実数留数を意味します。上矢印と下矢印はそれぞれ正と負の虚数留数を意味します。

複素平面上の引数uにおいて、ヤコビ楕円関数は極（および零点）の繰り返しパターンを形成する。極の留数はすべて同じ絶対値を持ち、符号のみが異なっている。各関数 pq( u , m ) には、極と零点の位置が入れ替わる「逆関数」（乗法的な意味で） qp( u , m ) が存在する。繰り返し周期は一般に実方向と虚方向で異なるため、「二重周期」という用語が用いられる。

ヤコビ振幅とヤコビイプシロン関数の場合:

${\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}}$

ここではパラメータ を持つ第2種完全楕円積分です。 ${\displaystyle E(m)}$ ${\displaystyle m}$

ヤコビの楕円関数の二重周期性は次のように表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$

ここで、αとβは任意の整数のペアです。K (⋅) は第一種完全楕円積分（1/4周期とも呼ばれます）です。負の1乗（γ）は次の表に示されています。

${\displaystyle \gamma }$

		q
		c	s	n	d
p
	c	0	β	α + β	α
	s	β	0	α	α + β
	n	α + β	α	0	β
	d	α	α + β	β	0

係数 (−1) ^γが −1 に等しい場合、式は準周期性を表します。係数が 1 に等しい場合、式は完全な周期性を表します。例えば、α が偶数の場合、α のみを含むエントリについては、上記の式で完全な周期性が表現され、関数の完全な周期は 4 K ( m ) と 2 iK (1 −  m ) であることがわかります。同様に、 βのみを含むエントリを持つ関数の完全な周期は 2K(m) と 4 iK (1 −  m ) であり、α + β を含むエントリを持つ関数の完全な周期は 4 K ( m ) と 4 iK (1 −  m ) です。

右の図は、関数ごとに 1 つの繰り返し単位をプロットし、極と零点の位置とともに位相を示していますが、いくつかの規則性を確認できます。各関数の逆関数は対角線の反対側にあり、単位セルのサイズは同じで、極と零点が交換されています。(0,0)、( K ,0)、(0, K ′)、( K , K ′) で形成される補助四角形内の極と零点の配置は、上記の序論で説明した極と零点の配置の説明に従います。また、極を示す白い楕円の大きさは、その極の留数の絶対値の大まかな尺度です。図の原点に最も近い (つまり補助四角形内) 極の留数を次の表に示します。

ヤコビ楕円関数の留数

		q
		c	s	n	d
p
	c		1	${\displaystyle -{\frac {i}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k}}}$
	s	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {i}{k\,k'}}}$
	n	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$	1		${\displaystyle -{\frac {i}{k'}}}$
	d	-1	1	${\displaystyle -i}$

該当する場合、2 Kだけ上方にずれた極、または 2 K ′だけ右方にずれた極は、符号が反転しただけで同じ値を持ち、対角線上の極と零点は同じ値を持ちます。左辺と下辺の極と零点は単位胞の一部とみなされますが、上辺と右辺の極と零点は単位胞の一部とみなされないことに注意してください。

極に関する情報は、ヤコビの楕円関数を特徴付けるのに実際に使用できる。 ^{[ 14 ]}

関数は、 （）に単純な極を持ち、 で留数が値を取る唯一の楕円関数です。 ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {sn} (u,m)}$ ${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1)^{r}/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

関数は、 （）に単純な極を持ち、 で留数が値を取る唯一の楕円関数です。 ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1)^{r+s-1}i/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

関数は、 （）に単純な極を持ち、 で留数が値を取る唯一の楕円関数です。 ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {dn} (u,m)}$ ${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1)^{s-1}i}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

特別な値

を設定すると、レムニスケート楕円関数およびが得られます。 ${\displaystyle m=-1}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.}$

または のとき、ヤコビの楕円関数は非楕円関数に簡約されます。 ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m=1}$

関数	m = 0	m = 1
${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$	${\displaystyle \sin u}$	${\displaystyle \tanh u}$
${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$	${\displaystyle \cos u}$	${\displaystyle \operatorname {sech} u}$
${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \operatorname {sech} u}$
${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)}$	${\displaystyle \csc u}$	${\displaystyle \coth u}$
${\displaystyle \operatorname {nc} (u,m)}$	${\displaystyle \sec u}$	${\displaystyle \cosh u}$
${\displaystyle \operatorname {nd} (u,m)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \cosh u}$
${\displaystyle \operatorname {sd} (u,m)}$	${\displaystyle \sin u}$	${\displaystyle \sinh u}$
${\displaystyle \operatorname {cd} (u,m)}$	${\displaystyle \cos u}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)}$	${\displaystyle \cot u}$	${\displaystyle \operatorname {csch} u}$
${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)}$	${\displaystyle \csc u}$	${\displaystyle \operatorname {csch} u}$
${\displaystyle \operatorname {dc} (u,m)}$	${\displaystyle \sec u}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {sc} (u,m)}$	${\displaystyle \tan u}$	${\displaystyle \sinh u}$

ヤコビ振幅の場合、はグーデルマン関数です。 ${\displaystyle \operatorname {am} (u,0)=u}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} }$

一般に、p、q のどちらも d でない場合は、次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)}$

アイデンティティ

半角の公式

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {dn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {m'+\operatorname {dn} (u,m)+m\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$

K式

半分のK式

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}$$

3番目のK式

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\frac {1}{3}}K\left({\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right);{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right]={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

x ³を取得するには、係数の逆正接の 2 倍の正接を取ります。

また、この式はKの 3 分の 1 の sn 値を導きます。

${\displaystyle k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0}$

${\displaystyle s=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

これらの方程式からヤコビ関数の他の値が導かれます。

${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1/\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]-1}$

第5のK式

次の方程式の解は次のようになります。

${\displaystyle 4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0}$

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}={\frac {\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}-\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}}{2\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]}}}$

sn値を取得するには、解xを次の式に代入します。

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1-x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1+x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

関数の平方間の関係

関数の平方の関係は、2つの基本的な関係から導き出すことができます（引数（u、m）は省略）。 ここで、m + m'  = 1です。nq形式の任意の関数を乗じると、より一般的な方程式が得られます。 $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}$$

q  =  dとすると、これらは三角関数的には単位円 ( ) と単位楕円 ( )の方程式（ x  =  cd、y  =  sd、r  =  nd ）に対応します。乗法則を用いることで、他の関係式も導き出すことができます。例えば、 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}{}+m'y^{2}=1}$

$${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m}$$

加法定理

関数は2つの平方関係を満たす（mへの依存は抑制される） $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u)+\operatorname {sn} ^{2}(u)=1,\,}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u)+m\operatorname {sn} ^{2}(u)=1.\,}$$

このことから、(cn, sn, dn)は、上記の2つの式で定義された2つの二次曲線の交点である楕円曲線を媒介変数化することがわかります。ヤコビ関数の加法公式^{[ 3 ]}を用いて、この曲線上の点の群則を定義することができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-m\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$$

ヤコビのイプシロン関数とzn関数は準加法定理を満たす。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y,m)&={\mathcal {E}}(x,m)+{\mathcal {E}}(y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m),\\\operatorname {zn} (x+y,m)&=\operatorname {zn} (x,m)+\operatorname {zn} (y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m).\end{aligned}}}$$

二倍角の公式は、 x  =  yと設定することで上記の式から簡単に導くことができる。^{[ 3 ]}半角の公式^{[ 11 ] [ 3 ]}はすべて以下の形式である。

$${\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }}$$

どこ： $${\displaystyle f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))}$$

非線形常微分方程式の解としてのヤコビ楕円関数

最初の変数に関する微分

3 つの基本的なヤコビ楕円関数の導関数（最初の変数に関して、固定）は次のとおりです。 ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}$$

これらは、以下の表に示すように、他のすべての関数の導関数を導出するために使用できます（引数 (u,m) は省略）。

デリバティブ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {pq} (u,m)}$

		q
		c	s	n	d
p
	c	0	−ds ns	−dn sn	−m' と sd
	s	直流 NC	0	cn dn	cd nd
	n	直流sc	−cs ds	0	m cd sd
	d	m' nc sc	−cs ns	− m cn sn	0

また

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\mathcal {E}}(z)=\operatorname {dn} (z)^{2}.}$

上記の加法定理と0 <  m < 1の与えられたmに対して 、主要な関数は次の非線形常微分方程式の解となる。

• ${\displaystyle \operatorname {am} (x)}$ 微分方程式を解き、${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\sin(y)\cos(y)=0}$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=1-m\sin(y)^{2}}$ （枝の切り口ではないため）${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x)}$ 微分方程式を解き、${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x)}$ 微分方程式を解き、${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x)}$ 微分方程式を解き、${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})}$

振り子微分方程式を正確に解く関数は、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0,}$

初期角度と初期角速度がゼロの場合、 ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,m))\\&=2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t+K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t-K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-\pi \end{aligned}}}$

ここで、、および。 ${\displaystyle m=\sin(\theta _{0}/2)^{2}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

2番目の変数に関する微分

最初の引数を固定すると、2番目の変数に関する導関数は次のようになる。^{[ 15 ]}${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {sn} (z)&={\frac {\operatorname {dn} (z)\operatorname {cn} (z)((1-m)z-{\mathcal {E}}(z)+m\operatorname {cd} (z)\operatorname {sn} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {cn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cd} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {dn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-\operatorname {dn} (z)\operatorname {sc} (z))}{2(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}{\mathcal {E}}(z)&={\frac {\operatorname {cn} (z)(\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)-\operatorname {cn} (z){\mathcal {E}}(z))}{2(1-m)}}-{\frac {z}{2}}\operatorname {sn} (z)^{2}.\end{aligned}}}$

ノームの拡張

ノームを、、とする。すると、関数はランベルト級数として展開される。${\displaystyle q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$ ${\displaystyle v=\pi u/(2K(m))}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)}$

いつ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (u/K)\right|<\operatorname {Im} (iK'/K).}$

二変数冪級数展開はシェットによって出版されている。^{[ 16 ]}

高速計算

シータ関数比はヤコビ楕円関数を計算する効率的な方法を提供する。算術幾何平均とランデン変換に基づく代替方法もある：^{[ 6 ]}

初期化

${\displaystyle a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}}}$

ここで、定義する ${\displaystyle 0<m<1}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}}$

ここで、定義する ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \varphi _{N}=2^{N}a_{N}u}$

と固定されたに対して。もし ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)}$

の場合、 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0},\quad \operatorname {zn} (u,m)=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\sin \varphi _{n}}$

として表される。これは収束が速いことで注目に値する。したがって、実数直線上のヤコビ振幅からすべてのヤコビ楕円関数を計算することは自明である。 ^{[注 2 ]}${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$

楕円関数の加法定理（複素数全般に当てはまる）とヤコビ変換を組み合わせることで、上記の計算方法を使用して、複素平面全体のすべてのヤコビ楕円関数を計算できます。

ヤコビ振幅の計算を避け、算術幾何平均を介してヤコビ楕円関数を高速に計算する別の方法は、ハーバート・E・ザルツァーによるものである：^{[ 17 ]}

させて

${\displaystyle 0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.}$

セット

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}}$

として。 ${\displaystyle N\to \infty }$

しかし、文献に記載されているヤコビ楕円正弦関数の高速収束計算の別の方法を以下に示す。^{[ 18 ]}

させて：

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}=u&b_{0}={\frac {1-{\sqrt {1-m}}}{1+{\sqrt {1-m}}}}\\&a_{1}={\frac {a_{0}}{1+b_{0}}}&b_{1}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}}\\&\vdots =\vdots &\vdots =\vdots \\&a_{n}={\frac {a_{n-1}}{1+b_{n-1}}}&b_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}}\\\end{aligned}}}$

次に設定:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=\sin(a_{n})\\y_{n}&={\frac {y_{n+1}(1+b_{n})}{1+y_{n+1}^{2}b_{n}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&={\frac {y_{1}(1+b_{0})}{1+y_{1}^{2}b_{0}}}\\\end{aligned}}}$

それから：

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=y_{0}{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$ 。

双曲線関数による近似

ヤコビの楕円関数は双曲関数を用いて展開できる。が1に近く、かつの高次のべき乗が 無視できるとき、次式が得られる。^{[ 19 ] [ 20 ]}${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'^{2}}$ ${\displaystyle m'}$

• sn( u ):$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}$$
• cn( u ):$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$
• dn( u ):$${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$

ヤコビ振幅については、 $${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}$$

連分数

実数とノーム、楕円係数を仮定する。 が第一種完全楕円積分 であるとき、次の連分数展開が成り立つ^{[ 21 ]}${\displaystyle a,p}$ ${\displaystyle 0<a<p}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}$ ${\displaystyle K[\tau ]=K(k(\tau ))}$ ${\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\[4pt]={}&-1+{\frac {2}{1-{}}}\,{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{}}}\,{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}}}\,{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}}}\,{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}}\cdots \end{aligned}}}$

楕円係数を含む連分数は、 ${\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)}$ ${\displaystyle {\textrm {dn}}(t)}$ ${\displaystyle k}$

については、[ ^{22 ] 374}ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

については、[ ^{22 ] 375}ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

については、[ ^{23 ] 220}ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots }$

については、[ ^{22 ] 374}ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots }$

については、[ ^{22 ] 375}ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

逆関数

ヤコビ楕円関数の逆関数は、逆三角関数と同様に定義できます。これらは楕円積分として表すことができ、^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}、また冪級数表現も見つかっています。^{[ 27 ] [ 3 ]}${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,m)}$ ${\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,m)}$

• ${\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}}$

地図投影

ピアース五角形図法は、ヤコビ楕円関数に基づいた 地図投影法です。

参照

• 楕円曲線
• シュワルツ・クリストッフェル写像
• カールソン対称形
• ヤコビのシータ関数
• ラマヌジャンのシータ関数
• ディクソン楕円関数
• アーベル楕円関数
• ワイエルシュトラスの楕円関数
• レムニスケート楕円関数

注記

1. とが に制限されている場合、 は次のようにも書けます。${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\operatorname {am} (u,m)}}.}$
2. 機能に関しては、 ご利用いただけます。${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {sn} (K(m)-u,m)}}}$

引用

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外部リンク

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