ネヴィルのシータ関数

数学において、エリック・ハロルド・ネヴィルにちなんで名付けられたネヴィル・シータ関数^{[ 1 ]}は、次のように定義されます。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

${\displaystyle \theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

ここで、K(m)は第 1 種の完全楕円積分、は 楕円ノームです。 ${\displaystyle K'(m)=K(1-m)}$ ${\displaystyle q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}}$

関数 θ _p (z,m)は、q(m)という名称で定義され、θ _p (z,q)と表記されることもある（例：NIST ^{[ 5 ]} ）。また、関数はτパラメータθ _p (z|τ)を用いて表記されることもある（ただし、 ） 。 ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$

他の機能との関係

ネヴィル・シータ関数はヤコビ・シータ関数で表される^{[ 5 ]}

${\displaystyle \theta _{s}(z|\tau )=\theta _{3}^{2}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_{1}(0|\tau )}$

${\displaystyle \theta _{c}(z|\tau )=\theta _{2}(z'|\tau )/\theta _{2}(0|\tau )}$

${\displaystyle \theta _{n}(z|\tau )=\theta _{4}(z'|\tau )/\theta _{4}(0|\tau )}$

${\displaystyle \theta _{d}(z|\tau )=\theta _{3}(z'|\tau )/\theta _{3}(0|\tau )}$

どこ。 ${\displaystyle z'=z/\theta _{3}^{2}(0|\tau )}$

ネヴィル・シータ関数はヤコビの楕円関数と関連している。pq(u,m)がヤコビの楕円関数（pとqはs,c,n,dのいずれか）である場合、

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}.}$

例

• ${\displaystyle \theta _{c}(2.5,0.3)\approx -0.65900466676738154967}$
• ${\displaystyle \theta _{d}(2.5,0.3)\approx 0.95182196661267561994}$
• ${\displaystyle \theta _{n}(2.5,0.3)\approx 1.0526693354651613637}$
• ${\displaystyle \theta _{s}(2.5,0.3)\approx 0.82086879524530400536}$

対称

• ${\displaystyle \theta _{c}(z,m)=\theta _{c}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta _{d}(z,m)=\theta _{d}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta _{n}(z,m)=\theta _{n}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta _{s}(z,m)=-\theta _{s}(-z,m)}$

複雑な3Dプロット

注記

1. アブラモウィッツとステグン、578-579ページ
2. ネヴィル（1944）
3. 数学関数サイト
4. 数学関数サイト
5. Olver, FWJ; et al., eds. (2017-12-22). 「NIST デジタル数学関数ライブラリ（リリース 1.0.17）」 . 米国国立標準技術研究所. 2018年2月26日閲覧。

参考文献

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]. 『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 . 応用数学シリーズ. 第55巻 (1972年12月初版第10刷に訂正を加えた第9刷)。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省国立標準局、ドーバー出版. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• ネヴィル、EH（エリック・ハロルド）（1944年）『ヤコビ楕円関数』オックスフォード・クラレンドン・プレス。
• ワイスタイン、エリック W. 「ネヴィル・シータ関数」。MathWorld 。