ド・ブランジュ空間

数学において、ド・ブランジュ空間（ド・ブランジュ空間と表記されることもある）は関数解析の概念であり、 ド・ブランジュ関数から構成されます

この概念は、これらの空間、特にヒルベルト空間に関する数多くの結果を証明し、その結果を使ってビーベルバッハ予想を証明したルイ・ド・ブランジュにちなんで名付けられました。

ド・ブランジュ関数

エルミート・ビーラー関数 ( de Branges 関数とも呼ばれる) は、複素平面の上半分のすべてのzに対して不等式 を満たす、から までの整関数 Eです。 ${\displaystyle \mathbb {C}}$ ${\displaystyle \mathbb {C}}$ ${\displaystyle |E(z)|>|E({\bar {z}})|}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$

定義1

エルミート・ビーラー関数Eが与えられたとき、ド・ブランジュ空間B ( E )は、すべての整関数 Fの集合として定義され、 ^[1]

${\displaystyle B(E)={\bigg \{}F{\text{ は完全である }}{\bigg |}{\frac {F}{E}},{\frac {F^{\#}}{E}}\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+}),\int _{\mathbb {R} }{\bigg |}{\frac {F(\lambda )}{E(\lambda )}}{\bigg |}^{2}\mathrm {d} \lambda <\infty {\bigg \}}}$

ここで：

• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$ は複素平面の上半分の開空間です。
• ${\displaystyle F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}}$ 。
• ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$ は上半分の開空間上の通常のハーディ空間です

定義2

ド・ブランジュ空間は、以下の条件をすべて満たす 整関数Fとしても定義できます

• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}d\lambda <\infty }$
• ${\displaystyle |(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}}$

定義3

作用素理論において有用な公理的記述も存在する

ヒルベルト空間として

ド・ブランジュ空間B ( E )が与えられます。スカラー積を定義します $${\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {d\lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}.}$$

このようなスカラー積を持つド・ブランジュ空間はヒルベルト空間であることが証明できます。

参考文献

1. 15日）「境界制御法とド・ブランジュ空間。シュレーディンガー方程式、ディラック系、離散シュレーディンガー作用素」。Journal of  Mathematical Analysis and Applications。460 (2): 927–953。arXiv : 1701.08424。doi :10.1016 / j.jmaa.2017.12.013。ISSN 0022-247X

• クリスチャン・レムリング (2003). 「1次元シュレーディンガー作用素の逆スペクトル理論：A関数」. Math. Z. 245 ( 3): 597– 617. doi :10.1007/s00209-003-0559-2.