物質波

物質波は量子力学理論の中心的な部分であり、波動粒子二重性の片方を成す。測定が実用化されているあらゆるスケールにおいて、物質は波のような振る舞いを示す。例えば、電子ビームは光線や水面の波のように 回折する。

物質が波のように振る舞うという概念は、1924 年にフランスの物理学者ルイ・ド・ブロイ( / d ə ˈ b r ɔɪ / ) によって提唱されたため、物質波はド・ブロイ波とも呼ばれています。

ド・ブロイ波長は、プランク定数hを介して運動量pを持つ粒子に関連付けられた波長λです。 λ＝hp。{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}

物質の波のような振る舞いは、1927 年に電子に対して初めて実験的に実証され (デイヴィソン、ジャーマー、ジョージ・トムソンがそれぞれ独立して)、その後、他の素粒子、中性原子、分子に対しても実証されました。

物質波は固体よりも複雑な速度関係を持ち、電磁波（光）とも異なります。集団物質波は固体物理学における現象のモデル化に用いられ、定在物質波は分子化学において用いられます。

物質波の概念は、電子、中性子、原子のさまざまな波長と相互作用特性が高度な顕微鏡技術や回折技術に活用される材料研究で広く使用されています。

歴史

背景

19世紀末には、光はマクスウェル方程式に従って伝播する電磁場の波から成ると考えられていた一方、物質は局在粒子から成ると考えられていた（波動と粒子の二重性の歴史を参照）。1900年、黒体放射の理論を研究していたマックス・プランクが、振動する原子の熱エネルギーが離散的な部分、つまり量子に分割されると提唱し、この区分に疑問が投げかけられた。[ 1 ]プランクの研究を光電効果との関連を含めていくつかの方法で拡張し、アルバート・アインシュタインは1905年に、光も量子（現在では光子と呼ばれている）として伝播・吸収さ れると提唱した。[ 2 ]これらの量子は、プランク・アインシュタインの関係式で与えられるエネルギー と運動量ベクトルを持ちます。 ここで、 ν （ギリシャ文字の小文字ニュー）とλ（ギリシャ文字の小文字ラムダ）はそれぞれ光の振動数と波長、cは光速、hはプランク定数です。[ 3 ]現代の慣例によれば、振動数は本稿の残りの部分と同様にfで表されます。アインシュタインの公理は実験的に検証されました[ 2 ] : 89 1912年にKTコンプトンとOWリチャードソン[ 4 ]、ALヒューズ[ 5 ]によって検証され、その後、 1916年にロバート・ミリカンがプランク定数の測定を含むより慎重な検証を行いました[ 6 ]。E＝hν{\displaystyle E=h\nu }p{\displaystyle \mathbf {p} }|p|＝p＝Ec＝hλ、{\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},}

ド・ブロイ仮説

一次元におけるド・ブロイ波の伝播–複素振幅の実部は青、虚部は緑です。粒子が特定の点xに存在する確率（色の不透明度で表示）は波形のように広がり、粒子の位置は確定していません。振幅がゼロを超えて増加すると傾きが小さくなり、振幅も再び減少します。逆もまた同様です。結果として、振幅が交互に変化する波が生まれます。上：平面波。下：波束。

1923年から1924年にかけて私が波動力学の最初の基本的なアイデアを思いついたとき、私は、1905年にアインシュタインが光量子の理論で光子に導入した粒子的側面と波動の共存という、すべての粒子に有効な実際の物理的統合を実行するという目標に導かれました。

— ド・ブロイ[ 7 ]

ド・ブロイは1924年の博士論文[ 8 ]において、光が波動性と粒子性の両方の性質を持つように、電子も波動性を持つと提唱した。彼の論文は、「固有質量m 0を持つエネルギーの各部分には、周波数ν 0の周期現象が関連しており、 hν 0 = m 0 c 2が成り立つ」という仮説から出発している。周波数ν 0は、もちろんエネルギーパケットの静止系で測定される。この仮説が我々の理論の基礎となっている。[ 9 ] [ 8 ] : 8 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] （この周波数はコンプトン周波数とも呼ばれる。）

運動する物体の波長に相当する値を求めるために、ド・ブロイ[ 2 ] :214は 特殊相対論からその物体の全エネルギーをhνと設定した。 E＝メートルc21−v2c2＝hν{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=h\nu }

（現代物理学では、もはやこの形式の全エネルギーは使用されていません。エネルギーと運動量の関係の方が有用であることが証明されています。）ド・ブロイは、粒子の速度 を自由空間における 波の群速度と同一視しました。v{\displaystyle v}vグラム≡∂ω∂け＝dνd（1/λ）{\displaystyle v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}

（群速度の現代的な定義では、角周波数ωと波数kが用いられます）。エネルギー方程式に微分を適用し、相対論的運動量を特定することで、次の式が得られます。 p＝メートルv1−v2c2{\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

そして積分して、ド・ブロイはプランク定数hを介して、電子の波長λと運動量係数pの関係を表す式を導き出した。 [ 14 ]λ＝hp。{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}

シュレーディンガーの（物質）波動方程式

ド・ブロイの考えを受け継ぎ、物理学者ペーター・デバイは、粒子が波として振舞うならば、何らかの波動方程式を満たすはずだと、何気なく発言した。デバイの発言に触発され、エルヴィン・シュレーディンガーは電子の適切な三次元波動方程式を見つけようと決意した。彼は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによる力学と光学のアナロジー（ハミルトンの光機械アナロジーを参照）に導かれた。これは、光学のゼロ波長限界が機械系に似ているという観察に象徴されている。光線の軌跡は、最小作用の原理の類似体であるフェルマーの原理に従う鋭い軌跡となる。[ 15 ]

1926年、シュレーディンガーは現在彼の名前を冠している波動方程式[ 16 ] （マクスウェル方程式の物質波版）を発表し、それを使って水素のエネルギースペクトルを導出した。非相対論的シュレーディンガー方程式の解の周波数は、コンプトン周波数だけド・ブロイ波と異なる。これは、粒子の静止質量に対応するエネルギーが非相対論的シュレーディンガー方程式の一部ではないためである。シュレーディンガー方程式は波動関数の時間発展を記述する。波動関数は空間の各点に複素数を割り当てる関数である。シュレーディンガーは波動関数の係数の二乗を電荷密度として解釈しようとした。しかし、このアプローチは失敗した。 [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]マックス・ボルンは波動関数の係数の二乗は確率密度であると提案し、これは現在ではボルンの規則として知られる成功した提案である。[ 17 ]

自由空間において、不確実性が最小で一定の運動量で一次元方向に移動する、初期ガウス状態の位置空間確率密度

翌年の1927年、CGダーウィン（有名な生物学者チャールズ・ダーウィンの孫）は、シュレーディンガー方程式をいくつかの理想的なシナリオで探求しました。[ 20 ]自由空間における束縛されていない電子について、彼は初期のガウス波束を仮定して、波の伝播を計算しました。ダーウィンは、後の時点で速度 で移動する波束の位置は になること を示しました。 は初期位置の不確実性です。この位置の不確実性は、ハイゼンベルクの不確定性関係と一致する、速度の不確実性（平方根の追加の2番目の項）を生み出します。波束は図に示すように広がります。 t{\displaystyle t}×{\displaystyle x}v{\displaystyle v}×0+vt±σ2+（ht2πσメートル）2、{\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+\left({\frac {ht}{2\pi \sigma m}}\right)^{2}}},}σ{\displaystyle \sigma }

実験的確認

1927年、ジョージ・パジェット・トムソンとアレクサンダー・リードの回折実験[ 21 ]とデイヴィソン・ガーマー実験[ 22 ] [ 23 ]で、物質波が電子に対して初めて実験的に発生することが確認された。[ 24 ] [ 25 ] : 56

1925年にノーベル賞受賞者のG・P・トムソンとその弟子のアレクサンダー・リードによって製作され使用されたオリジナルの電子回折カメラ
1925年から1927年にかけて記録された、GPトムソンの研究室で撮影されたオリジナルの電子回折写真の例

ド・ブロイ仮説と物質波の存在は他の素粒子、中性原子、さらには分子でも波動性があることが確認されている。[ 26 ]

波動粒子二重性を直接的に実証した最初の電子波干渉縞は、電子複プリズム[ 27 ] [ 28 ]（基本的には電子顕微鏡内に設置されたワイヤー）を用いて、回折パターンを形成する単一電子を測定しました。有名な二重スリット実験[ 29 ] : 260を 忠実に再現し、物理的な開口部を通して電子を照射することで、ここに示した動画が生まれました。[ 30 ]

物質波の二重スリット回折パターンは、電子を一つずつ重ね合わせたものです。それぞれの白い点は検出器に入射する単一の電子を表しています。統計的に多数の電子が入射すると、干渉縞が現れます。[ 30 ]

電子

1927年、ベル研究所でクリントン・デイヴィソンとレスター・ジャーマーがニッケル結晶ターゲットに低速電子を照射した。[ 22 ] [ 23 ]回折電子の強度が測定され、ブラッグがX線に対して予測した回折パターンと同様の角度依存性があることがわかった。同時期にアバディーン大学のジョージ・パジェット・トムソンとアレクサンダー・リードはそれぞれ独立して薄いセルロイド箔、後に金属フィルムに電子を照射し、同様に解釈できるリングを観察した。[ 21 ]（トムソンの大学院生だったアレクサンダー・リードが最初の実験を行ったが、その後まもなくオートバイ事故で亡くなり[ 31 ] 、あまり言及されていない。）ド・ブロイの仮説が受け入れられる前は、回折は波によってのみ示される特性であると考えられていた。したがって、物質による回折効果の存在は、物質の波動性を証明するものであった。[ 32 ]物質波の解釈は1928年にハンス・ベーテによって確固たる基盤の上に築かれました。[ 33 ]彼はシュレーディンガー方程式を解き、[ 16 ]物質波が実験結果をどのように説明できるかを示しました。彼のアプローチは、現代の電子回折法で用いられているものと似ています。[ 34 ] [ 35 ]

これは量子力学の発展において極めて重要な成果でした。光電効果が光の粒子性を実証したように、これらの実験は物質の波動性を示しました。

中性子

中性子は原子炉で生成され、運動エネルギーは約1 MeV、熱化は約軽い原子から散乱される際に0.025 eVの波長で散乱する。その結果生じるド・ブロイ波長（約180  pm ) は原子間隔と一致し、中性子は水素原子から強く散乱します。そのため、中性子物質波は結晶学、特に生物学的材料で使用されます。[ 36 ]中性子は 1930 年代初頭に発見され、その回折は 1936 年に観測されました。[ 37 ] 1944 年、アーサー・コンプトンの下での博士研究[ 38 ]で X 線散乱の知識を得たアーネスト・O・ウォーランは、新たに稼働を開始したX-10 原子炉から発生する熱中性子を結晶学に応用する可能性を認識しました。クリフォード・G・シュルも加わり、彼らは1940 年代を通じて中性子回折を開発しました[ 39 ]。1970 年代には、中性子干渉計によって、波動‐粒子二重性と関連した重力の作用が実証されました。 [ 40 ]二重スリット実験は1988年に中性子を使って行われた。[ 41 ]

原子

原子物質波の干渉は、 1930年にイマヌエル・エステルマンとオットー・シュテルンによって初めて観測されました。このとき、NaビームはNaClの表面で回折しました。[ 42 ]原子のド・ブロイ波長が短いため、長年進歩が阻まれていましたが、2つの技術革新によって関心が復活しました。マイクロリソグラフィーによって精密な小型デバイスが可能になり、レーザー冷却によって原子の速度が遅くなり、ド・ブロイ波長が長くなるというものです。[ 43 ]原子の二重スリット実験は1991年に行われました。[ 44 ]

レーザー冷却の進歩により、中性原子をナノケルビン温度まで冷却することが可能になりました。この温度では、ド・ブロイ波長はマイクロメートル領域に達します。原子のブラッグ回折とラムゼー干渉法を用いて、冷却ナトリウム原子のド・ブロイ波長を明確に測定したところ、別の方法で測定した温度と一致することが分かりました。[ 45 ]

分子

最近の実験では、量子力学的効果を受けるには大きすぎると考えられる分子、さらには高分子に対しても、この関係式が確認されている。1999年、ウィーンの研究チームはフラーレンほどの大きさの分子の回折を実証した。[ 46 ]研究者らは、最も可能性の高いC 60 の速度のド・ブロイ波長を次のように計算した。午後2時5分 。最近の実験では、810個の原子から成り、質量が10 123  Da。[ 47 ] 2019年現在、これは25000  Da . [ 48 ]​

これらの実験では、このような干渉パターンの形成をリアルタイムで単一分子感度で記録することができた。[ 49 ] 巨大分子は既に非常に複雑なため、量子-古典界面のいくつかの側面、すなわち特定のデコヒーレンス機構に実験的にアクセスすることができる。[ 50 ] [ 51 ]

その他

物質波はファンデルワールス分子、[ 52 ]ロー中間子、[ 53 ] [ 54 ]ボーズ・アインシュタイン凝縮体[ 55 ]で検出されている。

移動する物質波

波は固体よりも速度に関して複雑な概念を持っています。最も単純なアプローチは、自由粒子の平面物質波による記述に焦点を当てることです。これは、 によって記述される波動関数です。 ここで、 は実空間での位置、 は逆メートル単位の波動ベクトル、 ωは逆時間単位の角周波数、 は時間です。 (ここでは、波動ベクトルの物理的定義が使用され、これは結晶学で使用される波動ベクトル の倍です。波動ベクトルを参照してください。) ド・ブロイ方程式は、上記のように、波長λを運動量係数 に、周波数fを自由粒子の全エネルギーEに関連付けます。 [ 56 ] hはプランク定数です。これらの方程式は と書くこともできます。 ここ で、ħ = h /2 πは簡約されたプランク定数です。2 番目の方程式は、プランク–アインシュタインの関係とも呼ばれます。 ψ（r）＝e私け⋅r−私ωt、{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},}r{\displaystyle \mathbf {r} }け{\displaystyle \mathbf {k} }t{\displaystyle t}2π{\displaystyle 2\pi }|p|＝p{\displaystyle |\mathbf {p} |=p}λ＝2π|け|＝hpf＝ω2π＝Eh{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ={\frac {2\pi }{|\mathbf {k} |}}={\frac {h}{p}}\\&f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {E}{h}}\end{aligned}}}p＝ℏけE＝ℏω。{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega .\\\end{aligned}}}

群速度

ド・ブロイ仮説では、粒子の速度は物質波の群速度に等しい。 [ 2 ] : 214 等方性媒体または真空では、波の 群速度は次のように定義されます。 角周波数と波数ベクトルの関係は分散関係と呼ばれます。非相対論的なケースでは、これは次のようになります。 ここでは静止質量です。この導関数を適用すると、（非相対論的な）物質波の群速度が得られます。 比較のために、分散 を 持つ光の群速度は光速です。 vグラム＝∂ω（け）∂け{\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}}ω（け）≈メートル0c2ℏ+ℏけ22メートル0、{\displaystyle \omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,,}メートル0{\displaystyle m_{0}}vグラム＝ℏけメートル0。{\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}\,.}ω（け）＝cけ{\displaystyle \omega (k)=ck}c{\displaystyle c}

代わりに、物質波の 相対論的分散関係を使用すると 、 この相対論的形式は、以下で説明するように位相速度と関連します。 ω（け）＝け2c2+（メートル0c2ℏ）2、{\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,,}vグラム＝けc2ω。{\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}\,.}

非等方性媒体の場合は、代わりにエネルギー-運動量形式を使用します。 vグラム＝∂ω∂け＝∂（E/ℏ）∂（p/ℏ）＝∂E∂p＝∂∂p（p2c2+メートル02c4）＝pc2p2c2+メートル02c4＝pc2E。{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}}

しかし（下記参照）、位相速度は なので、 は 粒子の質量中心の速度であり、群速度と同一です 。vp＝E/p＝c2/v{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v} }vグラム＝pc2E＝c2vp＝v、{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}}v{\displaystyle \mathbf {v} }

位相速度

等方性媒質における位相速度は、以下のように定義されます。 上記の 相対論的群速度を用いると、次の式が得られます。 [ 2 ] : 215 これは、1948年にRW Ditchburn、1952年にJL Syngeによって報告された式が成り立つことを示しています。電磁波も また、との両方が となるため、 に従います。物質波の場合、となるため、 となりますが、群速度のみが情報を伝達します。したがって、超光速位相速度は情報を伝達しないため、特殊相対性理論に違反しません。 vp＝ωけ{\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}}vp=c2vg{\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}}vp⋅vg=c2{\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}vp⋅vg=c2{\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}|vp|=c{\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |=c}|vg|=c{\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |=c}|vg|<c{\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |<c}|vp|>c{\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |>c}

非等方性媒体の場合、 vp=ωk=E/ℏp/ℏ=Ep.{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.}

エネルギーと運動量に関する 相対論的関係を用いると、 変数は粒子の速度、あるいは対応する物質波の群速度として解釈できます。これらは同じものです。質量がゼロでない粒子の粒子速度は（特殊相対論によれば）c なので、物質波の位相速度は常にc を超えます。つまり、粒子速度が相対論的である場合、 c はc に近づきます。超光速位相速度は、上記の非等方性媒質の場合と同様に、特殊相対論に違反しません。詳細については、 「分散（光学）」の記事を参照してください。vp=Ep=mc2mv=γm0c2γm0v=c2v.{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.}v{\displaystyle \mathbf {v} }|v|<c{\displaystyle |\mathbf {v} |<c}|vp|>c,{\displaystyle |\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,}

特殊相対性理論

特殊相対性理論の2つの公式、すなわち相対論的質量エネルギーと相対論的運動量の公式を用いると、 ド・ブロイ波長と周波数の式は次のように表される 。 ここでは速度、ローレンツ因子、真空中の光速である。 [ 57 ] [ 58 ]これは、粒子の速度がゼロ（静止）に近づくにつれて、ド・ブロイ波長が無限大に近づくことを示している。 E=mc2=γm0c2p=mv=γm0v{\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}λ=hγm0v=hm0v1−v2c2f=γm0c2h=m0c2h1−v2c2,{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}}v=|v|{\displaystyle v=|\mathbf {v} |}γ{\displaystyle \gamma }c{\displaystyle c}

4ベクトル

4元ベクトルを用いると、ド・ブロイ関係式は単一の方程式を形成する： これはフレームに依存しない。同様に、群／粒子速度と位相速度の関係は、フレームに依存しない形で次のように表される： ここで P=ℏK,{\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,}K=(ω0c2)U,{\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,}

  • 4つの運動量P=(Ec,p){\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)}
  • 4波ベクトルK=(ωc,k){\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)}
  • 4速U=γ(c,u)=γ(c,vgu^){\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})}

一般的な物質波

これまでのセクションでは、波動関数が平面波である自由粒子について具体的に述べてきました。他にも多くの物質波が存在し、それらは大きく分けて単一粒子物質波、集団物質波、定在波の3つのクラスに分類できます。

単一粒子物質波

単一粒子タイプ（例えば、単一電子または中性子のみ）に対応する物質波のより一般的な記述は、 のような形になります。 ここでは、先頭に空間項が追加され、エネルギーはより一般的には波動ベクトルの関数として表されます。前述の様々な項は依然として適用されますが、エネルギーはもはや波動ベクトルの2乗に必ずしも比例するわけではありません。一般的なアプローチは、有効質量を定義することです。有効質量は一般にで与えられる テンソルであり 、すべての方向が同じである単純なケースでは、上記の自由波と同様の形になります。一般に、群速度は確率流[ 59 ]に置き換えられます。 ここではdelまたは勾配演算子です。運動量は運動量演算子を用いて記述されます[ 59 ]。 波長は依然として波動ベクトルの係数の逆数として記述されますが、測定はより複雑になります。このアプローチは、単一粒子物質波を記述するために多くのケースで用いられます。 ψ(r)=u(r,k)exp⁡(ik⋅r−iE(k)t/ℏ){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )}u(r,k){\displaystyle u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )}mij∗{\displaystyle m_{ij}^{*}}mij∗−1=1ℏ2∂2E∂ki∂kj{\displaystyle {m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}E(k)=ℏ2k22m∗{\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}j(r)=ℏ2mi(ψ∗(r)∇ψ(r)−ψ(r)∇ψ∗(r)){\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)}∇{\displaystyle \nabla }p=−iℏ∇{\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }

集団物質波

他の種類の物質波は複数の粒子を含むため、集団波と呼ばれ、しばしば準粒子です。これらの多くは固体中に存在します（AshcroftとMerminを参照）。例としては、以下のものが挙げられます。

  • 固体において、電子準粒子とは、固体中の他の電子との相互作用を考慮した電子のことである。電子準粒子は、 「通常の」（素粒子）電子と同じ電荷とスピンを持ち、通常の電子と同様にフェルミオンである。しかし、その有効質量は通常の電子とは大きく異なる場合がある。[ 62 ]電場遮蔽の結果として、その電場も変化する。
  • 正孔は準粒子であり、ある状態にある電子の空孔として考えることができる。半導体の価電子帯の空の状態という文脈で最もよく使われる。[ 62 ]正孔は電子と反対の電荷を持つ。
  • ポーラロンは、電子が近くの原子の分極と相互作用する準粒子です。
  • 励起子は電子と正孔が結合したペアです。
  • クーパー対は 2 つの電子が結合して単一の物質波として動作します。

定在物質波

ニュートンの古典力学の法則に従った箱の中の粒子の軌道（A）と物質波（B～F）。（B～F）では、横軸は位置、縦軸は波動関数の実部（青）と虚部（赤）である。状態（B、C、D）はエネルギー固有状態であるが、（E、F）はそうではない。

3 番目のクラスは物質波であり、波動ベクトル、波長を持ち、時間とともに変化するが、群速度または確率流束はゼロです。これらの最も単純なものは、上記の表記に似ています。 これらは、箱 内の粒子 の一部として発生し、他の場合にはリング内などになります。これは他の多くのケースにも拡張することができ、おそらく拡張されるべきです。たとえば、初期の研究で、ド・ブロイは、量子力学への初期のアプローチにおけるボーア-ゾンマーフェルトの条件に結び付けるために、リング内で電子物質波は連続でなければならないという概念を使用しました。 [ 63 ]その意味で、原子の周りの原子軌道、および分子軌道は電子物質波です。[ 64 ] [ 65 ] [ 66 ]cos⁡(k⋅r−ωt){\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}

物質波と電磁波（光）

シュレーディンガーはハミルトンの光機械論的アナロジーを応用して、素粒子の波動力学を展開した。[ 67 ] : xi 結果として、シュレーディンガー方程式の波動解は光波光学の結果と多くの性質を共有する。特に、キルヒホッフの回折公式は電子光学[ 29 ] : 745 および原子光学[ 68 ]に有効である。この近似は、電場がド・ブロイ波長よりもゆっくりと変化する限り有効である。巨視的な装置はこの条件を満たすが、固体中を低速で移動する電子は満たさない。

運動方程式以外にも、物質波光学の他の側面は、対応する光光学の場合とは異なります。

物質波の環境条件に対する感受性。 電磁（光）回折の多くの例は、様々な環境条件下で空気中に発生します。可視光は明らかに空気分子と弱い相互作用を示します。対照的に、低速電子や分子のような強く相互作用する粒子は真空を必要とします。物質波の性質は、低圧のガスにさらされただけでも急速に薄れてしまいます。[ 69 ]特殊な装置を用いれば、高速電子を用いて液体や気体を研究することができます。重要な例外である中性子は、主に原子核との衝突によって相互作用するため、空気中を数百フィートも移動します。[ 70 ]

分散。あらゆる周波数の光波は同じ光速で進みますが、物質波の速度は周波数によって大きく変化します。周波数（エネルギーに比例）と波数または速度（運動量に比例）の関係は、分散関係と呼ばれます。真空中の光波は、周波数と分散関係が線形です。物質波の場合、この関係は非線形です。 この非相対論的な物質波の分散関係によれば、真空中の周波数は波数（）とともに、静止質量のド・ブロイ周波数（）による定数部分と、運動エネルギーによる2次部分の2つの部分に変化します。2次項により、物質波の波束は急速に広がります。 ω=ck{\displaystyle \omega =ck}ω(k)≈m0c2ℏ+ℏk22m0.{\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}k=1/λ{\displaystyle k=1/\lambda }ℏω0=m0c2{\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}

コヒーレンス光学理論アプローチを用いた回折特徴の可視性はビームコヒーレンスに依存し、[ 29 ]これは量子レベルでは密度行列アプローチと等価である。[ 71 ] [ 72 ]光と同様に、横方向コヒーレンス（伝播方向を横切る方向）はコリメーションによって増加させることができる。電子光学システムは、コリメート（平行化）レンズと尖ったフィラメント光源と組み合わせて、狭いエネルギー拡散を与えるために安定化された高電圧を使用し、良好なコヒーレンスを実現する。[ 73 ]すべての周波数の光は同じ速度で伝わるため、縦方向コヒーレンスと時間方向コヒーレンスは関連しているが、物質波ではこれらは独立している。例えば、原子の場合、速度（エネルギー）選択が縦方向コヒーレンスを制御し、パルス化またはチョッピングが時間方向コヒーレンスを制御する。[ 68 ] : 154

光学的に形作られた物質波 物質の光学的操作は物質波光学において重要な役割を果たしている。「ガラスが光波と相互作用するのと同じように、光波は物質波に対して屈折、反射、吸収構造として作用することができる。」[ 74 ]レーザー光の運動量移動は物質粒子を冷却し、原子の内部励起状態を変化させることができる。[ 75 ]

多粒子実験 単一粒子の自由空間光波動方程式と物質波動方程式は同一であるが、コインシデンス実験のような多粒子系では同一ではない。[ 76 ]

物質波の応用

以下のサブセクションでは、物質波を物質や基本的な量子特性の探針として応用する方法について解説したページへのリンクを提供します。ほとんどの場合、これらの応用では、最初は単純な形を持つ伝播する物質波を生成し、それを用いて物質を探針する何らかの方法が用いられます。 exp⁡(ik⋅r−iωt){\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t)}

下の表に示すように、物質波の質量は6桁以上、エネルギーは9桁以上ありますが、波長はすべてピコメートルの範囲で、原子間隔と同程度です。（原子の直径は62～520 pmで、炭素-炭素単結合の典型的な長さは154 pmです。）より長い波長に到達するには、より低いエネルギーに到達するためのレーザー冷却などの特別な技術が必要です。また、波長が短いと回折効果の識別が難しくなります。[ 43 ]そのため、多くのアプリケーションでは、電磁波、特にX線のアプリケーションと並行して、物質構造に焦点が当てられています。光とは異なり、物質波の粒子は質量、電荷、磁気モーメント、内部構造を持つ可能性があり、新しい課題と機会を提示しています。

さまざまな物質波の波長
案件質量運動エネルギー波長参照
電子1/1823日54  eV午後167 時デイヴィソン・ガーマー実験
電子1/1823日5 × 10 4  eV午後5 時外村ら[ 77 ]
He原子、H2分子 4 日午後50 時エスターマンとスターン[ 78 ]
中性子1 日0.025  eV午後181 時ウォランとシュル[ 79 ]
ナトリウム原子 23 日午後20 時モスコウィッツら[ 80 ]
ヘリウム4 日0.065  eV午後56 時グリセンティら[ 81 ]
ナ223 日0.000 17  eV午後4時59分 チャップマンら[ 82 ]
C 60フラーレン720 日0.2  eV午後5 時アーンドットら[ 46 ]
C 70フラーレン841 日0.2  eV午後2 時ブレズガーら[ 83 ]
ポリペプチド、グラミシジンA 1860 年360  FMシャイエギら[ 84 ]
官能化オリゴポルフィリン 25000日​ 17  eV53  FMフェインら[ 85 ]

電子

電子回折パターンは、高エネルギー電子が秩序だった固体を反射または透過するときに現れます。このパターンを分析すると、固体内の原子配列のモデルが得られます。

これらは、電子顕微鏡、透過法、走査法、および低エネルギーでの表面を使用して、ミクロンから原子スケールまでの画像化に使用されます。

電子エネルギー損失分光法では、物質が失うエネルギーを測定することで、物質の化学構造や電子構造に関する情報が得られます。また、エネルギー分散分光法では、電子ビームから特性X線が生成され、ナノスケールの化学組成に関する情報が得られます。

量子トンネル効果は、従来の予測が許容するよりも低いエネルギーで電子が静電場内の金属から脱出する仕組みを説明します。物質波は金属の仕事関数障壁を貫通します。

走査トンネル顕微鏡は量子トンネル効果を利用して固体表面の最上原子層を画像化します。

電子ホログラフィーは、光ホログラフィーの電子物質波アナログであり、薄膜内の電場と磁場を調べます。

中性子

中性子回折は、異なる散乱断面積と磁気に対する感度 を通じて、X 線回折を補完します。

小角中性子散乱は、軽元素、同位体、磁気モーメントに敏感な無秩序系の構造を取得する方法を提供します。

中性子反射率測定法は、薄膜の構造を測定するための中性子回折技術です。

中性原子

原子干渉計は光干渉計に似ており、異なる経路に沿った原子物質波間の位相の差を測定します。

原子光学系は、ミラー、原子集束ゾーンプレート など、多くの光学デバイスを模倣しています。

走査型ヘリウム顕微鏡は、ヘリウム原子の波を利用して固体構造を非破壊的に画像化します。

量子反射は、物質波の挙動を使用して、いくつかの原子ミラーの基礎となる斜入射原子反射を説明します。

量子デコヒーレンス測定は、Rb 原子波の干渉に依存します。

分子

巨大分子からの物質波の干渉によって明らかになった量子重ね合わせは、波動粒子二重性と量子マクロスコピックの限界を探るものである。 [ 85 ] [ 86 ]

物質波干渉計は分子ビーム上にナノ構造を生成し、これをナノメートルの精度で読み取ることができるため、高感度の力測定に使用でき、そこから個々の複雑な分子のさまざまな特性を推測することができます。[ 87 ]

参照

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