アンチプリズム

幾何学において、 $n$ 角形反プリズム（n-antiprism）または $n$ 反プリズムとは、 $n$ 辺形多角形の2つの平行な直接コピー（鏡像ではない）が、 $2$ $n$ 個の三角形の交互の帯で結ばれた多面体である。これらはコンウェイ記法 $A$ $n$ で表される。

反プリズムはプリズマトイドのサブクラスであり、（退化した）スナブ多面体の一種です。

反プリズムはプリズムに似ていますが、底面が互いに対してねじれており、側面（底面を接続）が $n個の$ 四辺形ではなく $2 n 個の$ 三角形である点が異なります。

$n$ 角形逆プリズムの双対多面体は $n$ 角形台形です。

歴史

ヨハネス・ケプラーは1619年に著した『世界の調和』の中で、無限個の反プリズムの存在を観察した。^[¹^]これは従来、これらの形状の最初の発見と考えられてきたが、それ以前から知られていた可能性もある。六角形の反プリズムの網目模様を描いた署名のない版木は、1556年に亡くなったヒエロニムス・アンドレーエの作とされている。 ^[²^]

ドイツ語で「アンチプリズム」という語は19世紀にこれらの形状を指して使われていた。カール・ハインツェは、この語をテオドール・ヴィットシュタインに導入させたとしている。^{[ 3 ]}英語の「アンチプリズム」は、それ以前には主要な光学素子の効果を打ち消すために使われる光学プリズムを指して使われていたが、 ^{[ 4 ]}幾何学的な意味で英語で「アンチプリズム」が初めて使われたのは、20世紀初頭のHSMコクセターの著作であると思われる。^{[ 5 ]}

特殊なケース

右反プリズム

正 $n$ 角形を底とする反プリズムの場合、通常、これら2つのコピーが角度 ⁠ だけねじれている場合を考える $。 180 / n ⁠$ 度。正多角形の軸は、多角形の平面に垂直で、多角形の中心にある線です。

合同な正 $n$ 角形底を持つ反プリズムの場合、角度 ⁠ だけねじれています $。$ $180 / n ⁠$ 度の場合、底辺が同軸である、すなわち共軸である、つまり（非共面底の場合）、底辺の中心を結ぶ線が底辺平面に垂直である、という条件を満たすと、より規則的な形状が得られます。この場合、反プリズムは直角反プリズムと呼ばれ、その $2n 個$ の側面は二等辺三角形です。^{[ 6 ]}

直角錐の $対称$ 群は、 $4$ $n$ の位数を持つ $D$ $n$ $d$ であり、これは反角錐対称性として知られる。これは、角錐の下半分を上半分に対して回転させることによって得られるからである。このようにして作られた凹多面体もこの対称群を持つため、「角錐」の前に「反」という接頭辞が付く。^[⁷^] $D$ $n$ $d$ とは異なる群を持つ例外が2つある。 $\pi /n$

$n = 2$ : 正四面体。これは $24$ 次のより大きな対称群 $T d$ を持ち、 $サブグループとしてD$ $2d$ の 3 つのバージョンを持ちます。
$n = 3$ : 正八面体。より大きな対称群 $O h$ の位数が $48$ で、その $サブグループとしてD 3d$ の4つのバージョンを持つ。^{[ 8 ]}

直2次元または3次元反プリズムが一様でない場合、その対称群は通常通り $D 2d$ または $D 3d$ となる。対称群が反転を含むのは、 $nが奇数の$ ときのみである。

回転群は、次の場合を除き、位数 $2$ $n$ の $D n$ です。

$n = 2 : 正四面体。これは$ $12$ 次のより大きな回転群 $T$ を持ち、サブグループ $D$ $2$ を 1 つだけ持ちます。
$n = 3$ : 正八面体。これは $24$ 次のより $大きな回転群O$ を持ち、 $サブグループとしてD$ $3$ の 4 つのバージョンを持ちます。

直2面体または直3面体反プリズムが一様でない場合、その回転群は通常通り $D 2$ または $D 3$ となる。直 $n$ 面体反プリズムは、合同な正 $n角形底辺と合同な二等辺三角形の側面を持つため、$ $n$ $\geq 4のとき、一様$ $n$ 面体反プリズムと同じ（二面体）対称群を持つ。

均一な反プリズム

一様 $n$ 反プリズムは $、$ 2つの合同な正 $n$ 角形を底面とし、 $2 n 個の$ 正三角形を側面とする。一様プリズムと同様に、一様反プリズムは頂点推移多面体の無限クラスを形成する。n $= 2の場合、正$ 四面体と視覚的に同一な二角形反プリズム（退化反プリズム）となる $。n$ $= 3$ の場合、正八面体は三角反プリズム（非退化反プリズム）となる。 ^[⁶^]

均一なn角形反プリズムの族
v
t
e
アンチプリズム名	対角反プリズム	（三角）三角反プリズム	（正方晶）正方形反プリズム	五角形の反プリズム	六角形の反プリズム	七角形の反プリズム	...	非等角反プリズム
多面体画像							...
球面タイリング画像							平面タイリング画像
頂点構成。	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	...	∞.3.3.3

これらの半正則反プリズムのシュレーゲル図は次のとおりです。

A3	A4	A5	A6	A7	A8

直交座標

直角 $n$ 逆プリズム（つまり、正 $n$ 角形の底辺と $2 n$ 個の二等辺三角形の側面を持ち、底辺の外接半径が 1 であるもの）の頂点の直交座標は次のとおりです。

\left(\cos {\frac {k\pi}{n}},\sin {\frac {k\pi}{n}},(-1)^{k}h\right)

ただし $0\leqk\leq2n - 1 である$ 。

$n$ 逆プリズムが均一な場合（つまり三角形が正三角形の場合）、次のようになります。 $2h^{2}=\cos {\frac {\pi}{n}}-\cos {\frac {2\pi}{n}}.$

体積と表面積

一様 $n$ 角形逆柱の辺の長さを $a$ とすると、体積は次のように表され、表面積は次のように表される。さらに、辺の長さが $l$ で高さが $hである$ 正 $n$ 角形逆柱の体積は次のように表される。^[⁹^] $V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}~a^{3},$ $A={\frac {n}{2}}\left(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.$ $V={\frac {nhl^{2}}{12}}\left(\csc {\frac {\pi }{n}}+2\cot {\frac {\pi }{n}}\right).$

導出

正多角形の底辺における水平外接円の外接半径は $n$

{\displaystyle R(0)={\frac {l}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}。

底辺の頂点は

\left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi m}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi m}{n}}\\0\end{array}}\right),\quad m=0..n-1;

上の頂点は

\left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\h\end{array}}\right),\quad m=0..n-1.

線形補間により、反プリズムの外側の三角形の辺上の、底部の頂点と上部の頂点を結ぶ点は、

\left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\cos {\frac {2\pi m}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\sin {\frac {2\pi m}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1

そして

\left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\cos {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\sin {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1.

前の2つのベクトルのいずれかの座標の平方和と座標の平方和を積むと、このセクションの高度における円周半径の平方は $x$ $y$ $z$

R(z)^{2}={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}[h^{2}-2hz+2z^{2}+2z(hz)\cos {\frac {\pi }{n}}].

底辺から高度における水平断面は、長さの辺と長さの辺が交互に並ぶ角形（切頂角形）である。（これらは前の2つのベクトルの差の長さから導かれる。）この断面は、辺の長さがと（半周長）の等角三角形と、辺の長さがと（半周長）の等角三角形に分割できる。ヘロンの公式によれば、これらの三角形の面積は以下の通りである。 $0\leq z\leq h$ $2n$ $n$ $n$ $l_{1}(z)=l(1-z/h)$ $n$ $l_{2}(z)=lz/h$ $n$ $R(z),R(z)$ $l_{1}$ $R(z)+l_{1}(z)/2$ $n$ $R(z),R(z)$ $l_{2}(z)$ $R(z)+l_{2}(z)/2$

Q_{1}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}(hz)\left[(hz)\cos {\frac {\pi}{n}}+z\right]\sin {\frac {\pi}{n}}

そして

Q_{2}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}z\left[z\cos {\frac {\pi}{n}}+hz\right]\sin {\frac {\pi}{n}}.

断面の面積はであり、体積は $n[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]$

V=n\int _{0}^{h}[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]dz={\frac {nh}{3}}R(0)^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}(1+2\cos {\frac {\pi }{n}})={\frac {nh}{12}}l^{2}{\frac {1+2\cos {\frac {\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}.

同じ $l$ と $hを持つ直$ $n$ 角柱の体積は次のようになります。これは反角柱の体積よりも小さくなります。 $V_{\mathrm {プリズム} }={\frac {nhl^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}$

一般化

高次元では

4次元反プリズムは、2つの双対多面体を平行な対向面として持つものと定義でき、それらの間の各3次元面は、多面体の2つの双対部分、すなわち頂点と双対多角形、または2つの双対辺から構成される。すべての3次元凸多面体は、その正準多面体とその極双対から構成される4次元反プリズムの2つの対向面のいずれかと組合せ的に等価である。^{[ 10 ]}しかし、双対多面体と組み合わせることで5次元反プリズムを形成できない4次元多面体も存在する。^{[ 11 ]}

自己交差多面体

3/2反プリズム非均一	5/4反プリズム非均一	5/2-アンチプリズム	5/3-アンチプリズム
9/2-反プリズム	9/4アンチプリズム	9/5-アンチプリズム

15辺までの星型および星型以外の一様反プリズム、ならびに29角形（イコサエネアゴン）の一様反プリズム。例えば、一様となる最大の $q$ $を持つイコサエネアグラムの交差反プリズム（ 29/ q ）は$ $q$ $= 19$ で、図の右下隅に描かれている。qが20以上28以下の場合、 $交差$ $反$ $プリズム$ は一様にならない。注：八角形の交差反プリズム（8/5）は欠落している。

一様な星の反プリズムは、その星の多角形底 ${p / q}$ にちなんで名付けられ、順行解と逆行解（交差解）の両方に存在します。交差形は交差する頂点図形を持ち、「逆」分数で表されます。p $/$ $q$ ではなく $p /(p - q)と表記され$ $ます$ 。例：(5/2) ではなく (5/3) と表記されます。

直星型 $n$ 逆プリズムは、2 つの合同な共軸の正凸型または星型多角形の底面と、 $2 n$ 個の二等辺三角形の側面を持ちます。

通常の凸型または星型多角形の底面を持つ星型反プリズムは、(必要に応じて、底面の 1 つを移動したりねじったりすることで)直星型反プリズムにすることができます。

順行形とは異なり、逆行形では、凸状または星の底辺を結ぶ三角形が回転対称軸と交差します。したがって、

正凸多角形の底面を持つ逆行星型反プリズムは、すべての辺の長さが等しくないため、均一にはなれません。「例外」：正三角形の底面（頂点配置：3.3/2.3.3）を持つ逆行星型反プリズムは均一になる場合がありますが、その場合、正三角形の外観を持ち、縮退した星型多面体となります。
同様に、正星型多角形を底面とする逆行星型反プリズムの中には、すべての辺の長さが等しくならないものがあり、そのため一様になりません。例：正星型{7/5}角形を底面とする逆行星型反プリズム（頂点配置：3.3.3.7/5）は一様になりません。

また、 $p$ と $qが共通因数を持つ場合、正則な星型$ ${p / q}$ 角形基底を持つ星型反プリズム複合体を構成することができます。例：星型(10/4)反プリズムは、2つの星型(5/2)反プリズムの複合体です。

均一な交差反プリズムの数

$反プリズムに(p / q)$ という記法を用いる場合、 $q > p /2$ の場合には反プリズムは（定義により）交差しており、 $q < p /2$ の場合には交差していない。本節では、すべての反プリズムは非退化、すなわち $p \geq 3$ 、 $q \neq p /2$ であると仮定する。また、複合項は数え上げから除外されるため、条件 $(p, q) = 1$ （ $p$ と $qは互いに素）が成立する。p$ $を$ 固定した場合の均一な交差反プリズムの数は、簡単な不等式を用いて決定できる。q の可能な条件は以下の通り $で$ ある。

⁠ p / 2 ⁠ < q < ⁠ 2 / 3 ⁠ p

かつ

(p, q) = 1。

例:

$p$ = 3: 2 ≤ $q$ ≤ 1 – 均一な三角形の交差反プリズムは存在しません。
$p$ = 5: 3 ≤ $q$ ≤ 3 – (5/3) タイプの 1 つの反プリズムが均一になることがあります。
$p$ = 29: 15 ≤ $q$ ≤ 19 – 上の画像の (29/1) 凸反プリズムの下の右端の列に、5 つの可能性 (15 から 19) が示されています。
$p$ = 15: 8 ≤ $q$ ≤ 9 – $q$ = 8 の反プリズムは解であるが、 $q$ = 9 は (15,9) = 3 かつ⁠なので棄却されなければならない。15/9⁠ = ⁠5/3⁠。反プリズム (15/9) は、3つの反プリズム (5/3) の合成物です。9 は不等式を満たすので、合成物は一様であり、もしそうであれば、その部分も一様でなければなりません。実際、例2から、反プリズム (5/3) は一様である可能性があります。

次の表の最初の列の記号は、Schoenflies、Coxeter、および orbifold 表記法の順になっています。

対称性によるスター（ $p / q$ ）反プリズム（ $p\leq12 ）$
対称群	均一な星			右の星
$D 3h [2,3] (2*3)$				3.3/2.3.3交差三角錐
$D 4d [2 +,8] (2*4)$				3.3/2.3.4交差四角錐
$D 5h [2,5] (*225)$	3.3.3.5/2五芒星の反プリズム			3.3/2.3.5交差五角形反プリズム
$D 5d [2 +,10] (2*5)$	3.3.3.5/3五芒星の交差反角柱
$D 6d [2 +,12] (2*6)$				3.3/2.3.6交差六角形逆柱
$D 7h [2,7] (*227)$	3.3.3.7/2ヘプタグラム反プリズム（7/2）	3.3.3.7/4七芒星の交差反角柱（7/4）
$D 7d [2 +,14] (2*7)$	3.3.3.7/3ヘプタグラムの反プリズム（7/3）
$D 8d [2 +,16] (2*8)$	3.3.3.8/3八角形の反プリズム	3.3.3.8/5八芒星の交差反角柱
$D 9h [2,9] (*229)$	3.3.3.9/2エニアグラムの反プリズム（9/2）	3.3.3.9/4エニアグラムの反プリズム（9/4）
$D 9d [2 +,18] (2*9)$	3.3.3.9/5エニアグラムの交差反プリズム
$D 10d [2 +,20] (2*10)$	3.3.3.10/3デカグラム反プリズム
$D 11h [2,11] (*2.2.11)$	3.3.3.11/2 11/2 11文字	3.3.3.11/4 11/4 (11/4)	3.3.3.11/6 11/6 11進数の交差 (11/6)
$D 11d [2 +,22] (2*11)$	3.3.3.11/3 11/3 (11/3)	3.3.3.11/5 11/5 (11/5)	3.3.3.11/7 11文字の交差（11/7）
$D 12d [2 +,24] (2*12)$	3.3.3.12/5十二文字	3.3.3.12/7十二文字の交差
...	...

参照

反プリズムグラフ、反プリズムのグラフ
大反プリズム、4次元多面体
歪んだ多角形、凸包が反プリズムである3次元多角形

参考文献

^ケプラー、ヨハネス（1619年）「第2巻、定義X」『世界調和論』（ラテン語）49頁。七角形逆プリズムの図 Aも参照してください。
^シュライバー, ピーター;フィッシャー, ギーゼラ; スターナート, マリア・ルイーズ (2008年7月). 「ルネサンス期におけるアルキメデス立体の再発見に関する新たな光」.正確科学史アーカイブ. 62 (4): 457– 467. doi : 10.1007/s00407-008-0024-z . JSTOR 41134285 .
^カール・ハインツェ (1886)。ルッケ、フランツ (編)。Genetische Stereometrie (ドイツ語)。 BG・トイブナー。 p. 14.
^スミス、ピアッツィ (1881). 「XVII. 酸素の低温スペクトルを形成する線の構成について」.エディンバラ王立協会紀要. 30 (1): 419– 425. doi : 10.1017/s0080456800029112 .
^ Coxeter, HSM (1928年1月). 「6次元および7次元における純粋アルキメデス多面体」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 24 (1): 1– 9. Bibcode : 1928PCPS...24....1C . doi : 10.1017/s0305004100011786 .
^ ^a ^bアルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー・B. (2015). 『数学的宇宙の旅：21世紀の立体幾何学』第50巻、アメリカ数学会、p.87. ISBN 978-1-61444-216-5。
^ Flusser, J.; Suk, T.; Zitofa, B. (2017).モーメントによる2Dおよび3D画像解析. John Wiley & Sons . p. 126. ISBN 978-1-119-03935-8。
^オキーフ、マイケル、ハイド、ブルース・G. (2020). 『結晶構造：パターンと対称性』ドーバー出版. p. 140. ISBN 978-0-486-83654-6。
^アルシーナ & ネルセン (2015)、p. 88 .
^ Grünbaum, Branko (2005). 「プリズムと反プリズムは本当に退屈なのか？（パート3）」（PDF） . Geombinatorics . 15 (2): 69– 78. MR 2298896 .
^ Dobbins, Michael Gene (2017). 「反プリズムレス性、あるいは：多面体の実現可能性問題における組み合わせ同値性の射影同値性への還元」.離散幾何学と計算幾何学. 57 (4): 966– 984. doi : 10.1007/s00454-017-9874-y . MR 3639611 .

さらに読む

アンソニー・ピュー（1976年）『多面体：視覚的アプローチ』カリフォルニア州：カリフォルニア大学出版局バークレー校、ISBN 0-520-03056-7。第2章：アルキメデスの多面体、プリズムと反プリズム

外部リンク

ウィキメディア・コモンズの反プリズム関連メディア
ワイスタイン、エリック W. 「反プリズム」。MathWorld 。

[1] ケプラー、ヨハネス（1619年）「第2巻、定義X」『世界調和論』（ラテン語）49頁。七角形逆プリズムの図 Aも参照してください。

[2] シュライバー, ピーター;フィッシャー, ギーゼラ; スターナート, マリア・ルイーズ (2008年7月). 「ルネサンス期におけるアルキメデス立体の再発見に関する新たな光」.正確科学史アーカイブ. 62 (4): 457– 467. doi : 10.1007/s00407-008-0024-z . JSTOR 41134285 .

[3] カール・ハインツェ (1886)。ルッケ、フランツ (編)。Genetische Stereometrie (ドイツ語)。 BG・トイブナー。 p. 14.

[4] スミス、ピアッツィ (1881). 「XVII. 酸素の低温スペクトルを形成する線の構成について」.エディンバラ王立協会紀要. 30 (1): 419– 425. doi : 10.1017/s0080456800029112 .

[5] Coxeter, HSM (1928年1月). 「6次元および7次元における純粋アルキメデス多面体」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 24 (1): 1– 9. Bibcode : 1928PCPS...24....1C . doi : 10.1017/s0305004100011786 .

[oh-6] アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー・B. (2015). 『数学的宇宙の旅：21世紀の立体幾何学』第50巻、アメリカ数学会、p.87. ISBN 978-1-61444-216-5。

[7] Flusser, J.; Suk, T.; Zitofa, B. (2017).モーメントによる2Dおよび3D画像解析. John Wiley & Sons . p. 126. ISBN 978-1-119-03935-8。

[8] オキーフ、マイケル、ハイド、ブルース・G. (2020). 『結晶構造：パターンと対称性』ドーバー出版. p. 140. ISBN 978-0-486-83654-6。

[FOOTNOTEAlsinaNelsen2015[httpbooksgooglecombooksidFEl2CgAAQBAJpgPA88_88]-9] アルシーナ & ネルセン (2015)、p. 88 .

[10] Grünbaum, Branko (2005). 「プリズムと反プリズムは本当に退屈なのか？（パート3）」（PDF） . Geombinatorics . 15 (2): 69– 78. MR 2298896 .

[11] Dobbins, Michael Gene (2017). 「反プリズムレス性、あるいは：多面体の実現可能性問題における組み合わせ同値性の射影同値性への還元」.離散幾何学と計算幾何学. 57 (4): 966– 984. doi : 10.1007/s00454-017-9874-y . MR 3639611 .

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