デコヒーレンスフリー部分空間

デコヒーレンスフリー部分空間( DFS ) は、非ユニタリダイナミクスに対して不変な量子システムのヒルベルト空間の部分空間です。言い換えると、システムと環境が分離され、したがってその発展が完全にユニタリであるシステムヒルベルト空間の小さなセクションです。 DFS は、量子エラー訂正コードの特別なクラスとして特徴付けることもできます。この表現では、これらの部分空間は (おそらく)アクティブな安定化方法を必要としない情報でエンコードされているため、DFS は受動的なエラー防止コードです。これらの部分空間は、量子情報を分離することにより、破壊的な環境相互作用を防ぎます。そのため、量子システムの (コヒーレントな) 制御が望ましい目標である量子コンピューティングでは、 DFSが重要な主題です。この点で、デコヒーレンスはシステムの量子状態間のコヒーレンスの喪失を引き起こし、その結果として干渉項が減衰し、(開いた) 量子システムから周囲の環境への情報の損失につながるため、問題を引き起こします。量子コンピュータは環境から分離することができず（つまり、現実世界では真に分離された量子システムを持つことはできない）、情報が失われる可能性があるため、DFS の研究は量子コンピュータを現実世界に実装する上で重要です。

背景

起源

DFSの研究は、量子情報処理（QIP）の分野におけるデコヒーレンスを回避するための構造化された手法の探索から始まりました。これらの手法には、特定のデコヒーレンス過程（つまり、環境との特定の相互作用）によって変化しない可能性のある特定の状態を特定する試みが含まれていました。これらの研究は、GM Palma、KA Suominen、AK Ekertによる観察から始まりました。彼らは、環境と同じ相互作用を持つ2つの量子ビットに対する純粋な位相ずれの影響を研究しました。彼らは、そのような2つの量子ビットはデコヒーレンスしないことを発見しました。 ^[1]もともと「サブデコヒーレンス」という用語は、Palmaによってこの状況を説明するために使用されました。注目すべきは、Martin Plenio、Vlatko Vedral、Peter Knightによる独立した研究で、彼らは自然放出における特定のユニタリー時間発展に対して不変な符号語を持つ誤り訂正符号を構築しました。^[2]

さらなる発展

その後まもなく、LM DuanとGC Guoもこの現象を研究し、Palma、Suominen、Ekertと同じ結論に達しました。しかし、DuanとGuoは独自の用語を用い、「コヒーレンス保存状態」という用語を、位相のずれによってデコヒーレンスが失われない状態を表すために用いました。DuanとGuoは、2つの量子ビットを組み合わせて位相のずれに対してコヒーレンスを保存するというこの考えを、集団位相のずれと散逸の両方に適用し、そのような状況ではデコヒーレンスが防止されることを示しました。これは、システムと環境の結合強度に関する知識を前提とすることで示されました。しかし、これらのモデルは位相のずれと散逸というデコヒーレンス過程のみを扱っていたため、限界がありました。他の種類のデコヒーレンスを扱うために、Palma、Suominen、Ekert、そしてDuanとGuoによって提示された以前のモデルは、P. ZanardiとM. Rasettiによってより一般的な設定に落とし込まれました。彼らは既存の数学的枠組みを拡張し、より一般的なシステムと環境の相互作用、例えば集団的デコヒーレンス（量子系のすべての状態に作用する同一のデコヒーレンス過程）や一般ハミルトニアンなどを包含した。彼らの解析は、システムと環境の結合強度の既知に依存しないデコヒーレンスフリー（DF）状態の存在に関する、初めて形式的かつ一般的な状況を示した。ザナルディとラセッティはこれらのDF状態を「誤り回避符号」と呼んだ。その後、ダニエル・A・ライダーは、これらのDF状態が存在する空間を「デコヒーレンスフリー部分空間」と名付けた。ライダーは摂動に対するDF状態の強さを研究し、DF状態におけるコヒーレンスがシステムハミルトニアンの発展によって覆される可能性があることを発見した。この観察は、DF状態を量子計算に利用できる可能性に対する別の前提条件を示唆した。DF状態の存在に関する完全に一般的な要件は、ライダー、D・ベーコン、そしてKB・ホエリーによって、クラウス演算子和表現（OSR）を用いて表現された。その後、A.シャバーニとライダーは、初期状態がDF状態である必要があるという要件を緩和し、DFSの既知の条件をいくつか修正してDFSフレームワークを一般化した。^[3]

最近の研究

DFSの描像の一般化において、E. Knill、R. Laflamme、L. Violaが「ノイズのないサブシステム」という概念を導入したことで、その後の発展が遂げられました。^[1] Knillは、システムと環境の相互作用における動的対称性を生成する代数の高次元の既約表現へと拡張しました。DFSに関する初期の研究では、DF状態はシングレット、つまり1次元の既約表現として記述されていました。この研究は成功を収め、この解析の結果、集団的デコヒーレンス下でDFSを構築するために必要な量子ビットの数が4から3に削減されました。^[1]部分空間からサブシステムへの一般化は、既知のデコヒーレンス防止とヌル化戦略のほとんどを組み合わせるための基礎となりました。

デコヒーレンスフリーな部分空間の存在条件

ハミルトニアン定式化

浴Bに結合したN次元量子系Sを考え、以下のようにシステム-浴結合ハミルトニアンで記述される。 ここ で、相互作用ハミルトニアンは通常の方法で と与えられ 、 はシステム（浴）にのみ作用し、はシステム（浴）ハミルトニアン、 はシステム（浴）に作用する恒等演算子である。 これらの条件下で、 （ここではシステムヒルベルト空間）内の動的発展が完全にユニタリ（すべての可能な浴状態）であるためには、 が次の場合のみである$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},}$$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}{\big (}{\hat {B}}_{i}{\big )}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}{\big (}{\hat {H}}_{B}{\big )}}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{S}{\big (}{\hat {I}}_{B}{\big )}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle \forall |\phi \rangle }$

1. ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}|\phi \rangle =s_{i}|\phi \rangle ,s_{i}\in \mathbb {C} }$ と の張るすべての場合 、 上の有界システムバス作用素の空間は、${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle \forall {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{SB}}$
2. システムと浴槽は最初は結合されていない（つまり、製品状態として表現できる）。
3. からの状態の「漏れ」はありません。つまり、システムハミルトニアンはからの状態をマッピングしません。${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

言い換えれば、システムが で始まり（つまり、システムと浴が最初は分離されている）、システムのハミルトニアンは不変であり、(i) を満たす場合のみ は DFS になります。 ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}}$ ${\textstyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}=\operatorname {span} \left[\left\{|\phi _{k}\rangle \right\}_{k=1}^{N}\right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

これらの状態はの退化した 固有値であり、したがって区別可能であり、したがって特定のデコヒーレンス過程において情報を保存します。上記の条件を満たすシステムヒルベルト空間の任意の部分空間は、デコヒーレンスフリー部分空間です。しかし、条件 (iii) が満たされない場合、この部分空間から情報が「漏れる」可能性があります。したがって、ハミルトン条件の下で DFS が存在する場合でも、これらの部分空間に作用し、状態をシステムヒルベルト空間の別の部分空間（DFS である可能性もそうでない可能性も）へ取り出す非ユニタリー作用が依然として存在します。 ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})}$

演算子和表現の定式化

をN次元DFSとし、を系（量子系のみ）のヒルベルト空間とする。クラウス演算子は、 N基底状態を用いて記述すると、次のように与えられる。^{[説明が必要]} ここで、（は系-浴の複合ハミルトニアン）はに作用し、は（の直交補行列）に作用する任意の行列である。はに作用するため、はではデコヒーレンスを生じない。ただし、（おそらく）ではデコヒーレンス効果を生じる可能性がある。を張り、さらに以下を満たす 基底ケットを考えてみよう${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{l}={\begin{pmatrix}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\bar {A}} _{l}\end{pmatrix}},\quad g_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|\mathbf {U} _{C}|j\rangle }$$ ${\textstyle \mathbf {U} _{C}=\exp \left({-i\mathbf {H} _{C}t}/{\hbar }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{C}}$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$ ${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$ ${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$ ${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ $${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle =g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle ,\quad \forall {l}.}$$

${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$ は任意のユニタリ演算子であり、時間依存する場合とそうでない場合がありますが、添字変数 とは独立です。は複素定数です。は を張るので、任意の純粋状態はこれらの基底ケットの線形結合として表すことができます。 ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g_{l}}$ ${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{j=1}^{N}b_{j}|j\rangle ,\quad b_{j}\in \mathbb {C} .}$$

この状態はデコヒーレンスフリーです。これは の作用を考えるとわかります。 ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(\mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle )\\&=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle )\\\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle .\end{aligned}}}$$

したがって、 の密度演算子表現では、 この状態の進化は次のようになります。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \rho _{\text{initial}}=|\psi \rangle \langle \psi |}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{final}}&=\sum _{l}\mathbf {A} _{l}\rho _{\text{initial}}\mathbf {A} _{l}^{\dagger }\\&=\sum _{l}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |h_{l}\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }\\&=\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

上記の式は、 が純粋状態であり、がユニタリであることから、その発展はユニタリであることを示しています。したがって、の任意の状態はデコヒーレンスしません。なぜなら、その発展はユニタリ演算子によって支配され、その動的発展は完全にユニタリになるからです。したがって、はデコヒーレンスフリーな部分空間です。上記の議論は、任意の初期混合状態にも一般化できます。 ^[1]${\displaystyle \rho _{\text{final}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

半群の定式化

この定式化は半群アプローチを用いている。リンドブラッドのデコヒーリング項は、量子系のダイナミクスがユニタリになる条件を決定する。特に、 （ここでは系の状態の密度演算子表現）のとき、ダイナミクスはデコヒーレンスフリーとなる。 の範囲（ここでは系のヒルベルト空間）とする。以下の仮定の下で、 ${\displaystyle L_{D}[\rho ]=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$

1. リンドブラッドデコヒーリング項の係数行列のノイズパラメータは微調整されない（つまり、それらについて特別な仮定は行われない）
2. システムの初期状態の初期条件に依存しない

DFS であるための必要十分条件 は次のとおりです。 ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle \forall {|j\rangle }}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha }|j\rangle =\lambda _{\alpha }|j\rangle ,\quad \forall \alpha .}$$

上記の式は、すべての基底状態が誤差生成子の退化した固有状態であることを示しています。したがって、それぞれのコヒーレンス項はデコヒーレンスしません。したがって、それぞれの固有値は退化しており、誤差生成子による作用下では識別可能であるため、デコヒーレンス過程後も内部の状態は相互に識別可能です。 ${\displaystyle |j\rangle }$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {F} _{\alpha }\right\}_{\alpha =1}^{M=N\times {N}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

情報保存構造（IPS）と量子誤り訂正符号（QECC）の特別なクラスとしてのDFS

情報保存構造（IPS）

DFS は、状態の集合を通じて情報を「エンコード」するものと考えることができます。これを理解するために、状態 に準備されているd次元の開放量子系を考えてみましょう。この状態は、系のヒルベルト・シュミット空間 (上の有界演算子の空間) に属する、非負 (つまり、固有値が正)でトレース正規化された( ) 密度演算子です。この密度演算子 (状態) が状態の集合、 (系のヒルベルト空間)の DFS、および から選択されるものとします。この状態の集合は、この集合内の状態が特定の種類の情報をエンコードするため、コードと呼ばれます。 ^[4]つまり、集合S はその状態を通じて情報をエンコードします。 内に含まれるこの情報はアクセス可能でなければなりません。情報は 内の状態にエンコードされているため、これらの状態は、たとえば、情報を取得しようとする何らかのプロセスにとって区別可能でなければなりません。したがって、2つの状態 に対して、その状態が処理前と同様に処理後にも識別可能である場合、そのプロセスはこれらの状態に対して情報保存的であると言える。より一般的な言い方をすれば、コード（またはDFS）がプロセスによって保存されるのは、各状態のペアが を適用した後も適用前と同様に識別可能である場合のみである。 ^[4]より実際的な説明は、がプロセスによって保存されるのは、かつ、かつ、${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} [\rho ]=1}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B({\mathcal {H}})}}}$ ${\displaystyle S=\left\{\rho _{i}\right\}_{i=1}^{n}\in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle n<d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S,\;(i\neq j)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle \forall {\boldsymbol {\rho }},{\boldsymbol {\rho }}'\in S}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle {\big \|}{\boldsymbol {\zeta }}{\big (}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big )}{\big \|}_{1}={\big \|}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big \|}_{1}.}$$

これは単に が上の 1:1 トレース距離保存写像であることを示しています。^{[4]この図では、DFS は、}相互の区別がプロセスによって影響を受けない状態 (むしろコード) の集合です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$

量子誤り訂正符号（QECC）

DFSは状態集合を通して情報を符号化できるため、誤り（デコヒーリング過程）に対して安全である。このように、DFSはQECCの特殊なクラスと見なすことができ、情報は環境との相互作用によって乱される可能性があるが、何らかの反転過程によって回復できる状態に符号化される。^[1]

システムのヒルベルト空間の部分空間である符号を考えてみましょう。符号は、符号化された情報（つまり「符号語」）によって与えられます。この符号は、システムのヒルベルト空間の小さな部分におけるデコヒーレンスを防ぎ、情報の損失を防ぐために実装できます。誤差は、システムと環境（浴）との相互作用によって発生し、クラウス演算子によって表されます。^[1]システムが浴と相互作用した後、そこに含まれる情報は「復号」できなければなりません。したがって、この情報を取得するために回復演算子が導入されます。したがって、QECCは、回復演算子の集合を伴う部分空間です。${\displaystyle C=\operatorname {span} \left[\left\{|j_{k}\rangle \right\}\right]}$ ${\displaystyle \left\{|j_{k}\rangle \right\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$

を、回復演算子 を伴う、クラウス演算子 によって表される誤差演算子の QECC とします。この場合、に制限すると のときのみ、が DFS となります。^[1]ここで、 はシステム進化演算子の逆です。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {A} _{l}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{r}\propto \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger },\forall {r}}$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger }}$

この量子演算の反転の図では、DFS はより一般的な QECC の特別なインスタンスであり、特定のコードに制限すると、回復演算子はシステム進化演算子の逆数に比例し、システムのユニタリー進化が可能になります。

これら2つの表現の微妙な違いは、 「保存」と「訂正」という2つの単語にあることに注意してください。前者ではエラー防止が用いられますが、後者ではエラー訂正が用いられます。つまり、2つの表現は、一方が受動的な方法であり、もう一方が能動的な方法であるという点で異なります。

デコヒーレンスフリー部分空間の例

集団的位相ずれ

集団的位相ずれを受ける基底量子ビットによって張られる2量子ビットのヒルベルト空間を考えます。これらの基底量子ビット間にはランダムな位相が生成されるため、量子ビットは次のように変換されます ${\displaystyle \left\{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\right\}}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{2i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

この変換の下では、基底状態は同じ位相係数 を得る。したがって、これを考慮すると、以下の符号化量子ビットを定義することで、この情報（すなわち位相係数）を用いて状態を符号化し、この位相ずれ過程の下でユニタリに発展させることができる。 ${\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}}$ ${\displaystyle e^{i\phi }}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0_{E}\rangle &=|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1_{E}\rangle &=|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

これらは基底量子ビットなので、任意の状態はこれらの状態の線形結合として表すことができます。したがって、 $${\displaystyle |\psi _{E}\rangle =l|0_{E}\rangle +m|1_{E}\rangle ,\quad l,m\in \mathbb {C} .}$$

この状態は、位相ずれのプロセスによって次のように変化します。 $${\displaystyle |\psi _{E}\rangle \longrightarrow l|0\rangle _{1}\otimes e^{i\phi }|1\rangle _{2}+e^{i\phi }m|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}=e^{i\phi }|\psi _{E}\rangle .}$$

しかし、量子状態の全体的な位相は観測不可能であり、したがって状態の記述には無関係である。したがって、この位相消失過程において不変であり、したがって基底関数系は4次元ヒルベルト空間のデコヒーレンスフリーな部分空間となる。同様に、部分空間もDFSである。 ${\displaystyle |\psi _{E}\rangle }$ ${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}}}$ ${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}},{\big \{}|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}{\big \}}}$

代替案：デコヒーレンスフリーなサブシステム

一般的なサブシステム分解を持つN次元システムヒルベルト空間を持つ量子系を考えてみましょう。サブシステムがシステム-環境結合に関してデコヒーレンスフリーなサブシステムであるとは、 OSR発展の下で、サブシステム内のすべての純粋状態がこのサブシステムに関して変化しないことを意味します。これは、環境の任意の初期条件に対して当てはまります。 ^{[5]デコヒーレンスフリーな}部分空間とデコヒーレンスフリーなサブシステムの違いを理解するために、1量子ビットの情報を2量子ビット系にエンコードすることを考えてみましょう。この2量子ビット系は4次元ヒルベルト空間を持ちます。この空間に1量子ビットをエンコードする1つの方法は、4次元ヒルベルト空間の2つの直交量子ビットによって張られる部分空間に情報をエンコードすることです。情報が次のように 直交状態にエンコードされていると仮定します${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}_{C}=\bigoplus _{j=1}^{N}(\bigotimes _{i=1}^{l_{N}}{\mathcal {H}}_{ji}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$ ${\displaystyle \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow \alpha |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}+\beta |1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.}$$

これは、情報が2量子ビットのヒルベルト空間の部分空間に符号化されていることを示しています。同じ情報を符号化する別の方法は、2つの量子ビットのうちの1つの量子ビットのみを符号化することです。最初の量子ビットが符号化されていると仮定すると、2番目の量子ビットの状態は完全に任意になります。これは以下の理由によるものです。

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow {\bigl (}\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}{\bigr )}\otimes |\psi \rangle .}$$

このマッピングは、情報を符号化する1量子ビットから2量子ビットのヒルベルト空間への1対多のマッピングです。 ^[5]代わりに、マッピングが への場合は、量子ビットから2量子ビットのヒルベルト空間の部分空間へのマッピングと同一です。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$

参照

• 量子デコヒーレンス
• 量子測定

参考文献

1. Lidar, Daniel A.; Whaley, K. Birgitta (2003). 「デコヒーレンスフリーな部分空間とサブシステム」. Benatti, F.; Floreanini, R. (編).不可逆量子ダイナミクス. Springer Lecture Notes in Physics. Vol. 622. ベルリン. pp.  83– 120. arXiv : quant-ph/0301032 . Bibcode :2003LNP...622...83L. doi :10.1007/3-540-44874-8_5. ISBN 978-3-540-40223-7 S2CID  117748831
2. Plenio, MB; Vedral, V.; Knight, PL (1997). 「自発放出の存在下での量子エラー訂正」. Phys. Rev. A . 55 (1): 67. arXiv : quant-ph/9603022 . Bibcode :1997PhRvA..55...67P. doi :10.1103/PhysRevA.55.67. S2CID  119420057.
3. Shabani, Alireza; Lidar, Daniel A. (2005). 「初期化フリー・デコヒーレンスフリーな部分空間とサブシステムの理論」. Phys. Rev. A . 72 (4) 042303. arXiv : quant-ph/0505051 . Bibcode :2005PhRvA..72d2303S. doi :10.1103/PhysRevA.72.042303. S2CID  3729369.
4. ブルーム＝コハウト, ロビン; ン, フイ・クーン; プーリン, デイヴィッド;ヴィオラ, ロレンツァ(2008). 「量子過程における保存情報の構造の特徴づけ」. Phys. Rev. Lett . 100 (3) 030501. arXiv : 0705.4282 . Bibcode :2008PhRvL.100c0501B. doi :10.1103/PhysRevLett.100.030501. PMID  18232952. S2CID  14309547.
5. Bacon, D. (2001).量子コンピュータにおけるデコヒーレンス、制御、対称性（博士論文）. カリフォルニア大学バークレー校. arXiv : quant-ph/0305025 .