演繹的閉包

数理論理学において、論理式の集合が演繹的に閉じているとは、その集合が${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ⁠ ⁠から論理的に演繹できるすべての式⁠ ⁠を含んでいる場合です。正式には、⁠ ⁠であれば常に⁠ ⁠が成り立ちます。 ⁠ ⁠ が式の集合である場合、 ⁠ ⁠の演繹閉包は、演繹的に閉じている 最小のスーパーセットです。${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

理論 の演繹的閉包は、しばしば${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Ded} ({\mathcal {T}})}$ または⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Th} ({\mathcal {T}})}$ と表記される。^[要出典]理論を演繹的に閉じていると定義しない著者もいる（したがって、理論は任意の文の集合として定義される）。しかし、そのような理論は常に演繹的に閉じた集合に「拡張」することができる。理論は、演繹的に閉じた集合として定義されていることを強調するために、演繹的に閉じた理論と呼ばれることがある。^[1]

演繹的閉包は、より一般的な数学的概念である閉包の特殊なケースです。特に、⁠ ⁠の演繹的閉包は、${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 論理的帰結( ⁠ ⁠ )の操作に関して、⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ の閉包とまったく同じです。 ${\displaystyle \vdash}$

例

命題論理においては、すべての真命題の集合は演繹的に閉じている。つまり、真である命題のみが他の真である命題から導出可能である。

認識論的閉鎖

認識論では、多くの哲学者が、命題の特定のサブセット、特に知識や信念の正当性を主体に帰属させるサブセットが演繹によって閉じられているかどうかについて議論してきましたし、現在も議論を続けています。

参考文献

1. PlanetMathの第一階理論。