デガスペリス・プロチェシ方程式

数理物理学において、ドガスペリス・プロチェシ方程式

あなたt−あなた××t+2κあなた×+4あなたあなた×＝3あなた×あなた××+あなたあなた×××{\displaystyle \displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+4uu_{x}=3u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}}

は、次の3次非線形分散偏微分方程式族の中で、正確に解ける2つの方程式のうちの1つです。

あなたt−あなた××t+2κあなた×+（b+1）あなたあなた×＝bあなた×あなた××+あなたあなた×××、{\displaystyle \displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},}

ここで、およびbは実パラメータ（Degasperis–Procesi 方程式ではb =3）である。この方程式は、この族のもう 1 つの積分可能方程式であるCamassa–Holm 方程式（ b =2 に対応）と形式が類似した積分可能方程式の探索中に、 Antonio Degasperis とMichela Procesiによって発見された。これら 2 つの方程式のみが積分可能なケースであることは、さまざまな積分可能性テストを使用して検証されている。[ 1 ] Degasperis–Procesi 方程式（ ）は、その数学的性質のみに基づいて発見されたが、後にCamassa–Holm 方程式と同様に水波理論で役割を果たすことがわかった。 [ 2 ]κ{\displaystyle \kappa }κ>0{\displaystyle \kappa >0}

ソリトンソリューション

デガスペリス・プロチェシ方程式（特別な場合）の解の中には、いわゆるマルチピーコン解があり、これは次のような形の関数である。 κ＝0{\displaystyle \kappa =0}

あなた（×、t）＝∑私＝1nメートル私（t）e−|×−×私（t）|u(x,t) = _{i=1}^{n}m_{i}(t)e^{-|x-x_{i}(t)|}}

ここで関数とが[ 3 ]を満たす。メートル私{\displaystyle m_{i}}×私{\displaystyle x_{i}}

×˙私＝∑j＝1nメートルje−|×私−×j|、メートル˙私＝2メートル私∑j＝1nメートルj記号⁡（×私−×j）e−|×私−×j|。{\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}m_{j}e^{-|x_{i}-x_{j}|},\qquad {\dot {m}}_{i}=2m_{i}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\,\operatorname {sgn} {(x_{i}-x_{j})}e^{-|x_{i}-x_{j}|}.}

これらの常微分方程式は、逆スペクトル法を用いて、初等関数を用いて明示的に解くことができる。[ 4 ]

デガスペリス・プロチェシ方程式のソリトン解が滑らかな場合、極限でゼロに近づくにつれてソリトン解はピーコンに収束する。[ 5 ]κ>0{\displaystyle \kappa >0}κ{\displaystyle \kappa }

不連続解

デガスペリス・プロチェシ方程式（ ）は、（非局所的）双曲型保存則と形式的に等価である。κ＝0{\displaystyle \kappa =0}

∂tあなた+∂×[あなた22+G2∗3あなた22]＝0、{\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*{\frac {3u^{2}}{2}}\right]=0,}

ここで、星印はxに関する畳み込みを表す。この定式化では、非常に低い正則度の弱解、さらには不連続な解（衝撃波）も許容する。[ 6 ]対照的に、カマッサ・ホルム方程式の対応する定式化には と の両方を含む畳み込みが含まれ、これはu がxに関してソボレフ空間内にある場合にのみ意味をなす。ソボレフの埋め込み定理により、これは特に、カマッサ・ホルム方程式の弱解がxに関して連続でなければならないことを意味する。 G（×）＝経験⁡（−|×|）{\displaystyle G(x)=\exp(-|x|)}あなた2{\displaystyle u^{2}}あなた×2{\displaystyle u_{x}^{2}}H1＝W1、2{\displaystyle H^{1}=W^{1,2}}

注記

  1. ^デガスペリスとプロチェーシ 1999 ;デガスペリス、ホルム＆ホーン 2002 ;ミハイロフとノビコフ 2002 ;ホーン＆ワン 2003 ;イワノフ、2005 年。
  2. ^ジョンソン、2003 ;ダリン、ゴットワルト、ホルム 2004 ;コンスタンタン＆ランヌ 2007 ;イワノフ 2007。
  3. ^デガスペリス、ホルム＆ホーン、2002 年。
  4. ^ Lundmark & Szmigielski 2003 ;ルンドマルク＆シュミギエルスキー 2005。
  5. ^松野 2005a ;松野 2005b．
  6. ^コクライトとカールセン、2006 ;コクライト＆カールセン 2007 ;ルンドマーク 2007 ;エッシャー、リュー、イン、2007 年。

参考文献

さらに読む

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