義務論的論理

義務論理は、義務、許可、および関連概念を扱う哲学的論理学の一分野です。あるいは、義務論理は、これらの概念の本質的な論理的特徴を捉えようとする形式体系です。義務論理は、命令論理、つまり自然言語における指示的様相を形式化するために使用できます。典型的には、義務論理では、OAはA が義務的である（またはA がそうあるべきである）という意味で、PA はA が許容される（または許容される）という意味で用いられます。PAは、 と定義されます。 ${\displaystyle PA\equiv \neg O\neg A}$

自然言語では、「動物園か公園に行くことができます」という文は、ではなくと理解されるべきです。なぜなら、この文では両方の選択肢が許可されているからです。談話ドメインに複数のエージェントが関与している場合、義務的様相演算子を各エージェントに指定して、個々の義務と許可を表すことができます。たとえば、エージェント に下付き文字を使用すると、は「エージェントにとって、（それをもたらす/実現させる）」という義務があることを意味します。は別のエージェントによるアクション として述べられる可能性があることに注意してください。一例として、「ボブが自動車を事故らせないことはアダムの義務である」は と表され、 B="ボブは自動車を事故らせない" となります。 ${\displaystyle Pz\land Pp}$ ${\displaystyle Pz\lor Pp}$ ${\displaystyle O_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle O_{i}A}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle O_{アダム}B}$

語源

デオンティックという用語は、古代ギリシャ語のδέον、ローマ字表記déon (属名: δέοντος、déontos )に由来し、 「拘束力のあるもの、または適切なもの」を意味します。

標準的な義務論的論理

ゲオルク・ヘンリック・フォン・ライトの最初の体系では、義務性と許容性は行為の特徴として扱われていた。その後まもなく、命題の義務論理に単純かつ洗練されたクリプキ流の意味論を与えることができることが発見され、フォン・ライト自身もこの運動に加わった。このように規定された義務論理は「標準義務論理」として知られるようになり、しばしばSDL、KD、あるいは単にDと呼ばれる。これは、古典的な命題論理の標準的な公理化に以下の公理を追加することで公理化できる。

${\displaystyle (\models A)\rightarrow (\models OA)}$

${\displaystyle O(A\rightarrow B)\rightarrow (OA\rightarrow OB)}$

${\displaystyle OA\to PA}$

英語では、これらの公理はそれぞれ次のようになります。

• A がトートロジーである場合、それは A であるべきである（必然性規則N）。言い換えれば、矛盾は許されない。
• A が B を意味するはずであれば、A が B を意味するはずである (様相公理K )。
• A であるべきならば、A であることは許される（様相公理D）。言い換えれば、A であることが許されないならば、A であることは必須ではない。

FA は、 Aが (同等に)またはとして定義されることが禁止されていることを意味します。 ${\displaystyle O\lnot A}$ ${\displaystyle \lnotPA}$

SDLには、通常2つの主要な拡張が考えられます。1つ目は、カント的な「べきは可能を含意する」という主張を表現するために、論理的様相演算子 を追加することで実現されます。 ${\displaystyle \Box}$

${\displaystyle OA\to \Diamond A.}$

ここで は少なくともKT演算子であると一般に想定されますが、最も一般的にはS5演算子であると解釈されます。実際の状況では、義務は通常、将来の出来事を見越して割り当てられます。その場合、倫理的可能性を判断することは困難です。したがって、義務の割り当ては、将来のタイムラインの異なる分岐において異なる条件を仮定して実行される可能性があり、過去の義務の割り当ては、タイムライン上で発生した予期せぬ展開により更新される可能性があります。 ${\displaystyle \Diamond \equiv \lnot \Box \lnot }$ ${\displaystyle \Box }$

もう一つの主要な拡張は、「条件付き義務」演算子 O(A/B) を追加することで得られます。これは「A は B を条件として（または条件として）B を条件としなければならない」という意味です。条件付き演算子の根拠は、次の（「善きサマリア人」）の事例を考えることで示されます。飢えている人や貧しい人々に食事を与えるべきであるというのは真実のように思えます。しかし、飢えている人や貧しい人々に食事を与えるということは、飢えている人や貧しい人がいることを意味します。SDL の基本原理から、飢えている人や貧しい人がいるべきであると推論できます。この議論は、SDLの基本的な K 公理と、通常の様相論理で有効な以下の原理に基づいています。

${\displaystyle \vdash A\to B\Rightarrow \ \vdash OA\to OB.}$

内包的条件演算子を導入すれば、飢餓状態の人々には、実際に飢餓状態の人々がO(A/B) という記号で表されている場合にのみ、餌を与えるべきであると言える。しかし、次の議論は、通常の（例えば Lewis 73）条件文のセマンティクスに反する。O(A/B) と A が B を含意することから、OB が推論される。

実際、単項演算子 O を二項条件演算子 O(A/B) の観点から と定義することもできます。ここで、 は基礎となるロジックの任意のトートロジーを表します( SDLの場合は、古典的です)。 ${\displaystyle OA\equiv O(A/\top )}$ ${\displaystyle \top }$

標準的な義務論的論理の意味論

可能世界間のアクセス可能性関係は、許容可能性関係として解釈されます。が許容可能な世界 (つまり) である場合、かつその場合に限り、 内のすべての義務が で満たされます(つまり)。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle wRv}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (w\models OA)\to (v\models A)}$

アンダーソンの義務論的論理

アラン・R・アンダーソン (1959) は、アレティック演算子と、何らかの制裁（例えば、悪いこと、禁止など）を表す義務定数（つまり、0項様相演算子）を用いて、 を定義する方法を示しています。直感的に、この双条件式の右側は、A が成立しないことが必然的に（あるいは厳密に）制裁を意味することを示しています。 ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle OA\equiv \Box (\lnot A\to s)}$

アレティック演算子 に対する通常の様相公理（必然性規則Nと分配公理K ）に加えて、アンダーソンの義務論理では、義務定数 に対して という公理が一つだけ追加されます。これは、すべての義務を履行して制裁を回避することがアレティックに可能であることを意味します。このバージョンのアンダーソンの義務論理は、SDLと同等です。 ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \neg \Box s\equiv \Diamond \neg s}$

しかし、アレティック演算子（ ）に様相公理Tが含まれている場合、アンダーソンの義務論理では が証明できますが、これはSDLには含まれていません。アンダーソンの義務論理では、義務演算子とアレティック演算子が必然的に結合されるため、場合によっては問題が発生する可能性があります。 ${\displaystyle \Box A\to A}$ ${\displaystyle O(OA\to A)}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \Box }$

二項義務論的論理

義務論的論理における重要な問題は、条件付き義務をどのように適切に表現するかという点である。例えば、「もしあなたが（s）喫煙するなら、あなたは灰皿（a）を使うべきである」といった表現である。以下のどちらの表現も適切かどうかは明らかではない。

${\displaystyle O(\mathrm {smoke} \rightarrow \mathrm {ashtray} )}$

${\displaystyle \mathrm {smoke} \rightarrow O(\mathrm {ashtray} )}$

最初の表現によれば、禁じられた行為を犯した場合は、2 番目の行為が義務的であるか、許可されているか、禁じられているかに関係なく、他の行為を犯すべきである、というのは空虚な真実である (Von Wright 1956、Aqvist 1994 で引用)。2 番目の表現によれば、穏やかな殺人のパラドックスに陥りやすく、(1)殺人をする場合は穏やかに殺人をするべきである、(2)殺人を犯す、(3)穏やかに殺人をするには、殺人をしなければならない、というもっともらしいステートメントは、よりもっともらしいステートメントである、殺人をすべきである、を暗示する。穏やかに殺人をするには、殺人をしなければならないというフレーズのmustは、あいまいな英語の単語 (意味がimpliesまたはoughtのいずれか) からの誤訳であると主張する人もいる。must を implies と解釈すると、殺人をすべきであると結論付けることはできず、与えられた殺人の繰り返しになるだけである。must を ought と誤って解釈すると、倒錯した論理ではなく、倒錯した公理が生じる否定形を使用すると、次の 2 つの英語のどちらが「to Murder gentle you must Murder」という文と同等であるかを検討することによって、あいまいな単語が誤訳されたかどうかを簡単に確認できます。これは、「if you Murder gentle it is forbidden not to Murder」と「if you Murder gentle it is impossible not to Murder」のどちらに相当しますか 。

一部の義務論的論理学者は、この問題に対処するために、二項義務論的演算子を含む二項義務論的論理を開発しました。

${\displaystyle O(A\mid B)}$ は、AがBを前提としていることを義務的に意味する。

${\displaystyle P(A\mid B)}$ は、B が与えられた場合、A が許容されることを意味します。

(この表記法は、条件付き確率を表すために使用される表記法をモデルにしています。) 二項義務論理は、標準的な (一項) 義務論理の問題の一部を回避しますが、独自の問題もいくつか抱えています。

その他のバリエーション

義務論的論理には、非単調義務論、矛盾整合義務論、動的義務論、超内包義務論など、他にも多くの種類が開発されてきた。行為の論理においては、ジョン・ホーティの「すべきこと」論理が、逆説的な帰結を回避しながら行為者に結びついた義務をモデル化するために開発された。

歴史

初期の義務論的論理

インドのミーマーンサー学派から古代ギリシャの哲学者たちは義務論的概念の形式論理関係について言及しており^{[ 1 ]} 、中世後期の哲学者たちは義務論的概念と論理的概念を比較した^{[ 2 ]}。

ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、著書『自然法原論』（1669年から1671年にかけて執筆）の中で、 licitum（許可）、illicitum（禁止）、debitum（義務）、indifferens （任意）の間の論理関係は、それぞれ、 possibile（可能） 、impossibile（不可能） 、necessarium （必要）、contingens（偶発性）の間の関係と同等であると述べている。^{[ 3 ]}

マリーの最初の義務論的論理とフォン・ライトの最初の「もっともらしい」義務論的論理

アレクシウス・マイノングの弟子であったエルンスト・マリーは、著書『ソルレンス論の基礎』 （1926年）において、義務論理の形式体系を初めて提唱した人物であり、ホワイトヘッドとラッセルの命題論理の統語論に基づいてそれを構築した。マリーの義務論理語彙は、論理定数と、単項接続詞と、二項接続詞とから構成されていた。${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle !}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$

* マリーは「Aはそうあるべきだ」と読みました。 *彼は「AはBを必要とする」と読みました。* 彼は「AとBはお互いを必要とする」と読みました。* 彼は「無条件に義務付けられている」と読みました。* 彼は「無条件に禁じられている」と読みました。${\displaystyle !A}$ ${\displaystyle AfB}$ ${\displaystyle A\infty B}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$

Mally は、、を次のように定義しました。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \cap }$

勝利。勝利。勝利。${\displaystyle f.AfB=A\rightarrow !B}$ ${\displaystyle \infty .A\infty B=(AfB)\&(BfA)}$ ${\displaystyle \cap .\rightarrow \cap =\lnot \cup }$

マリーは5つの非公式原則を提案しました。

(i) A が B を必要とし、B が C を必要とする場合、A は C を必要とします。(ii) A が B を必要とし、A が C を必要とする場合、A は B と C を必要とします。(iii) A が B を必要とするのは、A ならば B が必須である場合のみです。(iv) 無条件に必須なものは必須です。(v) 無条件に必須なものは、それ自身の否定を必要としません。

彼はこれらの原則を形式化し、それを自らの公理とした。

I. II. III. IV. V.${\displaystyle \rightarrow ((AfB)\&(B\rightarrow C))\rightarrow (AfC)}$ ${\displaystyle \rightarrow ((AfB)\&(AfC))\rightarrow (Af(B\&C))}$ ${\displaystyle \rightarrow (AfB)\leftrightarrow !(A\rightarrow B)}$ ${\displaystyle \rightarrow \exists \cup !\cup }$ ${\displaystyle \rightarrow \lnot (\cup f\cap )}$

これらの公理からマリーは35の定理を導き出したが、その多くは彼自身も当然ながら奇妙だと考えていた。カール・メンガーは、が定理であり、したがって!記号の導入は無関係であり、Aが真ならばAも真であるべきであることを示した。 ^{[ 4 ]}メンガー以降の哲学者たちは、マリーの体系をもはや妥当だとは考えなくなった。 ${\displaystyle !A\leftrightarrow A}$

義務論的論理の最初の妥当な体系は、 1951年に哲学誌『マインド』に掲載された論文『義務論的論理』において、GHフォン・ライトによって提唱された。（この種の論理を指すのに英語で「deontic（義務的）」という用語を初めて用いたのもフォン・ライトであるが、ドイツ語論文『Deontik（義務論的）』は1926年にマリーが発表している。）フォン・ライトの画期的な論文の発表以来、多くの哲学者やコンピュータ科学者が義務論的論理の体系を研究・開発してきた。しかしながら、義務論的論理は今日に至るまで、最も議論を巻き起こし、最も合意が得られていない論理学の分野の一つである。GHフォン・ライトは、マリーのように命題論理の統語論に基づいて1951年の義務論的論理を構築したのではなく、マリーが恩恵を受けなかったアレティック様相論理の影響を受けていた。 1964年、フォン・ライトは『義務論理の新体系』を出版した。これは命題論理の統語論への回帰であり、したがってマリーの体系への重要な回帰であった。（フォン・ライトの命題論理の統語論からの離脱と回帰の詳細については、ゲオルク・ヘンリク・フォン・ライト著の『義務論理: 私見』および『義務論理の新体系』を参照。）GHフォン・ライトが規範的推論のために可能性と必然性の様相論理を採用したことは、ライプニッツへの回帰であった。

フォン・ライトの体系はマリーの体系に比べて大幅に改善されたものの、それ自身の多くの問題を提起しました。例えば、ロスのパラドックスはフォン・ライトの義務論的論理に当てはまり、「手紙を郵送することは義務である」という文から「手紙を郵送するか、焼却するかのいずれかが義務である」という文へと推論することを可能にします。これは、手紙を焼却することが許容されるということを示唆しているように見えます。善きサマリア人のパラドックスも彼の体系に当てはまり、「強盗に遭った男を看護することは義務である」という文から「男が強盗に遭ったことは義務である」という文へと推論することを可能にします。もう一つの大きな難問は、アメリカの哲学者で論理学者のロデリック・チザムにちなんで名付けられたチザムのパラドックスです。フォン・ライトの体系には、以下の主張を、それらが共に充足可能かつ論理的に独立であることを可能にするような形式化が存在しません。

• ジョーンズは（隣人を助けるために）行くべきだ。
• ジョーンズが行くなら、彼は彼らに自分が来ると伝えるべきだ。
• ジョーンズが行かないなら、彼は彼らに自分が行くことを告げるべきではない。
• ジョーンズは行かない

これらのパズルやパラドックス（ジェントル・マーダラーや自由選択許可など）を解決するために、標準義務論理の拡張や改訂が長年にわたって何度か提案されてきました。

ヨルゲンセンのジレンマ

義務論的論理はヨルゲンセンのジレンマに直面する。^{[ 5 ]}この問題は三難問題として捉えるのが最も適切である。以下の3つの主張は両立しない。

• 論理的推論では、要素 (前提と結論) に真理値があることが必要です。
• 規範的なステートメントには真理値がありません。
• 規範的な記述の間には論理的な推論が存在します。

この問題への対応には、3 つの前提のうち 1 つを拒否することが含まれます。

1. 入出力論理は最初の前提を否定する。^{[ 6 ]}入出力論理は、要素が真理値を持つことを前提とせずに、要素に対する推論メカニズムを提供する。
2. あるいは、第二の前提を否定することもできる。その一つの方法は、規範そのものと規範に関する命題を区別することである。この回答によれば、規範に関する命題のみが（標準的な義務論理の場合と同様に）真理値を持つ。例えば、「テーブルからすべての本を取り除け！」という議論に真理値を割り当てるのは難しいかもしれないが、「テーブルからすべての本を取り除くことは義務である」という意味の（「テーブルからすべての本を取り除け」）には、直説法であるため真理値を割り当てることができる。${\displaystyle O}$
3. 最後に、第三の前提を否定することもできます。しかし、これは調査する価値のある規範の論理が存在することを否定することになります。

参照

• 義務論的倫理
• 自由選択推論
• 道徳的推論
• 規範（哲学）

参考文献

1. Huisjes、CH、1981、「規範と論理」、論文、フローニンゲン大学。
2. クヌーティラ、シモ (1981). 「14世紀における義務論的論理の出現」ヒルピネン、リスト編著『義務論的論理の新研究：規範、行為、そして倫理の基礎』シンセシス・ライブラリー第152巻. ドルドレヒト、オランダ: D. ライデル出版社. pp.  225– 248. doi : 10.1007/978-94-009-8484-4_10 . ISBN 978-90-277-1346-9。
3. R. Hilpinen（編）、義務論理の新研究：規範、行為、倫理の基礎、Springer、2012年、3-4頁。
4. メンガー、カール (1979). 「願望論理と命令論理に関する疑念の論理」.論理学と基礎、教授法、経済学における選集. ドルドレヒト: シュプリンガー. pp.  91– 102. doi : 10.1007/978-94-009-9347-1_9 . ISBN 978-90-277-0321-7。
5. ヨルゲンセン、ヨルゲン (1937–38)。「命令法と論理」。エルケンニス。7 (1): 288–96 .土井: 10.1007/BF00666538。JSTOR 20011886。S2CID 118082575。  
6. デビッド・マキンソン;ファン・デル・トーレ、レンダート（2003）、レーヴェ、ベネディクト。マルツコム、ヴォルフガング。 Räsch、Thoralf (編)、「入力/出力ロジックとは?」、形式科学の基礎 II、論理のトレンド、vol. 17、ドルドレヒト: Springer Netherlands、pp.  163–174、doi : 10.1007/978-94-017-0395-6_12、ISBN 978-90-481-6233-8

参考文献

• Lennart Åqvist、 1994 年、「Deontic Logic」、 D. Gabbay と F. Guenthner 編、『Handbook of Philosophical Logic: Volume II Extensions of Classical Logic』、ドルドレヒト: Kluwer。
• Dov Gabbay、John F. Horty、Xavier Parent他編、2013年、「義務論理と規範システムハンドブック」、ロンドン：College Publications、2013年。
• ヒルピネン、リスト、2001、「義務論的論理」、ルー・ゴブル編『ブラックウェル哲学論理ガイド』、オックスフォード：ブラックウェル。
• フォン・ライト、GH（1951）「義務論的論理」『マインド』60：1-15。

外部リンク

• マクナマラ、ポール. 「義務論的論理」 .ザルタ、エドワード・N.編著.スタンフォード哲学百科事典. ISSN  1095-5054 . OCLC  429049174 .
• ロクホルスト、ゲルト＝ヤン「マリーの義務論的論理」。ザルタ、エドワード・N.（編）『スタンフォード哲学百科事典』。ISSN 1095-5054。OCLC 429049174。  
• 義務に反するパラドックス、インターネット哲学百科事典。