デリバティブ

数学において、導関数はホモロジー代数 のための提案された枠組みであり[ 1 ] [ 2 ] 190-195ページ、アーベル的ホモロジー代数と非アーベル的ホモロジー代数、そしてその様々な一般化の基礎を与える。導来圏の欠陥（例えば円錐構成の非関数性）に対処すると同時に、ホモトピー代数のための言語を提供するために導入された。

デリバーターは、アレクサンダー・グロタンディークが1983年に長らく未発表であった原稿『Pursuing Stacks』で初めて導入しました。その後、グロタンディークは1991年に未発表のまま2000ページ近くに達する膨大な原稿『 Les Dérivateurs』でさらに発展させました。本質的に同じ概念は、アレックス・ヘラーによって（明らかに独立して）導入されました。[ 3 ]

この原稿は、ジョルジュ・マルツィニオティスによってオンライン出版用に編集されました。この理論は、ヘラー、フランケ、ケラー、グロスを含む他の数名によってさらに発展させられました。

動機

微分子を考慮する動機の一つは、三角形状の圏における円錐構成が関手性を持たないことである。微分子は、弱同値性を持つ圏におけるすべての図式とそれらの関係を追跡することで、この問題と一般ホモトピー余極限の包含を解決できる。経験的に、図式

∙→∙{\displaystyle \bullet \to \bullet }

これは2つのオブジェクトと1つの非恒等射を持つカテゴリであり、関数は

F:（∙→∙）→あ{\displaystyle F:(\bullet \to \bullet )\to A}

弱同値性のクラスを持つカテゴリ（そして正しい仮定を満たす）には、関連する関数が存在するはずである。あ{\displaystyle A}W{\displaystyle W}

C（F）:∙→あ[W−1]{\displaystyle C(F):\bullet \to A[W^{-1}]}

ここで、対象オブジェクトは、 における弱同値性を除き一意である。導関数はこの種の情報を符号化し、導来カテゴリやホモトピー理論で用いるダイアグラム計算を提供することができる。 C[W−1]{\displaystyle {\mathcal {C}}[W^{-1}]}

意味

プレデリバベーター

形式的には、前導関数 は2関数であるD{\displaystyle \mathbb {D} }

D:工業op→猫{\displaystyle \mathbb {D} :{\text{Ind}}^{op}\to {\text{CAT}}}

適切な2次元添え字圏から圏の圏への変換。典型的には、このような2次元関手は、係数圏と呼ばれる圏を考えることから得られる。例えば、フィルターされた小さな圏の圏は、その対象がフィルターされた余極限の添え字集合と考えることができる。そして、図式の射が与えられれば、ホム_（私op、あ）{\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}あ{\displaystyle A}工業{\displaystyle {\text{Ind}}}

f:私→J{\displaystyle f:I\to J}

で表すf∗{\displaystyle f^{*}}

f∗:D（J）→D（私）{\displaystyle f^{*}:\mathbb {D} (J)\to \mathbb {D} (I)}

これは逆像関数と呼ばれます。例題では、これは単に前合成なので、関数が与えられれば、それに対応する関数が存在します。これらの2関数は次のように表すことができます。F私∈ホム_（私op、あ）{\displaystyle F_{I}\in {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}FJ＝F私∘f{\displaystyle F_{J}=F_{I}\circ f}

ホム_（−、あ[W−1]）{\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(-,A[W^{-1}])}

ここで、はカテゴリ における適切な弱同値類です。 W{\displaystyle W}あ{\displaystyle A}

インデックスカテゴリ

この構成で使用できるインデックスカテゴリの例は数多くある。

  • 有限カテゴリの2 カテゴリ。したがって、オブジェクトはオブジェクトのコレクションが有限集合であるカテゴリです。フィンキャット{\displaystyle {\text{FinCat}}}
  • 順序カテゴリは2 つのカテゴリに分類できます。この場合、オブジェクトは 1 つのオブジェクトを持つカテゴリであり、関数は順序カテゴリの矢印から来ます。Δ{\displaystyle \Delta }
  • もう 1 つのオプションは、小さなカテゴリのカテゴリのみを使用することです。
  • さらに、任意の位相空間には、インデックス カテゴリとして使用できるカテゴリが関連付けられています。X{\displaystyle X}開ける（X）{\displaystyle {\text{開く}}(X)}
  • さらに、何らかのスキームや代数空間のザリスキ、エタールなどのトポイの基底となるサイトとその射は、インデックスカテゴリに使用できる。（X）τ{\displaystyle (X)_{\tau}}X{\displaystyle X}
  • これは任意のトポスに一般化できるため、インデックス カテゴリは基礎となるサイトになります。T{\displaystyle T}

デリバティブ

微分子は随伴関数を備えた前微分子の公理化である

f?⊣f!⊣f∗⊣f∗⊣f!{\displaystyle f^{?}\dashv f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}\dashv f^{!}}

ここで、は左随伴であり、以下同様です。経験的に、逆極限、余極限に対応するはずです。 f!{\displaystyle f_{!}}f∗{\displaystyle f^{*}}f∗{\displaystyle f_{*}}f!{\displaystyle f_{!}}

参考文献

  1. ^ Grothendieck. "Les Dérivateurs" . 2014年11月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  2. ^ Grothendieck. "Pursuing Stacks" . thescrivener.github.io . 2020年7月30日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2020年9月17日閲覧。
  3. ^ヘラー 1988 .

参考文献

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