二色対称性

色の対称性を示す二色三角形

二色対称性[ ^{1]は、反対称[2] 、 [3]}白黒対称性^[4] 、磁気対称性^[5]反転対称性^[6]、または二色対称性^[7]とも呼ばれ、物体をその反対の物体に反転させる対称操作である。^[8]より正確な定義は、「反対称操作は、与えられた特性の2つの可能な値を持つ物体を、ある値から別の値に変換する」ことである。^[9]二色対称性は、特に2色の対称性を指す。これは3色以上に拡張することができ、その場合は多色対称性と呼ばれる。^[10]二色対称性と多色対称性を総称して、単に色対称性という。二色対称性は、磁性結晶を記述するために使用され、また、時間反転[ ^{12 ]}など、2値対称操作を必要とする物理学の他の分野でも使用される。

例

簡単な例として、三角形などの白い物体に色の変更を適用し、黒い三角形にした場合を考えてみましょう。もう一度色の変更を適用すると、元の白い三角形に戻ります。

反アイデンティティ操作とケイリー表

ここでは反恒等演算（1'）と呼ばれる色の変化は、2回実行すると恒等演算（1）が得られる。

もう1つの例は、鏡面反射（m）と反同一性演算（1'）を任意の順序で実行して、 反鏡面反射（m'）を構築することです。

m' 演算は、二色三角形の 反対称点群3m' を構築するために使用できます。

二色D3（3m'）点群を構成する6つの演算

反対称群 3m' を表す色の変化を伴う D3 ケーリー表

二色三角形には鏡映（m）操作は存在しません。これは、もしすべての小さな構成要素三角形が白色に着色されていたら必要となる操作です。しかし、反鏡映（m'）操作を導入することで、D3の完全な二面体対称性が回復されます。二色D3（3m'）点群を構成する6つの操作は以下のとおりです。

• アイデンティティ（e）
• 2 π /3 ( r )回転
• 4π / 3 （r2 ^）回転​
• 反鏡面反射（m'）
• m'とrの組み合わせ（m'r）
• m'とr ²の組み合わせ（m'r ²）。

頂点番号は、操作対象の三角形の一部を形成するものではないことに注意してください。頂点番号は、各操作の後に頂点がどこに配置されるかを追跡するために表示されます。

歴史

1930年、ハインリヒ・ヒーシュは4次元における3次元空間群の検討という文脈で反対称操作を正式に提唱した最初の人物となった。^[13]ヒーシュの研究は、ウェーバーの1929年の2次元バンドの白黒着色に関する論文の影響を受けていた。^[14]

1935年から1936年にかけて、HJ Woodsは「パターンデザインの幾何学的基礎」と題する4本の論文を発表しました。最後の論文^[15]は反転対称性に焦点を当てており、そこで初めて46個の二色2次元点群が導出されました。

ヒーシュとウッズの研究は当時は影響力がなく、二色対称性の主題が重要になり始めたのは、 1951年にAVシュブニコフの著書『有限図形の対称性と反対称性』が出版されてからでした。その後、この主題は磁気構造やその他の物理分野における重要性から、最初はロシアで、その後は他の多くの国でも急速に発展しました。

• 1951年、ランダウとリフシッツは、時間反転対称性に対応するように黒と白の色を再解釈した^[16]
• ^{1952年 W. CochranはAlexanderとHerrmann（1928-9）とWoods 1935 [17]}の前研究を引用して46個の二色2次元点群を再導出した。
• 1953年ザモルザエフは1651個の3次元反対称空間群を初めて導出した^{[18] [19]}
• 1956年、タヴガーとザイツェフは磁気モーメントのベクトル反転の概念を用いて磁性結晶の点群を導出した^[20]
• 1957年ベロフと彼の同僚は独立に2次元と3次元の反対称群を導出した^[21]
• 1957年ザモルザエフとソコロフは、2値反対称演算の複数の種類の概念を導入することで反対称性の一般化を開始した^{[11] [22] [23] [24]}
• 1957年、マッケイはロシア語版の最初のレビューを英語で出版した。^[9]その後のレビューは、ホルサー（1961年）、^[25] コプツィク（1968年）、^[26] シュヴァルツェンベルガー（1984年）、^[27]グリュンバウムとシェパードの『タイリングとパターン』（1987年）、^[28]ブルックラーとスティリノヴィッチ（2024年）^[29]によって出版された。
• 1950年代後半、MCエッシャーの二色および多色のパターンに基づいた作品は、科学者の間で色の対称性を広めました^{[30] [31]}
• 1961年、ファン・デル・ワールデンとブルクハルトは、色数や次元数に関係なく、群論の観点から色の対称性を明確に定義した^[32]
• 1964年 シュブニコフとベロフの『Colored Symmetry』の英訳初版出版^[3]
• 1965年、ヴラディスワフ・オペホフスキーとロザリア・グッチオーネは、二色性3次元空間群の完全な導出と列挙を行った^[33]
• 1966年 コプツィクによる二色3次元空間群の完全地図の出版^[34]（ロシア語）
• 1971ロエブによる回転中心を用いた2次元色対称構成の導出^[1]
• 1974年 シュブニコフとコプツィクによる『科学と芸術における対称性』の出版。1次元、2次元、3次元における二色対称性を広範囲にカバーしている^[35]
• 1988年、ウォッシュバーンとクロウは、文化的なパターンや物体に色の対称性分析を適用した^[36]
• 2008年、コンウェイ、バーギエル、グッドマン＝ストラウスは、オービフォールドに基づく新しい表記法を用いて、色付き物体の色保存対称性を記述した『物の対称性』を出版した^[37]。

次元数

下の表は、次元ごとに通常の群と二色群の数を示しています。ボーム^[38]の記号は、群の数を表すために使用されます。ここで、 = 全体の次元、= 格子次元、= 反対称操作の種類の数です。これは、単一の反対称操作を持つ二色群の場合です。 ${\displaystyle G_{ol}^{a}}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=1}$

全体 寸法	格子 次元	普通のグループ				二色性グループ
		名前	シンボル	カウント	参照	シンボル	カウント	参照
0	0	ゼロ次元対称群	${\displaystyle G_{0}}$	1		${\displaystyle G_{0}^{1}}$	2
1	0	1次元点群	${\displaystyle G_{10}}$	2		${\displaystyle G_{10}^{1}}$	5
	1	1次元離散対称群	${\displaystyle G_{1}}$	2		${\displaystyle G_{1}^{1}}$	7
2	0	2次元点群（ロゼット）	${\displaystyle G_{20}}$	10		${\displaystyle G_{20}^{1}}$	31
	1	フリーズ（ストリップ）グループ	${\displaystyle G_{21}}$	7	[39]	${\displaystyle G_{21}^{1}}$	31	[2] [35]
	2	壁紙（平面）グループ	${\displaystyle G_{2}}$	17	[40] [41]	${\displaystyle G_{2}^{1}}$	80	[14] [35] [42]
3	0	3次元点群	${\displaystyle G_{30}}$	32	[43]	${\displaystyle G_{30}^{1}}$	122	[2] [13]
	1	ロッド（シリンダー）グループ	${\displaystyle G_{31}}$	75	[39]	${\displaystyle G_{31}^{1}}$	394	[44]
	2	レイヤー（シート）グループ	${\displaystyle G_{32}}$	80	[39]	${\displaystyle G_{32}^{1}}$	528	[45]
	3	3次元空間群	${\displaystyle G_{3}}$	230	[46]	${\displaystyle G_{3}^{1}}$	1651	[18] [21]
4	0	4次元点群	${\displaystyle G_{40}}$	271	[47]	${\displaystyle G_{40}^{1}}$	1202	[48]
	1		${\displaystyle G_{41}}$	343	[49]
	2		${\displaystyle G_{42}}$	1091	[50]
	3		${\displaystyle G_{43}}$	1594	[51]
	4	4次元離散対称群	${\displaystyle G_{4}}$	4894	[47]	${\displaystyle G_{4}^{1}}$	62227	[48]

参照

• 多重反対称性

参考文献

1. Loeb, AL (1971). Color and Symmetry , Wiley, New York, ISBN 9780471543350
2. シュブニコフ、AV (1951)。有限図形の対称性と反対称性、Izv.アカド。ナウクSSSR、モスクワ
3. シュブニコフ、AV、ベロフ、ネバダ州ほか。アル。 （1964年）。色の対称性、編。 WT ホルサー、ペルガモン、ニューヨーク
4. Gévay, G. (2000).白黒対称性、磁気対称性、自己双対性、反プリズマティック対称性：共通の数学的背景, Forma, 15, 57–60
5. Tavger, BA (1958).強磁性体と反強磁性体の対称性, Sov. Phys. Cryst., 3 , 341-343
6. Woods, HJ (1935).パターンデザインの幾何学的基礎 パートI: 単純な図形と縁取りにおける点対称性と線対称性, Journal of the Textile Institute, Transactions, 26 , T197-T210
7. Makovicky, E. (2016).巨匠たちの目を通して見る対称性, de Gruyter, ベルリン, ISBN 9783110417050
8. Atoji, A. (1965).磁気空間群のグラフィカル表現, American Journal of Physics, 33 (3), 212–219, doi :10.1119/1.1971375
9. Mackay, AL (1957).空間群理論の拡張, Acta Crystallogr. 10 , 543-548, doi :10.1107/S0365110X57001966
10. Lockwood, EH and Macmillan, RH (1978). Geometric symmetry  , Cambridge University Press, Cambridge, 67-70 & 206-208 ISBN 9780521216852
11. Padmanabhan, H., Munro, JM, Dabo, I, Gopalan, V. (2020).反対称性：基礎と応用, Annual Review of Materials Research, 50 , 255-281, doi :10.1146/annurev-matsci-100219-101404
12. Shubnikov, AV (1960).反対称性操作としての時間反転, Sov. Phys. Cryst., 5 , 309-314
13. Heesch、H. (1930)。Über die vierDimensionen Gruppen des dreiDimensionen Raumes、Z. Krist.、73、325-345、doi :10.1524/zkri.1930.73.1.325
14. ウェーバー、L. (1929)。Die Symmetrie homogener ebener Punktsysteme、Z. Krist.、70、309-327、doi :10.1524/zkri.1929.70.1.309
15. Woods, HJ (1936).パターンデザインの幾何学的基礎 パートIV：平面パターンにおける対称性の反転, Journal of the Textile Institute, Transactions, 27 , T305-320
16. Landau, LD and Lifshitz EM (1951). Course of theory physics, vol. 5. Statistical physics , 1st edition, Nauka, Moscow
17. Cochran, W. (1952年9月10日). 「実周期的2次元関数の対称性」. Acta Crystallographica . 5 (5): 630– 633. doi :10.1107/s0365110x5200174x.
18. Zamorzaev, AM (1953).空間群の一般化, 博士論文, レニングラード大学
19. ザモルザエフ, AM (1957).フェドロフ群の一般化, Sov. Phys. Cryst., 2, 10-15
20. Tavger, BAおよびZaitsev, VM (1956).結晶の磁気対称性, ソビエト物理学JETP, 3 (3), 430-436
21. ネバダ州ベロフ、NN 州ネロノバ、TS 州スミルノバ (1957)。シュブニコフグループ、Sov。物理学。クリスタル、2 (3)、311-322
22. ザモルザエフ, AM およびソコロフ, EI (1957).有限体の対称性と様々な反対称性, Sov. Phys. Cryst., 2 (1), 5-9
23. Zamorzaev, AM and Palistrant, AF (1980).反対称性、その一般化および幾何学的応用, Z. Krist., 151 , 231-248, doi :10.1524/zkri.1980.151.3-4.231
24. ザモルザエフ, AM (1988).一般化された反対称性, Comput. Math. Applic., 16 (5-8), 555-562, doi :10.1016/0898-1221(88)90245-3
25. Holser, WT (1961).対称群の分類, Acta Crystallogr., 14 , 1236-1242, doi :10.1107/S0365110X61003612
26. Koptsik, VA (1968).対称性理論の発展と過去50年間の物理結晶学への応用に関する概略, Sov. Phys. Cryst., 12 (5), 667-683
27. Schwarzenberger, RLE (1984).色の対称性, Bull. London Math. Soc., 16 , 209-240, doi :10.1112/blms/16.3.209
28. Grünbaum, B. and Shephard, GV (1987). Tilings and Patterns , WH Freeman, New York, ISBN 9780716711933
29. Brückler, FM および Stilinović, V. (2024) From friezes to quasicrystals: a history of symmetry groups , 1823-1864, doi :10.1007/978-3-030-19071-2_132-2, in Sriraman, B. (ed.) Handbook of the history and philosophy of math practice , Springer, pp 3200, ISBN 978-3-030-19071-2
30. MacGillavry, CH (1976). MC Escherの周期表における対称性について, 国際結晶学連合, ユトレヒト, ISBN 9789031301843
31. Schnattschneider、D. (2004)。MC エッシャー: 対称性のビジョン、ハリー。 N. エイブラムス、ニューヨーク、ISBN 9780810943087
32. ファン・デル・ワールデン、BL、ブルクハルト、JJ (1961)。Farbgruppen、Z. Krist、115、231-234、doi :10.1524/zkri.1961.115.3-4.231
33. Opechowski, W. および Guccione, R. (1965). Magnetic symmetry in Magnetism, vol. IIA ed. Rado, GT and Suhl, H., Academic Press, New York, pp 105-165
34. Koptsik, VA (1966).シュブニコフ群：結晶構造の対称性と物理的性質に関するハンドブック、モスクワ大学、モスクワ
35. シュブニコフ, AVとコプツィク, VA (1974).科学と芸術における対称性, プレナム・プレス, ニューヨーク, ISBN 9780306307591（原著はロシア語で、モスクワのNauka社から1972年に出版されました。）
36. Washburn, DK and Crowe, DW (1988). Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis , Washington University Press, Seattle, ISBN 9780295970844
37. Conway, JH, Burgeil, H. and Goodman-Strauss, C. (2008). The symmetries of things , AK Peters, Wellesley, MA, ISBN 9781568812205
38. Bohm, J. および Dornberger-Schiff, K. (1966).結晶学的対称群の命名法, Acta Crystallogr., 21 , 1000-1007, doi :10.1107/S0365110X66004389
39. Kopský, V. および Litvin, DB (編) (2010).国際結晶学表 第E巻: 周期的群, 第2オンライン版ISBN 978-0-470-68672-0、doi :10.1107/97809553602060000109
40. フェドロフ、ES (1891)。 「Симметрія на плоскости」[Simmetriya na ploskosti、平面における対称性]。Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Zapiski Imperatorskova Sankt-Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva, Proceedings of the Imperial)サンクトペテルブルク鉱物学会）。シリーズ第 2 弾（ロシア語）。28 : 345–390 .
41. Pólya、G. (1924)。Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene (面内の結晶対称性の類似体について)、Z. Krist.、60、278–282、doi :10.1524/zkri.1924.60.1.278
42. Alexander, E. および Herrman, K. (1929)。Die 80 zweiDimensionen Raumgruppen、Z. Krist。70、328-345、土井：10.1524/zkri.1929.70.1.328
43. フランケンハイム、ML (1826)。 Crystallonomische Aufsätze、イシス (イエナ) 19、497-515、542-565
44. Neronova, NN and Belov, NV (1961).古典的および白黒結晶学的対称群のための単一スキーム, Sov. Phys. Cryst., 6 , 3-12
45. リトビン, DB (1999).磁気的亜周期群, Acta Cryst. A, 55 (5), 963–964, doi :10.1107/S0108767399003487
46. JJ ブルクハルト (1967)。Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen [230 の宇宙群の発見の歴史について]、精密科学史アーカイブ、4 (3)、235-246、doi :10.1007/BF00412962
47. Brown, H., Bulow, R., Neubuser, J. et. al. (1978). Crystallographic groups of four-dimensional space , Wiley, New York, ISBN 9780471030959
48. Souvignier, B. (2006). 4次元磁気点と空間群, Z. Krist., 221 , 77-82, doi :10.1524/zkri.2006.221.1.77
49. Palistrant, AF and Zamorzaev, AM (1992).対称性空間群：発見100周年を機に , Vainshtein, BK 編, Nauka, モスクワ (ロシア語)
50. ザモルザエフ、AM、カルポワ、Yu.S.、ルング、AP、パリトラント、AF (1986)。 P 対称性とそのさらなる発展、キシナウのシュティンツァ (ロシア語)
51. Palistrant, AF (2012). 4次元結晶学的対称群の完全な図式, Crystallography Reports , 57 (4), 471-477. doi :10.1134/S1063774512040104

外部リンク

• Crowe, DW (1986). HJ Woodsのモザイクパターン, Comput. Math. Applic., 12B (1/2), 407-411
• Schattschneider, D. (1986).白黒で：完璧な色の対称パターンを作る方法, Comput. Math. Applic., 12B (1/2), 673-695, doi :10.1016/0898-1221(86)90418-9
• Senechal, M. (1988).色の対称性, Comput. Math. Applic., 16(5-8), 545-553, doi :10.1016/0898-1221(88)90244-1
• ラドヴィック, L. とジャブラン, S. (2001).装飾美術における反対称性とモジュール性, Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Kansas, 55–66