ディック効果
Effect that limits performance of advanced atomic clocks

ディック効果（以下、「効果」と略す）は、原子泉時計や光格子時計といった現代の原子時計の周波数安定性を著しく制限する要因の一つである。これはエイリアシング効果の一種であり、必要な局部発振器（LO）の高周波ノイズは、LOの周波数を原子の周波数に同期させる周期的な検査プロセスによって、ほぼゼロ周波数にエイリアシング（ヘテロダイン化）される。このノイズは、利用可能な原子または光子の数によって決まる時計固有の統計的不安定性を模倣し、さらに増大させる。その結果、この効果は原子時計の安定性を低下させ、LOの性能に新たな厳しい要求を課す。

任意のインターロゲーションプロトコルにおいて、量子力学的感度関数とLOノイズのスペクトル特性を用いて、この効果を計算することができます。G. ジョン・ディックによって導入されたこの計算手法は、現在、高度なマイクロ波および光周波数標準の設計、原子波干渉法、周波数標準の比較、その他の計測科学分野の手法開発において広く利用されています。

背景

一般的な

周波数安定性

原子時計の 周波数安定性は、通常、アラン偏差[1]によって特徴付けられます。アラン偏差は、平均化時間の関数として期待される分数周波数の統計的変動の尺度です。一般的に、クロック出力における短期的な変動（周波数または位相ノイズ）は、高い性能を実現するために、長時間にわたる平均化を必要とします。 σ y ( τ ) {\displaystyle \sigma _{y}(\tau )} τ {\displaystyle \tau }

市販の原子時計のアラン偏差

この安定性は、平均周波数と絶対的な基準との差の予測値である時計の精度とは異なります。 [2]

優れた周波数安定性は、時計の実用性にとって極めて重要です。たとえ優れた精度を備えていても、周波数安定性の低い時計では、高精度のテストや比較を1回行うために1週間以上の平均化が必要になる場合があります。このような時計は、より安定性の高い時計、つまり数日ではなく数時間でテストを完了できる時計ほど実用的ではありません。

原子時計の安定性と動作

原子とLO間の不完全なフィードバックに起因する原子時計の出力の不安定性は、以前からよく理解されていました。[3] [4]この不安定性は短期的な性質のものであり、通常は時計の実用性に影響を与えません。一方、この影響は、原子時計における光子または原子の基本的な計数限界に起因する周波数ノイズと同じ性質（そして通常ははるかに大きい）を持つ周波数ノイズを引き起こします。

水素とアンモニア（水素メーザー、アンモニアメーザー）を除き、原子時計を構成する原子やイオンは、使用可能な出力信号を生成しません。その代わりに、電子または光局部発振器（LO）が必要な出力を生成します。LOは通常、優れた短期安定性を提供します。長期安定性は、原子からのフィードバックによって周波数変動を補正することで実現されます。

高度な周波数標準では、原子の検査プロセスは通常、逐次的に行われます。状態準備の後、原子の内部時計はLOからの信号の存在下で一定期間振動します。この期間の終了時に、原子は光信号によって検査され、状態が変化したかどうか（そしてどの程度変化したか）が判定されます。この情報はLOの周波数を補正するために使用されます。この処理を何度も繰り返すことで、LO自体の安定性よりもはるかに高い安定性で連続動作が可能になります。実際、このようなフィードバックにより、長時間の測定においてLO出力の安定性が原子の統計的限界に近づくと考えられていました。

効果

効果[5] [6]は、この好ましい状況を破壊する不安定性のさらなる発生源である。これは、LOの位相雑音と、問い合わせ手順から生じるフィードバック利得の周期的変動との相互作用から生じる。フィードバック利得の時間的変動により、問い合わせ期間に関連する周波数でLO雑音がエイリアス（またはヘテロダイン）されてゼロ周波数付近になり、その結果、測定時間の増加によってゆっくりとしか改善されない不安定性（アラン偏差）が生じる。この不安定性の増大により原子時計の有用性が制限され、必要なLOの性能（および関連費用）に対する厳しい要件が生じる。つまり、LOは優れた安定性（原子の超高安定性へのフィードバックによって出力を改善できる）を提供するだけでなく、優れた（低い）位相雑音も備えていなければならない。

この効果の単純だが不完全な分析は、原子を次の検査に備えるために必要なデッドタイム中にLO周波数または位相が変動しても全く検出されず、したがって補正されないことを観察することによって得られる。しかし、このアプローチは、LOからの信号パルスに曝露されている間の原子の量子力学的応答を考慮していない。これは、感度関数を用いて効果の分析において計算される、時間に依存する追加の応答である。[5] [7]

定量的

ディック効果による水銀イオン時計の周波数安定性への影響

ここに示すグラフは、石英LOを用いたトラップイオン周波数標準器の効果の予測を示しています。[5]優れた安定性に加えて、石英発振器は非常に明確なノイズ特性を備えています。その周波数変動は、非常に広い周波数範囲と時間範囲にわたるフリッカー周波数として特徴付けられます。フリッカー周波数ノイズは、ここに示すグラフの石英LOに示されているように、一定のアラン偏差に対応します。

プロット上の「期待」曲線は、原子からのフィードバックによってLOの安定性がどのように向上するかを示しています。測定時間が増加するにつれて（アタックタイムよりも長い時間）、安定性は着実に増加し、約10,000秒を超える時間では原子の固有安定性に近づきます。「実際」の曲線は、この影響によって安定性がどのように影響を受けるかを示しています。LO出力の安定性は、原子の固有安定性に近づくのではなく、はるかに高い値を持つ直線に近づきます。この直線の傾きは、原子限界の傾き（両対数プロットでは1/2）と一致し、その値は、小さな青い（下向き）矢印で示されているように、サイクル時間で測定されたLOの値に匹敵します。この値（青い矢印の長さ）は、原子検査プロトコルの詳細に依存し、感度関数法を用いて計算できます。

驚くべきことに、原子時計の長期安定性は、ディック効果によるLOの短期安定性に依存している。

2つ目のグラフは、LOの様々な性能側面が原子時計の達成可能な安定性にどのような影響を与えるかを示しています。「以前に分析されたLOの影響」とラベル付けされた依存性は、フィードバックループの「アタックタイム」よりも長い時間に対して、LOの安定性がほぼ向上していることを示しています。測定時間が増加すると、各測定に利用可能な原子と光子の数の統計的変動により、 安定性は限界依存性に近づきます。 1 / τ {\displaystyle 1/\tau } τ {\displaystyle \tau } 1 / τ {\displaystyle 1/{\sqrt {\tau }}}

一方、この効果により、周波数標準器の利用可能な安定性は、直感に反する形で、高周波LO位相雑音への依存性を示すようになります。ここでは、サイクルタイムよりも短い時間におけるLOの安定性が、原子標準器の動作範囲全体にわたって安定性に影響を与えることが示されています。さらに、この安定性は、クロックが原子システムに固有の安定性に近づくことをしばしば妨げます。

歴史

LOエイリアシングの解析を概説した2つの論文[5] [6]が発表されてから数年後、この手法は実験的に検証され、 [8] [9] 、時間と周波数の分野で広く採用され、多くの先進的な周波数標準の設計に適用されました。また、Lemondeら(1998) [7]は、より従来的な量子力学的アプローチを用いた感度関数の導出によってこの手法を明確化し、Santarelliら(1996) [9]は、時間対称性さえも考慮しないインタロゲーションプロトコルにも適用できるように一般化しました。

原子時計の性能限界は、かつては精度と光子数または原子数の安定性の限界によって特徴づけられていましたが、今やこの効果は全体像の3つ目の要素となりました。この初期段階は、1998年にIEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control 誌のディック効果特集号[13]に掲載された4本の論文[10] [8] [11] [12] で最高潮に達しました。

インパクト

ディック分析の最も重要な成果は、研究者が様々な原子時計で用いられている方法論と技術に基づいて、この影響を正確に計算することを可能にする数学的枠組みを提示したことであろう。この影響は一般的に、高度な周波数標準の安定性に対する最も重大な制約であるため、[14] [15]、それ以来、多くの研究が改善戦略に焦点を当ててきた。さらに、この影響手法と感度関数は、多くの技術分野で大きな進歩を可能にした。

  • この効果による限界不安定性の値は、LOの位相雑音特性と組み合わされた検査プロトコルによって決定される。この理論の帰結は、いくつかの異なる種類の原子時計について解明されている。[16] [17] [18]
  • マイクロ波原子泉時計を研究している研究所は、マイクロ波原子周波数標準の基準として以前に使用されていた水晶超安定発振器（USO）の代わりとして、極低温[19] [20]または光[21] LO 技術に注目してきました。水晶 USO の不安定性は、時計の固有の原子安定性を効果的に実現するためにフィードバックによって低減できますが、前のセクションのグラフで示されているように、その効果によって変換された位相ノイズが時計の不安定性の主な原因になっています。極低温技術と光学技術は、原子標準の固有の安定性を実現するために必要な安定性と位相ノイズの両方を提供できます。これらの原子時計は通常、レーザー冷却された原子のボールをマイクロ波空洞に通して上方に投げることで動作し、この空洞が各原子の時計を始動させます。原子が下方に戻るとき、再びこの同じ空洞を通過し、そこで時計を停止する 2 番目のマイクロ波パルスを受信します。その後、ボールはキャビティの下にある光学式検査装置を通過し、マイクロ波（LO）と飛行中に発生した原子との間の位相差を「読み取り」ます。この一連のプロセスが何度も繰り返され、この効果が生じます。[5]
より小規模なケースでは、パルス光ポンピング（POP）技術を用いたルビジウム蒸気時計の安定性が大幅に向上し、石英USO LOの影響が性能を制限する要因となっている。USOとDRO（誘電体共振器発振器）を組み合わせたLO技術[22]の開発により、性能向上が可能となっている。
  • 光時計はあらゆる時計の中で最も高い安定性を達成しており、秒の定義としてセシウム泉時計に取って代わろうとしています。[2] しかし、(Katori, 2011) [14]が述べているように、「光格子時計では、QPN （量子射影雑音）が非常に低いため、ディック効果がより高い安定性を達成する上で大きな障害となります。」 この効果と、光標準に適用された場合のその影響の分析は、主要なレビュー (Ludlow, et al., 2015) [15]で取り上げられており、「ディック効果の有害な影響」を嘆いています。[23] [24]
  • 2つの完全な原子システムのタイミング（LOは1つのみ使用）はインターリーブできるため、[6] [25]、原子状態の準備と検出に関連するデッドタイムを排除できます。これにより、この影響が大幅に軽減され、完全に排除できる可能性があります。このアプローチの有効性は、意図的に劣化させたLOを使用した実験でBiedermannらによって検証されました[26] [27]その後、このアプローチはShioppoらによって適用され[16] [28]、 2つのレーザー冷却Yb光標準を使用したテストと、はるかに小規模なRb蒸気マイクロ波時計で、現在までにあらゆる時計で最高の安定性が達成されました。[29]ジャグリングプロトコルを使用することで、単一のファウンテンでデッドタイムをゼロにすることができるという提案があります。 [30]理論的な論文では、2つの完全な原子システムを使用するだけでなく、3つ目（これも単一のLOを使用）を追加して、この影響を排除するだけでなく、光子または原子の計数効果による安定性を制限する要因を減らすことも提案されています。[31]
  • この効果を排除できる代替手段は、連続的に動作する噴水である。[32]このような時計は、連続的に流れるレーザー冷却原子源の開発によって実証されている。[33] この時計は、上昇する原子と下降する原子を物理的に分離するために、通常の噴水とは異なる構成を採用している。これは、発射方向を垂直からずらすことで実現される。原子の内部時計は、1つのマイクロ波空洞で始動し、放物線を描いて2つ目の空洞で停止する。2つ目の空洞は、2つ目のレーザー検査システムとともに、発射システムおよび空洞から横方向に配置されている。
  • 原子の内部時計の起動と停止に用いられるマイクロ波信号または光信号は、通常、矩形の時間依存性を持つ。 パルス波形整形[6] [34]は、電磁信号の突然のオンオフによって生じる感度関数の傾きの不連続性を排除することで、この影響を軽減することができる。これにより、LO位相ノイズの高周波成分に対する感度が低下し、結果としてこの影響も軽減される。さらに、インターリーブされたタイミングで複数のクロックに適用した場合、適切に整形されたパルス波形整形によってこの影響を完全に排除できる可能性がある。[6]
  • 周波数基準を比較する。[35] [36] [37] [38]
  • 原子時計は宇宙での応用に利用・提案されており、地上の技術で既に利用可能な性能のみを必要とする用途と、宇宙で動作する時計でのみ利用可能な性能を必要とする用途の両方に利用されている。[39] [40]良い例は、 ACESマルチクロック物理ペイロードに組み込むために欧州宇宙機関に引き渡され、ISSに打ち上げられる予定のPHARAOレーザー冷却Cs原子周波数標準[41]である。宇宙ベースの時計の性能上の利点の大部分は、この効果の低減によるものであり、これは原子時計がゼロGで動作するときに利用できるより長い問い合わせ時間とより高いデューティファクタによるものである。
  • 原子干渉計[34] [42]は原子重力計[43]や重力波検出[44]などに応用されている。

方法論

導入

現代の原子周波数標準またはクロックは、通常、局部発振器（LO）、LOによって定期的に問い合わせを受ける原子システム、およびその問い合わせ結果に基づいてLOの周波数エラーを修正するフィードバックループで構成され、これにより、LOの周波数が原子システムの周波数にロックされます。[3] [4]この効果は、原子問い合わせプロトコルの詳細に依存する、不完全なロックを生み出すプロセスを表します。[5]周波数標準に有用な出力を提供するロックされた局部発振器（LLO）の周波数安定性に対するLOノイズのこの新しく認識された影響を計算するには、2つのステップが必要です。これらは次のとおりです。

  • 原子システムのLO位相変動に対する瞬時感度の計算（インタロゲーション過程）。これは感度関数として表され、サイクル時間にわたって評価されます。この関数は、 ハウスキーピングタスクが実行中のサイクル部分ではゼロの値を持ち、（例えば）ラムゼーインタロゲーションに関連するインタロゲーションパルス間の値は1です。 g ( t ) {\displaystyle g(t)}
原子やイオンの光子励起の他の例とは対照的に、この励起プロセスは極めて高いQ値を必要とするため、数ミリ秒、あるいは数秒という低速なプロセスです。光子が固体に衝突して電子を放出する代わりに、ここでは多数の光子からなるコヒーレントな電磁場が（ゆっくりと）雲内の各原子またはイオンを基底状態から混合状態（通常は基底状態と励起状態の振幅が等しい状態）へと駆動するプロセスが存在します。
原子が調査用のマイクロ波または光場にさらされている間の関数形は、量子力学的状態遷移過程の架空スピンモデル[5] [6]を使用するか、代数的アプローチ[7]を使用することで計算できます。これらの形式は、信号が適用されていない時間の定数（通常はゼロまたは 1）と組み合わせることで、感度関数を調査サイクル全体にわたって明確に定義できます。原子システムのラムゼー調査とラビ調査の両方の識別力は、わずかに離調した駆動信号に対する原子またはイオンの量子力学的応答に基づいて以前に計算されていました。これらの以前に計算された値は、現在では、調査サイクル全体での感度関数の時間平均に対応することが分かっています。 g ( t ) {\displaystyle g(t)} g ( t ) ¯ {\displaystyle {\overline {g(t)}}}
  • 効果による原子時計の限界安定性の計算。LOの感度関数と周波数雑音スペクトルが与えられれば、時計の限界安定性を計算できる。等価フィードバックモデル[11]の解析によると、 の時間変動によるループゲインの変動は、原子からの完全な（雑音のない）フィードバックであっても、LOに補正されていない緩やかな変動を引き起こす。 は周期的であるため、 の周波数スペクトルは離散的であり、 のようにサイクル時間の逆数の整数倍の周波数に高調波が含まれる。これらの高調波のそれぞれは、ほぼゼロ周波数付近でLO雑音をエイリアシングし、クロックの出力信号を供給するロックされた局部発振器のホワイト周波数雑音に追加される。この追加雑音は、原子時計の光子または原子計数による雑音と同じ種類のものであり、そのため性能を低下させる。 g ( t ) {\displaystyle g(t)} S y L O ( f ) {\displaystyle S_{y}^{LO}(f)} g ( t ) {\displaystyle g(t)} g ( t ) {\displaystyle g(t)} n {\displaystyle n} f n = n / t c {\displaystyle f_{n}=n/{t_{c}}} S y L L O ( 0 ) {\displaystyle S_{y}^{LLO}(0)}

感度関数の計算

ラビおよびラムゼー検査プロトコルを用いた原子時計の励起振幅および感度関数シーケンス。ラビ検査では、周波数がオフセットされた単一の信号パルスを使用し、パルスの進行に合わせて位相が滑らかに変化します。ラムゼー検査では、位相シフトのある2つの短いパルスを使用します。各ボックスには2つの検査と、3つのデッドタイム（読み出し、状態準備、その他のハウスキーピングタスクが実行される時間）が示されています。 a ( t ) {\displaystyle a(t)} g ( t ) {\displaystyle g(t)} π / 2 {\displaystyle \pi /2}

以下に示す概念と計算結果は、この効果を説明した最初の論文に記載されています。[5] [6]

原子時計の各検査サイクルは、通常、原子またはイオンを基底状態に準備することから始まります。検査後にいずれかの原子またはイオンが励起状態にある確率をPとします。検査信号の振幅と時間は通常、LOを原子周波数に正確に合わせることで、つまりすべての原子またはイオンが励起状態にあるように調整されます。Pは、各測定ごとに、（例えば）励起状態の原子またはイオンのみに蛍光を発生する異なる信号をシステムに照射することで決定されます。 P = 1 {\displaystyle P=1}

P の定期的な測定を使用して効果的なフィードバックを得るためには、P が周波数変動に敏感になるようにプロトコルを調整する必要があります。周波数変動に対する感度は、次のように定義できます。 ここでは調査時間であり、 の値は の測定値が LO の周波数の変動に敏感であることを特徴付けます。LOが原子遷移周波数に正確に同調しているときに P が最大化される ( で) ため、その場合の の値はゼロになります。したがって、たとえば、ラビ調査を使用する周波数標準では、LO は最初に となるように同調解除され、LO 周波数の不安定性により後続の P の測定でこれとは異なる値が返された場合、フィードバック ループによって LO 周波数が調整されて元に戻ります。 g {\displaystyle g}
d P d ν = π g t i {\displaystyle {{dP} \over {d\nu }}=\pi \,g\,t_{i}}
t i {\displaystyle t_{i}} g {\displaystyle g} P = 1 {\displaystyle P=1} g {\displaystyle g} P = 0.5 {\displaystyle P=0.5}

実験者は、原子番号、光強度などの時間的変動を緩和し、P を正確に決定できるようにするためにさまざまなプロトコルを使用しますが、ここではこれについては詳しく説明しません。

ラビインターロゲーションにおけるLO周波数の変化に対するPの感度は以前に計算されており、[45] 、 LO周波数が となる周波数だけオフセットされたときにとなることが分かっています。これは、 が となるようにデチューンされたときに実現されます。 g R a b i ≈ 0.60386 {\displaystyle g_{Rabi}\approx 0.60386} δ ν {\displaystyle \delta \nu } P = 0.5 {\displaystyle P=0.5} Δ ≡ 2 δ ν t i {\displaystyle \Delta \equiv 2\,\delta \nu \,t_{i}} Δ = Δ h a l f ≈ 0.798685 {\displaystyle \Delta =\Delta _{half}\approx 0.798685}

周波数変化に対するPの感度の時間依存形式を導入し、次のように定義することができます。 g ( t ) {\displaystyle g(t)}

g ( t ) = 2 lim δ ϕ → 0 δ P ( δ ϕ , t ) δ ϕ {\displaystyle g(t)=2\lim _{\delta \phi \to 0}{\delta P(\delta \phi ,t) \over \delta \phi }}
ここで、は時刻 に検査信号に位相ステップが導入された場合の励起確率の変化です。方程式の両辺を積分すると、励起プロセス中に変化する周波数が確率Pに与える影響は、次のように表すことができます。 δ P ( δ ϕ , t ) {\displaystyle \delta P(\delta \phi ,t)} δ ϕ {\displaystyle \delta \phi } t {\displaystyle t} δ ω ( t ) {\displaystyle \delta \omega (t)}

Δ P = 1 2 t c ∫ 0 t c g ( t ) δ ω ( t ) d t {\displaystyle \Delta P={1 \over {2t_{c}}}\int _{0}^{t_{c}}{g(t)\delta \omega (t)dt}}
これは感度関数であり、周波数変化が最終的な励起確率に与える影響の時間依存性を表しています 。 g ( t ) {\displaystyle g(t)}

ラビ尋問の場合の感度関数は次のように表される: [5] [6]

g ( t ) = Δ ( 1 + Δ 2 ) 3 / 2 [ sin ⁡ ( Ω 1 ( t ) ) ( 1 − cos ⁡ ( Ω 2 ( t ) ) + sin ⁡ ( Ω 2 ( t ) ) ( 1 − cos ⁡ ( Ω 1 ( t ) ) ] {\displaystyle g(t)={{\Delta } \over {{(1+\Delta ^{2})}^{3/2}}}\left[\sin(\Omega _{1}(t))\left(1-\cos(\Omega _{2}(t)\right)+\sin(\Omega _{2}(t))\left(1-\cos(\Omega _{1}(t)\right)\right]}
ここで、、、 であり、は信号振幅の半分にデチューンされています。 Ω 1 ( t ) = Ω ⋅ ( t t i ) {\displaystyle \Omega _{1}(t)=\Omega \cdot \left({{t} \over {t_{i}}}\right)}
Ω 2 ( t ) = Ω ⋅ ( 1 − ( t t i ) ) {\displaystyle \Omega _{2}(t)=\Omega \cdot \left(1-\left({t \over {t_{i}}}\right)\right)}
Ω = Ω ( Δ ) = π 1 + Δ 2 {\displaystyle \Omega =\Omega (\Delta )=\pi {\sqrt {1+{\Delta }^{2}}}}
Δ ≡ 2 δ ν t i {\displaystyle \Delta \equiv 2\,\delta \nu \,t_{i}} Δ = Δ h a l f ≈ 0.798685 {\displaystyle \Delta =\Delta _{half}\approx 0.798685}

この関数形式の時間平均を について取ると、 は、 前に について参照したものとまったく同じように得られます。これは、前に使用した感度 の適切な一般化であることが示されています。 g ( t ) {\displaystyle g(t)}
1 t i ∫ 0 t i g ( t ) d t ≈ 0.60386 {\displaystyle {1 \over t_{i}}{\int _{0}^{t_{i}}g(t)\,dt}\approx 0.60386}
g R a b i {\displaystyle g_{Rabi}} g ( t ) {\displaystyle g(t)} g {\displaystyle g}

ラムゼー検査において、周波数オフセットの代わりに2つの検査パルス間に位相ステップがある場合の感度関数の形はやや単純で、次のように表される。 [5] [6] π / 2 {\displaystyle \pi /2}

g ( t ) = { sin ⁡ ( π t 2 t p ) ( 0 < t < t p ) 1 ( t p < t < t i − t p ) sin ⁡ ( π t i − t 2 t p ) ( t i − t p < t < t i ) 0 ( t i < t < t c ) {\displaystyle g(t)={\begin{cases}\sin \left(\pi {{t} \over {2\,t_{p}}}\right)&&&(0&<&t&<&t_{p})\\1&&&(t_{p}&<&t&<&t_{i}-t_{p})\\\sin \left(\pi {{t_{i}-t} \over {2\,t_{p}}}\right)&&&(t_{i}-t_{p}&<&t&<&t_{i})\\0&&&(t_{i}&<&t&<&t_{c})\\\end{cases}}}
ここで、 はパルス時間、は問い合わせ時間、はサイクル時間です。 t p {\displaystyle t_{p}} t i {\displaystyle t_{i}} t c {\displaystyle t_{c}}

周波数標準の安定性の限界の計算

サイクルタイム による逐次照会を用いた受動型原子周波数標準のブロック図。項は、局部発振器からの周波数ノイズにより時間依存部分を持ちます。 t c {\displaystyle t_{c}} δ ν ( t ) {\displaystyle \delta \nu (t)} S y L O ( f ) {\displaystyle S_{y}^{LO}(f)}

パルスモード原子時計の動作は、ここのブロック図に示すように機能要素に分解できます（完全な解析については Greenhall [11]を参照）。ここで、LO は独自のブロックで表され、問い合わせ先の原子システムは他の 4 つのブロックで表されます。原子問い合わせプロセスの時間依存性は、ここでは変調器 によって実現されます。変調器では、時間依存の周波数誤差が、前のセクションで計算された時間依存のゲイン で乗算されます。積分器への信号入力は周波数誤差 に比例し、これにより、局部発振器の遅い周波数誤差とドリフトを修正できます。 ブロック図の動作を理解するには、値と が平均値 と平均値からの偏差で構成されると考えます。 の値（1 サイクルにわたって平均をとった場合、）により適切なフィードバック動作が行われ、局部発振器の周波数 が弁別器 の周波数 にロックされます。さらに、 の高周波成分は積分とサンプリングによって平滑化され、既知の短期安定限界 が生じます。[4]しかし、項 は、追加の高周波ノイズを生成する一方で、非常に低い周波数の変動も引き起こします。これがエイリアシング効果であり、ループが局部発振器を不適切に補正する原因となり、周波数標準の出力に追加の低周波変動をもたらします。 (Dick、1987) [5]および (Santarelli et al.、1996) [9]の方法論に従うと、感度関数のフーリエ成分は、、、、および で、はサイクル時間です。 ロックされた局部発振器は、任意の受動型（非メーザー型）周波数標準から有用な出力信号を提供します。そのホワイト周波数ノイズの下限は、すべての周波数で LO の周波数ノイズに依存し、で与えられる値であることが示されています。 はサイクル時間（原子システムの連続する測定間の時間）です。ホワイト周波数ノイズのある発振器の アラン分散[46]は で与えられるため、 効果による安定限界は で与えられます。非常に短い呼出パルスを用いたラムゼー呼出 の場合、これは となり、 ここでは呼出時間である。フリッカー周波数ノイズを伴うLOの場合[46] δ ν ( t ) {\displaystyle \delta \nu (t)} g ( t ) {\displaystyle g(t)} δ ν {\displaystyle \delta \nu }
δ ν ( t ) {\displaystyle \delta \nu (t)} g ( t ) {\displaystyle g(t)} δ ν ( t ) ¯ ⋅ g ( t ) ¯ {\displaystyle {\overline {\delta \nu (t)}}\cdot {\overline {g(t)}}} t c {\displaystyle t_{c}} ν 0 {\displaystyle \nu _{0}} ( δ ν ( t ) − δ ν ( t ) ¯ ) ⋅ g ( t ) ¯ {\displaystyle (\delta \nu (t)-{\overline {\delta \nu (t)}})\cdot {\overline {g(t)}}} ( δ ν ( t ) − δ ν ( t ) ¯ ) ⋅ ( g ( t ) − g ( t ) ¯ ) {\displaystyle (\delta \nu (t)-{\overline {\delta \nu (t)}})\cdot (g(t)-{\overline {g(t)}})}

g n , c o s = ∫ 0 t c g ( t ) cos ⁡ ( 2 π n t t c ) d t {\displaystyle g_{n,cos}=\int _{0}^{t_{c}}{g(t)\cos \left({{2\pi nt} \over {t_{c}}}\right)dt}}
g n , s i n = ∫ 0 t c g ( t ) sin ⁡ ( 2 π n t t c ) d t {\displaystyle g_{n,sin}=\int _{0}^{t_{c}}{g(t)\sin \left({{2\pi nt} \over {t_{c}}}\right)dt}}
g n = g n , c o s 2 + g n , s i n 2 {\displaystyle g_{n}={\sqrt {g_{n,cos}^{2}+g_{n,sin}^{2}}}}
g 0 = ∫ 0 t c g ( t ) d t {\displaystyle g_{0}=\int _{0}^{t_{c}}{g(t)dt}}
t c {\displaystyle t_{c}} S y L L O ( 0 ) {\displaystyle S_{y}^{LLO}(0)} ( S y L O ( f ) ) {\displaystyle \left({S_{y}^{LO}(f)}\right)}
S y L L O ( 0 ) = 2 g 0 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞ g n 2 S y L O ( n t c ) {\displaystyle S_{y}^{LLO}(0)={2 \over {g_{0}^{2}}}\cdot {\sum _{n=1}^{\infty }{g_{n}^{2}\,S_{y}^{LO}\left({n \over t_{c}}\right)}}}
t c {\displaystyle t_{c}}
σ y 2 ( τ ) = S y ( 0 ) 2 τ {\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={S_{y}(0) \over {2\tau }}}
σ y , D i c k 2 ( τ ) = 1 τ g 0 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞ g n 2 S y L O ( n t c ) {\displaystyle \sigma _{y,Dick}^{2}(\tau )={1 \over {\tau g_{0}^{2}}}\cdot {\sum _{n=1}^{\infty }{g_{n}^{2}\,S_{y}^{LO}\left({n \over t_{c}}\right)}}}

σ y , D i c k 2 ( τ ) = 1 τ t c 2 t i 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞ sin 2 ⁡ ( π n t i / t c ) π 2 n 2 S y L O ( n t c ) {\displaystyle \sigma _{y,Dick}^{2}(\tau )={1 \over {\tau }}{t_{c}^{2} \over t_{i}^{2}}\cdot {\sum _{n=1}^{\infty }{{\sin ^{2}(\pi n\,t_{i}/t_{c}) \over {\pi ^{2}}n^{2}}\,S_{y}^{LO}\left({n \over t_{c}}\right)}}}
t i {\displaystyle t_{i}} ここで はに依存せず、デューティ係数の典型的な値は であるため、アラン偏差は[8]で近似できます。 σ y L O ( τ ) {\displaystyle \sigma _{y}^{LO}(\tau )} τ {\displaystyle \tau } d = t i / t c {\displaystyle d=t_{i}/t_{c}} 0.4 < d < 0.7 {\displaystyle 0.4<d<0.7}
σ y , D i c k ( τ ) ≈ σ y L O 2 ln ⁡ ( 2 ) ⋅ | s i n ( π d ) π d | ⋅ t c τ {\displaystyle \sigma _{y,Dick}(\tau )\approx {\sigma _{y}^{LO} \over {\sqrt {2\ln(2)}}}\cdot \left|{sin(\pi d) \over {\pi d}}\right|\cdot {\sqrt {t_{c} \over {\tau }}}}

参照

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