差分代数

差分代数は、代数的な観点から差分方程式（または関数方程式）を研究する数学の一分野です。差分代数は微分代数に類似していますが、微分方程式ではなく差分方程式を扱います。独立した学問分野として、ジョセフ・リットとその弟子リチャード・コーンによって創始されました。

差分環、差分体、差分代数

差分環は、環自己準同型を伴う可換環 です。 はしばしば単射であると仮定されます。が体のとき、差分体と呼ばれます。差分体の古典的な例は、差分演算子によって与えられる有理関数の体です。差分環の差分代数での役割は、可換代数と代数幾何学での可換環の役割に似ています。差分環の射は、 と可換な環の射です。差分体上の差分代数は、 が差分環の射である、つまりを拡張するような-代数構造を持つ差分環です。体である差分代数は、差分体拡大と呼ばれます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\to R}$ ${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$ ${\displaystyle \sigma \colon K\to K}$

代数差分方程式

（差分）変数の差分体上の差分多項式環は、無限個の変数上の多項式環である。変数名からわかるように、 からに拡張することで、上の差分代数となる。${\displaystyle K\{y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma ^{i}(y_{j}),\ (i\in \mathbb {N} ,1\leq j\leq n)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\{y\}}$

1上の代数差分方程式系はの任意の部分集合を意味する。 が 上の差分代数である場合、の解は ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K\{y\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {V} _{R}(F)=\{a\in R^{n}|\ f(a)=0{\text{for all }}f\in F\}.}$

古典的には、 の差分体拡大における解に主に関心が寄せられる。例えば、と が上の有理型関数の体であり、差分演算子が で与えられる場合、ガンマ関数が関数方程式を満たすという事実は、抽象的に と言い換えることができる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ ${\displaystyle \Gamma \in \mathbb {V} _{R}(\sigma (y_{1})-xy_{1})}$

品種の違い

直感的には、差分体上の差分多様体は、 上の代数差分方程式系の解の集合である。この定義は、解をどこで探すかを指定することによってより正確にする必要がある。通常は、 の差分体拡大の普遍族と呼ばれるものの中で解を探す。^{[ 1 ] [ 2 ]}あるいは、差分多様体をの差分体拡大の圏から集合の圏への関手として定義することもできる。これは、ある に対して という形式をとる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R\rightsquigarrow \mathbb {V} _{R}(F)}$ ${\displaystyle F\subseteq K\{y\}}$

変数の代数的差分方程式によって定義される差分多様体と、特定のイデアル、すなわち の完全差分イデアルとの間には一対一対応関係がある。[ ^{3 ]差分}代数の基本定理の一つは、 における完全差分イデアルの任意の上昇連鎖は有限であることを主張する。この結果は、ヒルベルトの基底定理の差分版と見ることができる。 ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle K\{y\}}$ ${\displaystyle K\{y\}}$ ${\displaystyle K\{y\}}$

アプリケーション

差分代数は、離散力学系、組合せ論、数論、モデル理論など、他の多くの数学分野と関連しています。人口動態などの現実世界の問題は代数差分方程式によってモデル化できますが、差分代数は純粋数学にも応用されています。例えば、差分代数の手法を用いたマニン・マンフォード予想の証明があります。^{[ 4 ]}差分体のモデル理論も研究されています。

参照

• 有限差分
• 再帰関係
• 関数方程式
• 微分代数

注記

1. コーン.差分代数.第4章
2. レビン.差分代数.セクション2.6
3. レビン.差分代数.定理2.6.4
4. フルショフスキー、エフード(2001). 「マニン・マンフォード予想と差分体のモデル理論」 .純粋・応用論理学年報. 112 (1): 43– 115. doi : 10.1016/S0168-0072(01)00096-3 .

参考文献

• アレクサンダー・レビン（2008年）、差分代数、シュプリンガー、ISBN 978-1-4020-6946-8
• リチャード・M・コーエン（1979年）『差分代数』REクリーガー出版、ISBN 978-0-88275-651-6

外部リンク

• Wibmer, Michael (2013).講義ノート - 代数差分方程式(PDF) . 80ページ.
• Zoé Chatzidakisのホームページには、差分体 (のモデル理論) を議論するオンライン調査がいくつかあります。