微分方程式系

数学において、微分方程式系とは、有限個の微分方程式の集合である。このような系は線形または非線形のいずれかである。また、このような系は常微分方程式系または偏微分方程式系のいずれかである。^[1]

微分方程式系の例は、現実世界において、相互に量の交換を行う相互接続された構成要素を持つシステムからしばしば現れます。例えば、複数のタンクを流れ落ちる水、バネで接続された質量体の跳ね返り、建物の異なる部分間の熱伝達などが挙げられます。^[2]

線形微分方程式

一次線形常微分方程式系とは、すべての方程式が一次式で、未知の関数に線形に依存する系である。ここでは、未知の関数と方程式の数が同数である系を考える。これらは次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {dx_{j}}{dt}}=a_{j1}(t)x_{1}+\ldots +a_{jn}(t)x_{n}+g_{j}(t),\qquad j=1,\ldots ,n}$

ここで、は正の整数であり、は独立変数 t の任意の関数です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{ji}(t),g_{j}(t)}$

1次線形常微分方程式は行列形式で表すことができます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\ldots &\vdots \\a_{n1}&&a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}},}$

あるいは単に

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {g} (t)}$ 。

同次微分方程式系

線形システムは、各 に対して であり、 のすべての値に対して であるとき、同次であると言われます。そうでない場合は非同次であると言われます。同次システムには、 がシステムの線形独立な解である場合、これらの任意の線形結合も、 が定数である線形システムの解であるという性質があります。 ${\displaystyle g_{j}(t)=0}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} ,\ldots ,\mathbf {x_{p}} }$ ${\displaystyle C_{1}\mathbf {x_{1}} +\ldots +C_{p}\mathbf {x_{p}} }$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{p}}$

係数がすべて定数である場合、一般解は となります。ここで、は の対応する固有ベクトルを持つ行列の固有値です。この一般解は、 がn個の異なる固有値を持つ場合にのみ適用されます。より少ない数の異なる固有値を持つ場合は、異なる扱いをする必要があります。 ${\displaystyle a_{ji}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =C_{1}\mathbf {v_{1}} e^{\lambda _{1}t}+\ldots +C_{n}\mathbf {v_{n}} e^{\lambda _{n}t}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

解の線形独立性

任意の常微分方程式系の場合、次の条件を満たす解の集合は線形独立であると言われます。 ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} (t),\ldots ,\mathbf {x_{n}} (t)}$

${\displaystyle C_{1}\mathbf {x_{1}} (t)+\ldots +C_{n}\mathbf {x_{n}} =0\quad \forall t}$ は の場合にのみ満たされます。 ${\displaystyle C_{1}=\ldots =C_{n}=0}$

2階微分方程式は、を定義することによって1階線形微分方程式の系に変換することができ、これにより1階の系が得られます。 ${\displaystyle {\ddot {x}}=f(t,x,{\dot {x}})}$ ${\displaystyle y={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}&=&y\\{\dot {y}}&=&f(t,x,y)\end{cases}}}$

2方程式からなる任意の線形連立方程式と同様に、がを意味する場合、あるいは が非ゼロである場合、2つの解は線形独立であると言える。この概念は2階連立方程式にも拡張され、2階常微分方程式の任意の2つの解は、この意味で線形独立であるとき、線形独立であると言える。 ${\displaystyle C_{1}\mathbf {x} _{1}+C_{2}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle C_{1}=C_{2}=0}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\{\dot {x}}_{1}&{\dot {x}}_{2}\end{vmatrix}}}$

微分方程式系の過剰決定

他の方程式系と同様に、線形微分方程式系は、未知数よりも方程式の数が多い場合、過剰決定系と呼ばれます。過剰決定系が解を持つためには、適合条件を満たす必要があります。 ^[3]例えば、次の系を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.}$

システムが解を持つために必要な条件は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.}$

コーシー問題とエーレンプライスの基本原理も参照してください。

非線形微分方程式系

非線形微分方程式系の最も有名な例は、おそらくナビエ・ストークス方程式でしょう。線形の場合とは異なり、非線形系の解の存在は難しい問題です（ナビエ・ストークス方程式の存在と滑らかさを参照）。

非線形微分方程式の他の例としては、ロトカ・ヴォルテラ方程式があります。

差動システム

微分システムは、微分形式やベクトル場などの幾何学的概念を使用して 偏微分方程式のシステムを研究する手段です。

例えば、過剰決定系微分方程式の適合条件は、微分形式を用いて簡潔に記述できます（つまり、形式が正確であるためには、閉じている必要があります）。詳しくは 、微分系の積分可能性条件を参照してください。

参照

• 積分幾何学
• カルタン・倉西延長定理

注記

1. van Kampen, ER (1941). 「常微分方程式系に関するノート」 . American Journal of Mathematics . 63 (2): 371– 376. doi :10.2307/2371531. ISSN  0002-9327. JSTOR  2371531.
2. Gustafson, Grant B. 「第11章 微分方程式系」(PDF) . 2025年12月14日閲覧。
3. 「過剰決定系 - 数学百科事典」。

参考文献

• L. Ehrenpreis,ラドン変換の普遍性, Oxford Univ. Press, 2003.
• グロモフ、M.（1986）、偏微分関係、シュプリンガー、ISBN 3-540-12177-3
• 倉西正之「偏微分方程式の合流系に関する講義」サンパウロ数学会出版（1967年）
• Pierre Schapira、複素領域における微分システム、 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 269、シュプリンガー・フェルラーク、1985年。

さらに読む

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projections-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/完全システム
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/多様体上の偏微分方程式