次元関数

数学において、（正確な）次元関数（ゲージ関数とも呼ばれる）の概念は、フラクタルやその他の計量空間の部分集合の研究におけるツールです。 次元関数は、 s次元ハウスドルフ測度の構築に使用される単純な「直径対次元」のべき乗則を一般化したものです

動機: s次元ハウスドルフ測度

計量空間 ( X ,  d ) とXの部分集合Eを考える。数s  ≥ 0 が与えられたとき、Eのs次元ハウスドルフ測度μ ^s ( E ) は次のように定義される。

${\displaystyle \mu^{s}(E)=\lim_{\delta \to 0}\mu_{\delta}^{s}(E),}$

ここで

${\displaystyle \mu_{\delta}^{s}(E)=\inf \left\{\left.\sum_{i=1}^{\infty}\mathrm{diam}(C_{i})^{s}\right|\mathrm{diam}(C_{i})\leq \delta ,\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}\supseteq E\right\}.}$

μ _δ ^s ( E ) は、直径が最大δの集合によるEの被覆の最小のs次元面積／体積を計算することによって得られる、E の「真の」 s次元面積／体積の近似値と考えることができます

sの増加に対して、μ ^s ( E ) は非増加です。実際、sのすべての値（おそらく1つを除く）に対して、H ^s ( E ) は 0 または +∞ のいずれかになります。この例外的な値はEのハウスドルフ次元と呼ばれ、ここでは dim _H ( E ) と表記されます。直感的に言えば、s  < dim _H ( E ) の場合、 μ ^s ( E ) = +∞ となります。これは、ユークリッド平面にある2次元円板の1次元線形長が +∞ であるのと同じ理由です。同様に、s  > dim _H ( E ) の場合、 μ ^s ( E ) = 0 となります。これは、ユークリッド平面にある円板の3次元体積が0であるのと同じ理由です。

次元関数の考え方は、いくつかのsに対して単なる diam( C ) ^s以外の直径の関数を使用し、ハウスドルフ測度が有限かつゼロでないという同じ特性を探すことです。

意味

( X ,  d ) を計量空間とし、E  ⊆  Xとする。h  : [0, +∞) → [0, +∞] を関数とする。μ ^h ( E ) を以下のように 定義する。

${\displaystyle \mu ^{h}(E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }^{h}(E),}$

ここで

${\displaystyle \mu_{\delta}^{h}(E)=\inf\left\{\left.\sum_{i=1}^{\infty}h\left(\mathrm{diam}(C_{i})\right)\right|\mathrm{diam}(C_{i})\leq\delta,\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}\supseteqE\right\}}.}$

μ ^h ( E ) が有限かつ厳密に正であるとき、 hはEの（正確な）次元関数（またはゲージ関数）と呼ばれます。hが持つべき特性については多くの慣例があります。例えば、Rogers (1998) は、h がt  ≥ 0で単調増加、 t  > 0 で厳密に正、そしてすべてのt  ≥ 0 で 右方向に連続であることを要求しています

充填次元

充填次元はハウスドルフ次元と非常によく似た方法で構成されますが、Eを直径が最大δの互いに素な球で内側から「詰める」という点が異なります。前と同様に、関数h : [0, +∞) → [0, +∞] はh ( δ ) =  δ ^s よりも一般化しており、 Eのh充填測度が有限かつ厳密に正である ならば、 h をEの正確な次元関数と呼ぶことができます

例

ユークリッド平面におけるブラウン運動の標本経路Xは、ほぼ確実にハウスドルフ次元が2ですが、2次元ハウスドルフ測度μ2 ( X )は0です。正確な次元関数hは^、対数補正 によって与えられます

${\displaystyle h(r)=r^{2}\cdot \log {\frac {1}{r}}\cdot \log \log \log {\frac {1}{r}}.}$

すなわち、確率1で、  R ²におけるブラウン運動経路Xに対して 0 < μ ^h ( X ) < +∞ となる。ユークリッドn空間R ⁿにおけるブラウン運動（n  ≥ 3）に対して、正確な次元関数は

${\displaystyle h(r)=r^{2}\cdot \log \log {\frac {1}{r}}.}$

参考文献

• オルセン、L. (2003).「いくつかのカントール集合の正確なハウスドルフ次元関数」.非線形性. 16 (3): 963–970 . doi : 10.1088/0951-7715/16/3/ 309
• Rogers, CA (1998).ハウスドルフ測度. Cambridge Mathematical Library (Third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xxx+195. ISBN 0-521-62491-6。