デデキント無限集合

数学において、集合Aがデデキント無限（ドイツの数学者リヒャルト・デデキントにちなんで名付けられた）であるとは、 Aの真部分集合B がAと同数であることを意味する。これは明示的には、 AからAの真部分集合Bへの全単射関数が存在することを意味する。集合がデデキント有限であるとは、デデキント無限でない（すなわち、そのような全単射が存在しない）ことを意味する。1888年にデデキントによって提唱されたデデキント無限性は、自然数の定義に依存しない最初の「無限」の定義であった。[ 1 ]

簡単な例として、自然数全体の集合 が挙げられます。ガリレオのパラドックスから、すべての自然数nをその平方数n 2に写す全単射が存在します。平方数全体の集合 は の真部分集合であるため、はデデキント無限です。 北{\displaystyle \mathbb {N} }北{\displaystyle \mathbb {N} }北{\displaystyle \mathbb {N} }

数学の基礎的危機によって集合論をより注意深く扱う必要性が示されるまで、ほとんどの数学者は、集合が無限である場合とデデキント無限である場合に限り、集合が無限であると仮定していました。20世紀初頭、今日では公理的集合論の最も一般的な形式であるツェルメロ-フランケル集合論が、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスのない集合論を定式化する公理体系として提案されました。当初は非常に物議を醸した選択公理を含むツェルメロ-フランケル集合論の公理( ZFC ) を使用すると、集合がデデキント有限である場合とそれが通常の意味で有限である場合に限り、集合がデデキント有限であることを示すことができます。しかし、選択公理を持たないツェルメロ-フランケル集合論のモデル ( ZF ) が存在し、そこには無限のデデキント有限集合が存在するため、ZFの公理はデデキント有限であるすべての集合が有限であることを証明するのに十分強力ではないことがわかります。[ 2 ] [ 1 ]デデキントによって与えられた定義以外にも、選択公理に依存しない 集合の有限性と無限性の定義があります。

漠然と関連する概念として、デデキント有限環の概念があります。

通常の無限集合の定義との比較

この「無限集合」の定義は、通常の定義と比較する必要があります。集合Aが無限集合であるとは、有限順序数と一対一に並べることができない場合、つまり、ある自然数nに対して{0, 1, 2, ..., n −1}という形式の集合の場合です。つまり、無限集合とは、一対一の意味で文字通り「有限ではない」集合です。

19世紀後半、ほとんどの数学者は、集合が無限集合であるためには、それがデデキント無限集合でなければならないと単純に仮定していました。しかし、この同値性は、選択公理(AC) (通常「ZF 」と表記)なしには、ツェルメロ＝フランケル集合論の公理では証明できません。同値性を証明するためにACの完全な強さは必要ではありません。実際、2つの定義の同値性は、可算選択公理(CC) よりも厳密に弱いのです。(下記の参考文献を参照)

ZFにおけるデデキント無限集合

集合Aがデデキント無限であるとは、次の同値な条件 （ ZF上）のいずれかを満たす場合です。

  • 可算無限部分集合を持つ。
  • 可算無限集合（例えば、N 、すべての自然数の集合）からAへの入射的な写像が存在する。
  • AとAの適切な部分集合の間には一対一の関係が存在する。
  • 単射ではあるが射影ではあり得ない関数A → Aが存在する。
  • 単射関数A∪ { A }→ Aが存在する。

次の同等の条件 （ ZF上）のいずれかを満たす場合、それは双対的にデデキント無限大である。

  • 射影的だが単射的ではない関数A → Aが存在する。
  • 射影関数A → A ∪ { A }が存在する。

次の同等の条件 （ ZF上）のいずれかを満たす場合、それは弱デデキント無限大である。

  • Aから可算無限集合への射影写像が存在する。
  • Aのべき集合はデデキント無限である。

そして、それが以下の同等の（ZF上の）条件 のいずれかを満たす場合、それは無限です。

  • 任意の自然数nに対して、 {0, 1, 2, ..., n −1}からAへの一対一写像は存在しない。
  • Aの冪集合は弱デデキント無限である。[ n 1 ]

次に、ZF は次の含意を証明します: デデキント無限 ⇒ 双対デデキント無限 ⇒ 弱デデキント無限 ⇒ 無限。

無限デデキント有限集合を持つZFモデルが存在する。そのような集合をAとし、Aからの有限な単射列の集合をBとする。Aは無限なので、 Bから自身への「最後の要素を落とす」関数は射影的だが単射的ではないため、Bは双対的にデデキント無限である。しかし、Aがデデキント有限なので、 Bもデデキント有限である（Bが可算無限部分集合を持つ場合、 Bの要素が単射列であるという事実を用いて、 Aの可算無限部分集合を示すことができる）。

集合に追加の構造がある場合、両方の種類の無限性がZF上で同値であることが証明されることがあります。例えば、ZF は、整列集合がデデキント無限である必要十分条件は、それが無限集合であるときであり、かつその場合のみである ことを証明します。

歴史

この用語は、この定義を初めて明示的に導入したドイツの数学者リヒャルト・デデキントにちなんで名付けられました。この定義が、自然数の定義に依存しない最初の「無限」の定義であったことは注目に値します（ポアンカレに従って、数の概念が集合の概念よりも先にあるとみなす場合を除きます）。ベルナルド・ボルツァーノはこのような定義を知っていたものの、1819年にプラハ大学から政治的に追放されたため、無名の雑誌以外で論文を発表することはできませんでした。さらに、ボルツァーノの定義は、より正確には、無限集合の定義そのものというよりも、2つの無限集合の間に成立する関係でした。

長い間、多くの数学者は、無限集合とデデキント無限集合という概念に区別があるかもしれないという考えさえ抱いていませんでした。実際、この区別が真に認識されたのは、エルンスト・ツェルメロがACを明示的に定式化した後のことでした。無限デデキント有限集合の存在は、1912年にバートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって研究されました。これらの集合は当初、媒介基数またはデデキント基数と呼ばれていました。

数学界において選択公理が広く受け入れられるようになったことで、無限集合とデデキント無限集合に関するこれらの問題は、ほとんどの数学者にとってそれほど重要ではなくなりました。しかしながら、デデキント無限集合の研究は、有限と無限の境界を明確にする試みにおいて重要な役割を果たし、またACの歴史においても重要な役割を果たしました。

選択公理との関係

すべての無限整列集合はデデキント無限であり、ACはすべての集合は整列可能であるという整列定理と同値であるため、一般のACは明らかにすべての無限集合がデデキント無限であることを示唆する。しかしながら、この2つの定義の同値性は、ACの完全な強さよりもはるかに弱い。

特に、ZFのモデルには、可算無限部分集合を持たない無限集合が存在する。したがって、このモデルでは、無限のデデキント有限集合が存在する。以上のことから、このモデルではそのような集合は整列していない。

可算選択公理（すなわちAC ω）を仮定すると、すべての無限集合はデデキント無限集合となる。しかし、これら2つの定義の同値性は、実際にはCCよりも厳密に弱い。明示的に言えば、すべての無限集合がデデキント無限集合となるZFのモデルが存在するが、CCは成立しない（ZFの無矛盾性を仮定）。

可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明

すべてのデデキント無限集合が無限であることは、ZF で簡単に証明できます。すべての有限集合は定義により、ある有限順序数nとの一対一関係を持ち、nに関する帰納法によってこれがデデキント無限集合ではないことを証明できます。

可算選択公理（表記：公理 CC）を使用すると、逆、つまりすべての無限集合Xがデデキント無限である ことを証明できます。次のようにします。

まず、自然数（つまり、有限順序数）上の関数f  : N → Power(Power( X ))を定義します。これにより、すべての自然数nに対して、f ( n ) はサイズnのXの有限部分集合の集合になります（つまり、有限順序数nと一対一になる集合です）。f ( n ) が空になることは決してありません。空でない場合、X は有限になります（ nに関する帰納法で証明できます）。

fの像は可算集合{ f ( n ) | n ∈ N } であり、その要素はそれ自体が無限集合（場合によっては非可算集合）である。可算選択公理を用いることで、これらの集合からそれぞれ1つの要素を選ぶことができ、この要素自体がXの有限部分集合となる。より正確には、可算選択公理によれば、（可算）集合G = { g ( n ) | n ∈ N } が存在する。したがって、任意の自然数nに対して、g ( n ) はf ( n )の要素であり、したがってサイズnのXの有限部分集合となる。

ここで、 U をGの元の和集合として定義する。UはXの無限可算部分集合であり、自然数からUへの一対一写像h : N → Uは容易に定義できる。ここで、 U に含まれないすべての元を自身に写し、すべての自然数に対して h ( n ) を h ( n + 1) に写す一対一写像 B : X → X \ h ( 0 )を定義できる 。したがって、Xはデデキント無限であり、これで説明は終了である。

一般化

圏論的な用語で表現すると、集合A がデデキント有限であるとは、集合の圏において、すべての単射f  : A → Aが同型であることを意味する。フォン・ノイマン正則環R が（左または右） R加群の圏において同様の性質を持つ場合、かつその場合のみ、Rにおいてxy = 1ならばyx = 1 が成り立つことを意味する。より一般的には、デデキント有限環とは、後者の条件を満たす任意の環である。環は、その基礎集合がデデキント無限であっても、デデキント有限となる場合があることに注意する必要がある。例えば、整数などである。

注記

  1. ^ a bムーア、グレゴリー・H. (2013) [1982年にシュプリンガー・フェアラーク社から「数学・物理科学史研究」シリーズ第8巻として出版された作品の完全版再出版]ツェルメロの選択公理：その起源、発展、そして影響ドーバー・パブリケーションズISBN 978-0-486-48841-7。
  2. ^ヘルリッヒ、ホルスト (2006)。選択の公理。数学の講義ノート 1876。Springer-Verlag。ISBN 978-3540309895。
  1. ^有限集合の冪集合は有限です。その他の含意としては、 Aが無限である場合、 Aの各有限部分集合をその濃度にマッピングし、すべての無限部分集合を 0 にマッピングすると、 Aの冪集合からNへの単射ではない全射が得られます。

参考文献

  • フェイス、カール・クリフトン著『数学概論とモノグラフ』第65巻、アメリカ数学会、第2版、AMS書店、2004年、ISBN 0-8218-3672-2
  • ムーア、グレゴリー・H.、ツェルメロの選択公理、シュプリンガー・フェアラーク、1982年（絶版）、ISBN 0-387-90670-3特に22～30ページと322～323ページの表1と表2
  • ジェック、トーマス・J.、『選択公理』、ドーバー出版、2008年、ISBN 0-486-46624-8
  • ラム・ツィット・ユエン著『非可換環入門』第131巻（Graduate Texts in Mathematics）第2版、Springer、2001年、ISBN 0-387-95183-0
  • Herrlich, Horst, Axiom of Choice、Springer-Verlag、2006年、「Lecture Notes in Mathematics 1876」、ISSN印刷版0075–8434、ISSN電子版: 1617-9692、特にセクション4.1。
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