ディリクレ密度

数学において、素数集合のディリクレ密度（または解析密度）は、ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレにちなんで名付けられ、自然密度よりも使いやすい集合のサイズの尺度です。

意味

Aが素数の部分集合である場合、 Aのディリクレ密度は 極限である。

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 1^{+}}{\frac {\sum _{p\in A}{1 \over p^{s}}}{\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}}}}$

存在する場合。（プライムゼータ関数を参照）なので、これはまた次の式に等しい ことに注意する。${\displaystyle \textstyle {\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}\sim \log({\frac {1}{s-1}})}}$ ${\displaystyle s\rightarrow 1^{+}}$

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 1^{+}}{\sum _{p\in A}{1 \over p^{s}} \over \log({\frac {1}{s-1}})}.}$

この表現は 通常、

${\displaystyle \prod _{p\in A}{1 \over 1-p^{-s}}}$

s = 1において、(一般には非整数位数なので実際には極ではありませんが)、少なくともこの関数がs = 1 の近傍でs −1の(実)べき乗を掛けた正則関数である場合に該当します。たとえば、A がすべての素数全体の集合である場合、それはs = 1で位数 1 の極を持つリーマンゼータ関数であるため、すべての素数全体の集合のディリクレ密度は 1 です。

より一般的には、繰り返しを含む可能性のある素数 (または素数累乗) の列のディリクレ密度を、同様の方法で定義できます。

プロパティ

素数の部分集合Aが自然密度を持つ場合、それは次の極限で与えられる。

( AのN未満の要素の数)/( N未満の素数の数)

ならば、それはディリクレ密度も持ち、2つの密度は同じです。しかし、通常は素数の集合がディリクレ密度を持つことを示す方が簡単で、多くの目的にはこれで十分です。例えば、等差数列に関するディリクレの定理を証明する場合、等差数列a  +  nb ( a、  bは互いに素)の素数の集合がディリクレ密度 1/φ( b ) を持つことを示すのは簡単です。これは、そのような素数が無限に存在することを示すには十分ですが、これが自然な密度であることを示すのは困難です。

大まかに言えば、ある素数の集合が非ゼロのディリクレ密度を持つことを証明するには、通常、特定の L関数が点s = 1で消えないことを示す必要があり、一方、それらが自然密度を持つことを示すには、L関数が直線 Re( s ) = 1 上にゼロを持たないことを示す必要があります。

実際には、ある「自然に発生する」素数集合がディリクレ密度を持つ場合、その集合も自然密度を持ちますが、人為的な反例を見つけることは可能です。例えば、小数点第1位が1である素数集合は自然密度を持ちませんが、ディリクレ密度log(2)/log(10)を持ちます。^[1]

参照

• 自然密度

注記

1. これは J.-P. Serre によってA course in arithmeticに掲載されたBombieriからの私信によるものとされています。素数定理に基づく基本的な証明は、A. Fuchs, G. Letta, Le problème du premier chiffre décimal pour les nombres premiers [The first digit problem for primes] (French) The Foata Festschrift. Electron. J. Combin. 3 (1996), no. 2 に掲載されています。

参考文献

• J.-P. セール『算数講座』ISBN 0-387-90040-3、第6章第4節。