離散チェビシェフ変換

応用数学において、離散チェビシェフ変換（略称DCT、DChT、またはDTT）は、実区間の関数に対する離散フーリエ変換の類似物であり、チェビシェフ節点の集合における関数値と、チェビシェフ多項式基底における関数の係数との間で双方向の変換を行う。チェビシェフ多項式と同様に、パフヌティ・チェビシェフにちなんで名付けられている。

離散チェビシェフ変換の最も一般的な2つのタイプは、第一種チェビシェフ多項式の零点であるチェビシェフ零点のグリッドと、第一種チェビシェフ多項式の極値であり第二種チェビシェフ多項式の零点でもあるチェビシェフ極値グリッドを用いる。これらの変換はどちらも、第一種チェビシェフ多項式の係数を生成する。 $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

その他の離散チェビシェフ変換には、関連するグリッドと、第 2 種、第 3 種、または第 4 種のチェビシェフ多項式の係数が含まれます。

ルーツグリッド

点におけるの離散チェビシェフ変換は次のように与えられます。 ${u(x)}$ ${x_{n}}$

a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})T_{m}(x_{n}),

どこ

x_{n}=-\cos {\frac {{\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}},

a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos \left(m\cos ^{-1}(x_{n})\right),

ifと only ifおよびotherwise を使用します。 $p_{m}=1$ $m=0$ $p_{m}=2$

の定義を用いると、 $x_{n}$

{\begin{aligned}a_{m}&={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos {\frac {m{\bigl (}N+n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}}\\&={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})(-1)^{m}\cos {\frac {m{\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}}.\end{aligned}}

逆変換は

u_{n}=\sum _{m=0}^{N-1}a_{m}T_{m}(x_{n})=\sum _{m=0}^{N-1}a_{m}(-1)^{m}\cos {\frac {m{\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}}.

(これは、ルートグリッド上で評価される標準チェビシェフ級数です。)

この離散チェビシェフ変換は、たとえば次のMATLABコードを使用して、離散コサイン変換への入力引数を操作することによって計算できます。

関数 a = fct ( f, l ) 
% x =-cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2));

f = f ( end : - 1 : 1 ,:); A = size ( f ); N = A ( 1 );存在する場合( 'A(3)' , 'var' ) && A ( 3 ) ~= 1 i = 1 の場合: A ( 3 ) a (:,:, i ) = sqrt ( 2 / N ) * dct ( f (:,:, i )); a ( 1 ,:, i ) = a ( 1 ,:, i ) / sqrt ( 2 ); endそれ以外の場合a = sqrt ( 2 / N ) * dct ( f (:,:, i )); a ( 1 ,:)= a ( 1 ,:) / sqrt ( 2 ); end

MATLAB の組み込みdct(離散コサイン変換) 関数は、高速フーリエ変換を使用して実装されます。

逆変換は MATLAB コードによって与えられます。

関数 f = ifct ( a, l ) 
% x = -cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2)) 
k = size ( a ); N = k ( 1 );   

a = idct ( sqrt ( N / 2 ) * [ a ( 1 ,:) * sqrt ( 2 ); a ( 2 : end ,:)]);       

終わり