ディスクカバーの問題

数学における未解決問題

半径の円盤を単位円盤を覆うように配置できる最小の実数は何ですか?${\displaystyle r(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r(n)}$

数学におけるさらなる未解決問題

円板被覆問題は、半径 の円板を単位円板を覆うように配置できる最小の実数 を求める問題である。また、半径εが与えられたとき、半径εの円板n個で単位円板を覆うことができる最小の整数nを求める問題でもある。 ^[1]${\displaystyle r(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r(n)}$

現在までに知られている最良の解決策は以下のとおりです。^[2]

n	r(n)	対称
1	1	全て
2	1	すべて（2枚のスタックディスク）
3	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$ = 0.866025...	120°、3回反射
4	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$ = 0.707107...	90°、4回反射
5	0.609382... OEIS : A133077	1回の反射
6	0.555905... OEIS : A299695	1回の反射
7	${\displaystyle 1/2}$ = 0.5	60°、6回反射
8	0.445041...	約51.4°、7回の反射
9	0.414213...	45°、8回反射
10	0.394930...	36°、9回の反射
11	0.380083...	1回の反射
12	0.361141...	120°、3回反射

方法

次の図は、半径1の破線円板を、半径約0.6の実線円板6枚で覆った例を示しています。覆う円板のうち1枚は中央に配置され、残りの5枚はその周りに対称的に配置されています。

これはr(6)にとって最適な配置ではありませんが、中心の円盤の周りに同じ半径を持つ6枚、7枚、8枚、9枚の円盤を同様に配置することで、それぞれr(7)、r(8)、r(9)、r(10)にとって最適な配置戦略が得られます。^[2]対応する角度θは上記の表の「対称性」の列に記載されています。

参考文献

1. カーシュナー、リチャード（1939）、「集合を覆う円の数」、アメリカ数学誌、61（3）：665–671、doi：10.2307/2371320、JSTOR  2371320、MR  0000043。
2. フリードマン、エリック。「Circles Covering Circles」 。 2021年10月4日閲覧。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ディスク被覆問題」。MathWorld。
• フィンチ, SR「円形被覆定数」『数学定数』§2.2、ケンブリッジ大学出版局、484-489頁、2003年。