発散等比級数

数学において、次の形の 無限等比級数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots}$

が発散する場合、そしてその場合に限ります。発散級数の和の方法は時々役立ち、通常、発散等比級数は収束する場合の式と一致する和に評価されます。 ${\displaystyle |r|>1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}={\frac {a}{1-r}}.}$

これは、正則性、線形性、安定性という特性を持つあらゆる和の方法について当てはまります。

例

和の難易度が上がる順に：

• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯、公比は-1
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯、公比は -2
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯、公比は2
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯、公比は 1

学習動機

どの総和法がどの公比に対して等比級数の公式を生成するかを理解することは非常に有用です。この情報の応用例の一つは、いわゆるボレル・オカダ原理です。複素平面の部分集合内のすべての に対して、 が に帰属する場合、に特定の制約が与えられていると、その方法は とミッタク・レフラー星形の交点における他の任意の関数の に対して解析接続も与えます。^[1]${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ ${\displaystyle 1/(1-z)}$ ${\textstyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(z)}$

領域による総和可能性

開単位円板

通常の総和は公比に対してのみ成立します${\displaystyle |r|<1.}$

閉単位円板

• チェザロ総和
• アーベル総和

より大きな円板

• オイラー総和

半平面

級数は、実部 < 1 の すべてのzに対してボレル総和可能です。

影付きの平面

ボレル和以外のモーメント定数法では、関数1/(1 − z )のミッタク・レフラー星全体、つまりz ≥ 1を除くすべてのzについて、等比級数を和ぐことができます^。[2]

どこでも

注

1. Korevaar p.288
2. Moroz p.21

参考文献

• Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 3-540-21058-X.
• Moroz, Alexander (1991). 「量子場理論における再総和問題」arXiv : hep-th/9206074 .