ドンスカークラス

関数のクラスは、中心極限定理の関数的一般化であるドンスカー定理を満たす場合、ドンスカークラスであるとみなされます。

意味

を確率空間 上の平方積分可能関数の集合とする。経験過程はによって定義される 集合上の確率過程であり 、は からの独立独立点抽出に基づく経験的測度である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle \mathbb {G} _{n}(f)={\sqrt {n}}(\mathbb {P} _{n}-P)(f)}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle P}$

測定可能な関数のクラスは、経験的プロセスが分布的に空間内のタイトなボレル測定可能要素に収束する場合、ドンスカークラスと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {G} _{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }({\mathcal {F}})}$

中心極限定理によれば、関数の任意の有限集合に対して、ランダムベクトルは多変数正規ベクトルに分布収束し、その収束は となる。したがって、この類がドンスカーとなるのは、 ^[1]において系列が漸近的にタイトである場合のみである。${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {G} _{n}(f_{1}),\mathbb {G} _{n}(f_{2}),\dots ,\mathbb {G} _{n}(f_{k}))}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {G} _{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }({\mathcal {F}})}$

例と十分な条件

有限のダドリーのエントロピー積分を持つ関数のクラスはドンスカークラスである。これには、定義される関数のクラスから形成される経験分布関数や、有界パラメータ空間上のパラメータクラスが含まれる。より一般的には、任意のVCクラスもドンスカークラスである。^[2]${\displaystyle \mathbb {I} _{(-\infty ,t]}}$

プロパティ

ドンスカー類の関数の最小値または最大値をとることによって形成される関数のクラスもドンスカー類を形成する。 ^[2]

ドンスカーの定理

ドンスカーの定理は、経験分布関数が適切に正規化されると、ブラウン橋、すなわち連続ガウス過程に弱収束することを述べています。これは、中心極限定理に類似した結果が経験過程にも成り立つことを保証する点で重要であり、それによって幅広い統計応用における漸近推論が可能になります。^[3]

ドンスカー類の概念は漸近統計学の分野に影響を与えています。関数類がドンスカー類であるかどうかを知ることは、経験的プロセスの極限分布を理解するのに役立ち、ひいては関数推定量や仮説検定のための信頼帯の構築を容易にします。^[3]

参照

• 経験的プロセス
• 中心極限定理
• ブラウン橋
• グリヴェンコ・カンテリ定理
• ヴァプニク・チェルヴォネンキス理論
• 弱収束（確率）

参考文献

1. van der Vaart, AW; Wellner, Jon A. (2023). 弱収束と経験的プロセス. Springer Series in Statistics. p. 139. doi :10.1007/978-3-031-29040-4. ISBN 978-3-031-29038-1。
2. Vaart AW van der. 漸近統計学. ケンブリッジ大学出版局; 1998年.
3. van der Vaart, AW, & Wellner, JA (1996). 弱収束と経験的プロセス. Springer Series in Statistics. Springer New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2545-2