固定小数点（数学）

関数(赤で表示) には固定点 0、1、2 があります。${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x}$

数学において、不動点（ふどうてき、英: fixed point）は、与えられた変換によって変化しない値である。特に関数においては、不動点とは関数によって自身に写像される元である。変換における不動点の集合も不変集合である。

関数の固定点

形式的には、関数fの不動点とは、cがfの定義域と余定義域の両方に属し、かつf ( c ) = cが成り立つ場合である。特に、 f の定義域が余定義域と交わらない場合、 f は不動点を持つことはできない。f が実数上で定義されている場合、図で表すとユークリッド平面上の曲線に対応し、各不動点c は曲線と直線y = xの交点に対応する（図参照）。

たとえば、f が実数上で によって 定義されている場合、 f (2) = 2であるため、 2 はf の不動点になります。 ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$

すべての関数が固定点を持つわけではありません。たとえば、f ( x ) = x + 1には固定点がありません。これは、 x + 1 がどの実数に対しても xと等しくなることはないためです。

固定小数点反復

数値解析において、不動点反復法は関数の不動点を計算する手法である。具体的には、同じ定義域と余定義域を持つ関数と、定義域内の点が与えられた場合、不動点反復法は次のように表される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

これによって、点 に収束することが期待される反復関数適用の列 が得られる。 が連続であれば、得られた がの不動点であることが証明できる。 ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

固定点の引き付け、固定点の反発、周期点の概念は、固定点反復に関して定義されます。

不動点定理

不動点定理とは、ある一般的な条件下で、少なくとも1つの不動点が存在するという結果である。^{[ 1 ]}

たとえば、バナッハの不動点定理(1922) は、それが満たされている場合、固定点反復が常に固定点に収束すること を保証する一般的な基準を提供します。

ブラウワーの不動点定理(1911) によれば、n次元ユークリッド空間内の閉じた単位球からそれ自身への連続関数は必ず不動点を持つが、その不動点を見つける方法は説明されていない。

代数位相学のレフシェッツの不動点定理（およびニールセンの不動点定理）は、不動点を数える方法を提供します。

集団行動の固定点

代数学において、群作用を持つ集合Xに作用する群Gに対して、Xのx がgの不動点であるとは、次の式のとき言われます。 ${\displaystyle \cdot}$ ${\displaystyle g\cdot x=x}$

群Gの自己同型fの不動点部分群はGの部分群である。 ${\displaystyle G^{f}}$ $${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

同様に、環Rの自己同型fの不動点部分環はfの不動点の部分環である。つまり、 ${\displaystyle R^{f}}$ $${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

ガロア理論では、体の自己同型集合の不動点の集合は、自己同型集合の 不動体と呼ばれる体です。

位相的固定点特性

位相空間は、任意の連続関数に対して不動点性（FPP）を持つと言われる。${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to X}$

となるようなものが存在する。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$

FPPは位相不変量であり、すなわち、任意の同相写像によって保存される。また、FPPは任意の引き込みによっても保存される。

ブラウワーの不動点定理によれば、ユークリッド空間のコンパクトかつ凸な部分集合はすべて有限ポテンシャル（FPP）を持つ。コンパクト性だけでは有限ポテンシャルは成立せず、凸性は位相的な性質ですらないため、有限ポテンシャルを位相的にどのように特徴付けるかを問うことは理にかなっている。1932年、ボルスクは、コンパクト性と縮約可能性を併せ持つことが有限ポテンシャルが成立するための必要十分条件となり得るかどうかを問うた。この問題は20年間未解決であったが、木下によってこの予想は反証された。木下は有限ポテンシャルを持たないコンパクトで縮約可能な空間の例を発見した。^{[ 2 ]}

半順序の不動点

領域理論において、不動点の概念と用語は半順序へと一般化される。≤ を集合X上の半順序とし、f​​ : X → X をX上の関数とする。すると、 fの接頭点（pre-fixed pointとも綴られ、prefixpointまたはpre-fixpointと略されることもある）とは、 f ( p ) ≤ p を満たす任意のpのことである。同様に、f の接尾点（postfixed pointとも綴られ、 p ≤ f ( p ) を満たす任意のpのことである。^{[ 3 ]} 逆の用法も時折見られる。^{[ 4 ]}マルキスはここで提示された定義を次のように正当化している。「fは項f ( x ) ≤ xにおいて不等号の前にあるため、そのようなxは接頭点と呼ばれる。」^{[ 5 ]}不動点とは、接頭点と接尾点の両方である点である。接頭点と接尾点の両者は、理論計算機科学において応用されている。^{[ 6 ]}

最小固定点

順序論において、半順序集合（poset）からそれ自身への関数の最小不動点とは、posetの順序に従って、他のすべての不動点よりも小さい不動点である。関数は必ずしも最小不動点を持つ必要はないが、もし持つならば、最小不動点は唯一である。

クナスター・タルスキ定理を表現する一つの方法は、完全格子上の単調関数は最小の不動点を持ち、その最小の前置点と一致する（同様に、その最大の不動点はその最大の後置点と一致する）と言うことである。^{[ 7 ]}

固定小数点コンビネータ

コンピュータサイエンスの組合せ論理において、固定小数点コンビネータとは、引数関数の固定小数点（存在する場合）を返す高階関数である。正式には、関数fが1つ以上の固定小数点を持つ場合、 ${\displaystyle {\mathsf {fix}}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {fix}} f=f(\operatorname {\mathsf {fix}} f).}$

固定小数点ロジック

数理論理学において、固定小数点論理は古典的な述語論理の拡張であり、再帰を表現するために導入された。その発展は、記述複雑性理論と、データベースクエリ言語、特にDatalogとの関係に動機づけられてきた。

アプリケーション

多くの分野において、平衡や安定性は固定点を用いて記述できる基本的な概念です。以下にいくつか例を挙げます。

• 射影幾何学では、射影性の不動点は二重点と呼ばれている。^{[ 8 ] [ 9 ]}
• 経済学において、ゲームのナッシュ均衡とは、ゲームの最善の応答の不動点である。ジョン・ナッシュは、角谷の不動点定理を、ノーベル経済学賞の受賞につながった画期的な論文に用いた。
• 物理学、より正確には相転移理論において、不安定な固定点付近の線形化は、ウィルソンのノーベル賞受賞研究である繰り込み群の発明と、「臨界現象」という用語の数学的説明につながった 。^{[ 10 ] [ 11 ]}
• プログラミング言語コンパイラは、プログラム解析、例えばコード最適化に必要となるデータフロー解析などに、固定小数点演算を使用します。これは、汎用プログラム解析手法である抽象解釈の中核概念でもあります。^{[ 12 ]}
• 型理論では、固定小数点コンビネータにより、型なしラムダ計算で再帰関数を定義できます。
• すべての Web ページのPageRank値のベクトルは、 World Wide Webのリンク構造から導出された線形変換の固定点です。
• マルコフ連鎖の定常分布は、1 ステップの遷移確率関数の固定点です。
• 固定小数は反復関数の式を見つけるために使用されます。

参照

• 順列の循環と固定点
• 固有ベクトル
• 平衡
• メビウス変換の不動点
• 冪等性
• 解析関数の無限合成

• 不変式（数学）

注記

1. Brown, RF編​​ (1988). 『不動点理論とその応用』アメリカ数学会. ISBN 0-8218-5080-6。
2. 木下真一 (1953). 「不動点性を持たないある縮約可能連続体について」 . Fund. Math. 40 (1): 96–98 . doi : 10.4064/fm-40-1-96-98 . ISSN 0016-2736 . 
3. Smyth, Michael B.; Plotkin, Gordon D. (1982). 「再帰領域方程式の圏論的解法」(PDF) . Proceedings, 18th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science . SIAM Journal of Computing (volume 11). pp.  761– 783. doi : 10.1137/0211062 .
4. Patrick Cousot; Radhia Cousot (1979). 「タルスキの不動点定理の構成的バージョン」(PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 82 (1): 43– 57. doi : 10.2140/pjm.1979.82.43 .
5. マルキス、アレクサンダー (2015). 「マルチスレッド再帰プログラムのマルチスレッド-カルティシアン抽象解釈は多項式である」(PDF) .到達可能性問題. コンピュータサイエンス講義ノート. 第9328巻. pp.  114– 127. doi : 10.1007/978-3-319-24537-9_11 . ISBN 978-3-319-24536-2. S2CID  17640585 . 2022年8月10日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
6. Yde Venema (2008) Lectures on the Modal μ-calculus Archived March 21, at the Wayback Machine
7. Yde Venema (2008) Lectures on the Modal μ-calculus Archived March 21, at the Wayback Machine
8. コクセター, HSM (1942).非ユークリッド幾何学.トロント大学出版局. p. 36.
9. GB Halsted (1906)総合射影幾何学、27ページ
10. ウィルソン, ケネス G. (1971). 「くりこみ群と臨界現象. I. くりこみ群とカダノフのスケーリング描像」 .フィジカル・レビューB. 4 ( 9): 3174– 3183.書誌コード: 1971PhRvB...4.3174W . doi : 10.1103/PhysRevB.4.3174 .
11. ウィルソン, ケネス G. (1971). 「繰り込み群と臨界現象. II. 臨界挙動の位相空間セル解析」 .フィジカル・レビューB. 4 ( 9): 3184– 3205.書誌コード: 1971PhRvB...4.3184W . doi : 10.1103/PhysRevB.4.3184 .
12. 「P. Cousot & R. Cousot、「抽象解釈：固定点の構築または近似によるプログラムの静的解析のための統一格子モデル」」。

外部リンク

• 西山 裕 (2012). 「不動点描画のためのエレガントな解法」(PDF) .国際純粋応用数学ジャーナル. 78 (3): 363– 377.