固定小数点プロパティ

数学的対象が不動点性を持つとは、から自身への適切に振る舞いの良い写像がすべて不動点を持つことを意味する。この用語は、すべての連続写像が不動点を持つ位相空間を記述するために最もよく用いられる。しかし、別の用法としては順序論があり、半順序集合が不動点性を持つとは、上のすべての増加関数が不動点を持つことを意味する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

意味

を具象圏の対象とする。このとき、すべての射（すなわち、すべての関数）が不動点を持つ とき、は不動点性を持つ。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:A\to A}$

最も一般的な用法は、が位相空間の圏である場合です。この場合、すべての連続写像が不動点を持つ とき、位相空間は不動点性を持ちます。${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {Top} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to X}$

例

シングルトン

集合のカテゴリでは、固定小数点特性を持つオブジェクトはまさにシングルトンです。

閉区間

閉区間は 不動点特性を持ちます。 を連続写像とします。またはの場合、写像は0または1に不動点を持ちます。そうでない場合、 およびです。したがって、関数はで正、 で負となる連続実数値関数です。中間値定理より、となる点が存在し、つまり となるので、は不動点となります。 ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle f(0)>0}$ ${\displaystyle f(1)-1<0}$ ${\displaystyle f(g)=f(x)-x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle g(x_{0})=0}$ ${\displaystyle f(x)-x=0}$ ${\displaystyle x_{0}}$

開区間は固定小数点特性を持ちません。この写像は区間上に固定小数点を持ちません。 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle (0,1)}$

閉じたディスク

閉区間は閉円板の特殊なケースであり、任意の有限次元において、ブラウワーの不動点定理により不動点特性を持ちます。

トポロジー

不動点性を持つ空間の引き込みも 不動点性を持ちます。これは、が引き込みで が任意の連続関数である場合、合成（ただしは包含）は不動点を持つためです。つまり、となるような が存在するということです。が成り立つので、したがって${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r:X\to A}$ ${\displaystyle f:A\to A}$ ${\displaystyle i\circ f\circ r:X\to X}$ ${\displaystyle i:A\to X}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle f\circ r(x)=x}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle r(x)=x}$ ${\displaystyle f(x)=x.}$

位相空間が固定小数点特性を持つのは、その恒等写像が普遍的である場合に限ります。

一般に、固定小数点特性を持つ空間の積は、たとえその空間の 1 つが実閉区間であっても、固定小数点特性を持ちませ ん。

FPPは位相不変量であり、任意の同相写像によって保存される。また、FPPは任意の引き込みによっても保存される。

ブラウワーの不動点定理によれば、ユークリッド空間のすべてのコンパクト凸部分集合は FPP を持つ。より一般的には、シャウダー・ティコノフの不動点定理によれば、局所凸位相ベクトル空間のすべてのコンパクト凸部分集合は FPP を持つ。コンパクト性だけでは FPP を意味しないし、凸性は位相的な性質ですらないので、FPP を位相的にどのように特徴付けるかを問うことは理にかなっている。 1932 年にボルスクは、コンパクト性と収縮可能性を組み合わせればFPP が成り立つための十分な条件になるかどうかを問うた。この問題は 20 年間未解決であったが、木下は FPP のないコンパクト収縮可能空間の例を発見した。^{[ 1 ]}

参考文献

1. 木下 誠. 不動点性を持たないある縮約可能連続体について.数学. 40 (1953), 96–98

• サミュエル・アイレンバーグ、ノーマン・スティーンロッド(1952). 『代数的位相幾何学の基礎』プリンストン大学出版局.
• Schröder, Bernd (2002).順序集合. ボストン図書館.