飲酒者のパラドックス
明らかな論理的パラドックス

酒飲みのパラドックス（酒飲みの定理、酒飲みの原理、飲酒原理とも呼ばれる）は、古典的な述語論理の定理であり、「パブに飲酒している人がいて、その人物が飲酒しているなら、パブにいる全員が飲酒している」と述べられる。この定理は数理論理学者レイモンド・スマリヤンによって広く知られるようになり、彼は1978年に著書『What Is the Name of this Book?』[1]の中でこれを「飲酒原理」と呼んだ。

この命題の一見矛盾した性質は、自然言語における通常の表現方法に由来する。ある人物が他の人に飲酒を促している可能性、あるいはある人物が夜通し最後に飲酒している可能性、どちらも直感に反するように見える。最初の反論は、形式的な「もし～ならば」という文と因果関係を混同していることから生じる（ここで想定されている古典論理とは異なり、前提と帰結の間に関連関係を要求する論理については、 「相関は因果関係を意味しない」または「関連性論理」を参照）。この定理の形式的な表現は時空を超越しており、ある瞬間にその文が成り立つ人物が、他のどの瞬間にも必ずしも同じ人物であるとは限らないため、2番目の反論は排除される。[要出典]

この定理の正式な記述は

∃ × ∈ P 、 [ D （ × ） → た y ∈ P 、 D （ y ） ] 。 {\displaystyle \exists x\in P,[D(x)\rightarrow \forall y\in P,D(y)].\,}

ここで、D は任意の述語であり、P は任意の空でない集合です。

証明

証明は、パブにいる全員が飲酒しているか、少なくとも一人は飲酒していないかのいずれかが真であると認識することから始まります。したがって、考慮すべきケースは2つあります。[1] [2]

  1. 皆が飲んでいると仮定しましょう。ある特定の人物について、もしその人物が飲んでいるなら、パブにいる全員も飲んでいる、と言うのは間違いではありません。なぜなら、全員が飲んでいるからです。全員が飲んでいるからこそ、その人も必ず飲んでいるはずです。なぜなら、その人物が飲めば皆も飲むからです。つまり、全員にその人も含まれるのです。[1] [2]
  2. そうでなければ、少なくとも一人は飲酒していない。飲酒しない人にとって、「もしその人が飲酒しているなら、パブにいる全員が飲酒している」という命題は形式的に真である。その前提（「その人が飲酒している」）は偽である。したがって、形式論理における物質的含意の性質により、この命題は真となる。つまり、「もしPならばQ」はPが偽であるならば常に真である。[1] [2] （このような命題は空虚に真であると言われる。）

上記をもう少し正式に表現すると、もし全員が飲酒するなら、誰もが定理の妥当性の証人となり得る、ということになります。そして、もし誰かが飲酒しないなら、その飲酒しない人が定理の妥当性の証人となり得るのです。[3]

逆説性の説明

このパラドックスは、最終的には、文が偽であるときは必ず真であるという形式論理の原則に基づいている。つまり、どんな文も偽の文から導かれる[1]（ex falso quodlibet）である。 あ → B {\displaystyle A\rightarrow B} あ {\displaystyle A}

このパラドックスにおいて重要なのは、古典論理（および直観主義論理）における条件文が実質的条件文であるという点です。これは、が真であるか偽であるかのいずれの場合でも真であるという性質を持ちます。古典論理（ただし直観主義論理は除く）においては、これは必要条件でもあります。すなわち、が真ならば、が真であるか偽であるかです。 あ → B {\displaystyle A\rightarrow B} B {\displaystyle B} あ {\displaystyle A} あ → B {\displaystyle A\rightarrow B} B {\displaystyle B} あ {\displaystyle A}

したがって、ここで適用された「彼らが飲んでいるなら、みんなも飲んでいる」という文は、全員が飲んでいる場合には正しいとされ、全員が飲んでいない場合には、たとえ彼らの飲酒が他の人の飲酒と何ら関係がなかったとしても、正しいとされた。

歴史とバリエーション

スマリヤンは1978年に出版した著書の中で、「飲酒の原則」という命名を大学院生たちに委ねている。[1]彼はまた、Dを他のより劇的な述語に置き換えることで得られる変種についても論じている。

  • 「地球上には女性がいるが、もし彼女が不妊になれば、人類全体が絶滅するだろう」スマリヤンは、この表現は哲学者ジョン・ベーコンとの会話から生まれたと書いている。[1]
  • 原理の「二重」バージョン：「誰かが飲酒すれば、その人も飲酒することになる人が少なくとも一人は存在する。」[1]

この原理は、「スマリヤンの『酒飲みの原理』」あるいは単に「酒飲みの原理」として、H・P・バレンドレヒトの『正しさの探求』（1996年）に、いくつかの機械証明とともに登場している。[2]それ以来、自動推論に関する出版物の例として頻繁に登場し、証明支援システムの表現力と比較するために用いられることもある。[4]

空でないドメイン

空の領域が許容される設定では、飲酒者のパラドックスは次のように定式化される必要がある。[5]

集合Pは

∃ × ∈ P 。   [ D （ × ） → た y ∈ P 。   D （ y ） ] {\displaystyle \exists x\in P.\ [D(x)\rightarrow \forall y\in P.\ D(y)]\,}

空でない場合のみ。

あるいは言葉で言えば:

パブに誰かがいる場合に限り、その人が飲んでいるのであれば、パブにいる全員が飲んでいるということになります。

参照

参考文献

  1. ^ abcdefgh レイモンド・スマリヤン(1978). 『この本の名前は何ですか？ ドラキュラの謎とその他の論理パズル』プレンティス・ホール. 第14章 あらゆることの証明方法 (トピック) 250. 飲酒の原則 pp. 209-211. ISBN 0-13-955088-7。
  2. ^ abcd HP Barendregt (1996)。 「正しさの探求」。 SMC Research 1996 の画像(PDF)。スティヒティング数学センター。54 ～ 55ページ 。ISBN 978-90-6196-462-9. 2015年7月11日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2012年10月27日閲覧。
  3. ^ Peter J. Cameron (1999). Sets, Logic and Categories. Springer. p. 91. ISBN 978-1-85233-056-9。
  4. ^ Freek Wiedijk. 2001. Mizar Light for HOL Light. 第14回国際高階論理定理証明会議 (TPHOLs '01) の議事録、Richard J. Boulton および Paul B. Jackson (編)。Springer-Verlag、ロンドン、英国、378-394。
  5. ^ Martín Escardó; Paulo Oliva. 「検索可能集合、デュバック＝ペノンのコンパクト性、全知原理、そしてドリンカー・パラドックス」（PDF） . Computability in Europe 2010: 2. {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Drinker_paradox&oldid=1285913376」より取得