双対スティーンロッド代数

代数的位相幾何学においては、代数演算（双対化）を通じて、非可換スティーンロッド代数から、双対スティーンロッド代数と呼ばれる可換代数[1]が関連付けられる。この双対代数は、可換性を有するなど、多くの驚くべき利点があり、多くの場合（[2] :61–62 など）、アダムススペクトル列を非常に容易に計算するための技術的ツールを提供した。 π ∗ ( M U ) {\displaystyle \pi _{*}(MU)}

意味

[2] : 59  で述べたように、スティーンロッド代数（ とも表記）は次数付き非可換ホップ代数であり、これは共可換である。つまり、その共乗法は共可換である。これは、双対ホップ代数（ 、あるいは単に と表記）をとると、次数付き可換代数が得られ、これは非可換共乗法を持つことを意味する。この双対性は、スティーンロッドのホップ代数構造の可換図式を双対化することで要約できる。 A p ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}^{*}} A ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} A p , ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p,*}} A ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}}

A p ∗ → ψ ∗ A p ∗ ⊗ A p ∗ → ϕ ∗ A p ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\psi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}\otimes {\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\phi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}}

双対化すると地図が得られる

A p , ∗ ← ψ ∗ A p , ∗ ⊗ A p , ∗ ← ϕ ∗ A p , ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p,*}\xleftarrow {\psi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}\otimes {\mathcal {A}}_{p,*}\xleftarrow {\phi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}}

双対ホップ代数の主な構造写像を与える。双対ホップ代数には、素数か奇数かによって区別される、優れた構造定理が存在することがわかった。 2 {\displaystyle 2}

p=2の場合

この場合、双対スティーンロッド代数は次数となる次数付き可換多項式代数である。すると、余積写像は次のように与えられる。 A ∗ = Z / 2 [ ξ 1 , ξ 2 , … ] {\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /2[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]} deg ⁡ ( ξ n ) = 2 n − 1 {\displaystyle \deg(\xi _{n})=2^{n}-1}

Δ : A ∗ → A ∗ ⊗ A ∗ {\displaystyle \Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes {\mathcal {A}}_{*}}

送信

Δ ξ n = ∑ 0 ≤ i ≤ n ξ n − i 2 i ⊗ ξ i {\displaystyle \Delta \xi _{n}=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{n-i}^{2^{i}}\otimes \xi _{i}}

どこ。 ξ 0 = 1 {\displaystyle \xi _{0}=1}

p > 2の一般​​的なケース

他の素数に対しては、双対スティーンロッド代数は若干複雑で、次数可換多項式代数に加えて次数可換外代数も伴う。 を生成元 と を持つ外代数とすると、双対スティーンロッド代数は次のように表される。 Λ ( x , y ) {\displaystyle \Lambda (x,y)} Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

A ∗ = Z / p [ ξ 1 , ξ 2 , … ] ⊗ Λ ( τ 0 , τ 1 , … ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /p[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]\otimes \Lambda (\tau _{0},\tau _{1},\ldots )}

どこ

deg ⁡ ( ξ n ) = 2 ( p n − 1 ) deg ⁡ ( τ n ) = 2 p n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\deg(\xi _{n})&=2(p^{n}-1)\\\deg(\tau _{n})&=2p^{n}-1\end{aligned}}}

さらに、これは次のように定義される共乗法を持つ。 Δ : A ∗ → A ∗ ⊗ A ∗ {\displaystyle \Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes {\mathcal {A}}_{*}}

Δ ( ξ n ) = ∑ 0 ≤ i ≤ n ξ n − i p i ⊗ ξ i Δ ( τ n ) = τ n ⊗ 1 + ∑ 0 ≤ i ≤ n ξ n − i p i ⊗ τ i {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\xi _{n})&=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}\\\Delta (\tau _{n})&=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}\end{aligned}}}

またどこで。 ξ 0 = 1 {\displaystyle \xi _{0}=1}

ホップ代数の残りの構造はどちらの場合も

ホップ代数の残りの構造は、どちらの場合も全く同じように記述できる。単位写像と余単位写像の両方が存在する。 η {\displaystyle \eta } ε {\displaystyle \varepsilon }

η : Z / p → A ∗ ε : A ∗ → Z / p {\displaystyle {\begin{aligned}\eta &:\mathbb {Z} /p\to {\mathcal {A}}_{*}\\\varepsilon &:{\mathcal {A}}_{*}\to \mathbb {Z} /p\end{aligned}}}

これらはどちらも次数 の同型である。これらは元のスティーンロッド代数から来ている。さらに、以下の方程式によって再帰的に定義される共役写像も存在する。 0 {\displaystyle 0} c : A ∗ → A ∗ {\displaystyle c:{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}}

c ( ξ 0 ) = 1 ∑ 0 ≤ i ≤ n ξ n − i p i c ( ξ i ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}c(\xi _{0})&=1\\\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{n-i}^{p^{i}}c(\xi _{i})&=0\end{aligned}}}

さらに、を度と同型な余単位写像の核として表記します。 A ∗ ¯ {\displaystyle {\overline {{\mathcal {A}}_{*}}}} ε {\displaystyle \varepsilon } A ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}} > 1 {\displaystyle >1}

参照

参考文献

  1. ^ ミルナー、ジョン（2012年3月29日）「スティーンロッド代数とその双対」、トポロジカル・ライブラリ、結び目とあらゆるもののシリーズ、第50巻、ワールド・サイエンティフィック、pp.  357– 382、doi :10.1142/9789814401319_0006、ISBN 978-981-4401-30-2、2021年1月5日取得
  2. ^ ab レイヴネル、ダグラス・C. (1986). 複素コボルディズムと球面の安定ホモトピー群. オーランド: アカデミック・プレス. ISBN 978-0-08-087440-1OCLC  316566772 。
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