デュアルトポロジー

関数解析および関連する数学の分野において、双対位相とは、ベクトル空間の連続双対によって、双対ペアに関連付けられた双線型形式(ペアリングとも呼ばれる)によって誘導されるベクトル空間上の局所凸位相です。

与えられた双対対に対する様々な双対位相は、マッキー・アレンズ定理によって特徴付けられる。連続双対を持つすべての局所凸位相は自明に双対対であり、局所凸位相は双対位相である。

いくつかの位相特性は、選択された双対トポロジーではなく双対ペアにのみ依存するため、複雑な双対トポロジーをより単純なトポロジーに置き換えることがしばしば可能です。

定義

双対対 が与えられたとき、上の双対位相は局所凸位相であり、 ${\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle (X,\tau )'\simeq Y.}$

ここで はの連続双対を表し、は線型同型が存在することを意味する。${\displaystyle (X,\tau )'}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )'\simeq Y}$

${\displaystyle \Psi :Y\to (X,\tau )',\quad y\mapsto (x\mapsto \langle x,y\rangle ).}$

(上の局所凸位相が双対位相でない場合、 は射影的でないか、または何らかの に対して線型関数が連続でないため定義が不十分です。) ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$

性質

• 定理（Mackeyによる）：双対対が与えられたとき、任意の双対位相における有界集合は同一である
• どのようなデュアルトポロジでも、同じセットがバレル化されます。

デュアルトポロジーの特性評価

ジョージ・マッキーとリチャード・アレンズにちなんで名付けられたマッキー・アレンズ定理は、局所凸空間上のすべての可能な双対位相を特徴付けます。

定理は、最も粗い双対位相がのすべての有限部分集合上で一様収束する位相である弱位相であり、最も細かい位相が のすべての絶対凸弱コンパクト部分集合上で一様収束する位相であるマッキー位相であることを示しています。 ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$

マッキー・アレンズ定理

局所凸空間とその連続双対を持つ双対 が与えられたとき、が上の双対位相であることと、それがの絶対凸かつ弱コンパクト部分集合の族上に一様収束する位相であることは同値である${\displaystyle (X,X')}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$

参照

• 極位相

参考文献

• Bogachev, Vladimir I.; Smolyanov, Oleg G. (2017).位相ベクトル空間とその応用. Springer Monographs in Mathematics. スイス、シャム：Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-57117-1 OCLC  987790956