ダドリーの定理

確率論において、ダドリーの定理は、ガウス過程の予想される 上限と規則性の特性をそのエントロピーと共分散構造 に関連付ける結果です。

歴史

この結果は、リチャード・M・ダドリーの論文で指摘されているように、VNスダコフによって初めて述べられ、証明されました。^[1]ダドリーは以前、フォルカー・シュトラッセンがエントロピーと規則性を結び付けたと評価していました。

声明

( X _t ) _{t ∈ T}を中心ガウス過程（平均零）とし、d _{X を}T上の擬 距離関数とし、

${\displaystyle d_{X}(s,t)={\sqrt {\mathbf {E} {\big [}|X_{s}-X_{t}|^{2}]}}.\,}$

ε  > 0の場合、エントロピー数N ( T ,  d _X ;  ε ) 、すなわちTを覆うのに必要な半径εの（開いた） d _X球の最小数をN ( T , d X ; ε ) で表す。すると、

${\displaystyle \mathbf {E} \left[\sup _{t\in T}X_{t}\right]\leq 24\int _{0}^{+\infty}{\sqrt {\log N(T,d_{X};\varepsilon )}}\,\mathrm {d} \varepsilon .}$

さらに、右辺のエントロピー積分が収束する場合、Xには、ほぼすべてのサンプルパスが有界で ( T、  dX )上で (一様に) 連続するバージョンが存在し_ます。

参考文献

1. Dudley, Richard (2016). Houdré, Christian; Mason, David; Reynaud-Bouret, Patricia ; Jan Rosiński, Jan (編). VN Sudakovによるガウス過程の期待上限値に関する研究. High Dimensional Probability. Vol. VII. pp.  37– 43. doi :10.1007/978-3-319-40519-3_2.

• ダドリー、リチャード・M. (1967). 「ヒルベルト空間のコンパクト部分集合の大きさとガウス過程の連続性」.関数解析ジャーナル. 1 (3): 290– 330. doi :10.1016/0022-1236(67)90017-1. MR  0220340.
• ルドゥ, ミシェル;タラグラン, ミシェル(1991).バナッハ空間における確率. ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. MR  1102015。（第11章参照）