ダンフォード・シュワルツの定理

数学、特に関数解析において、ネルソン・ダンフォードとジェイコブ・T・シュワルツにちなんで名付けられたダンフォード・シュワルツの定理は、 L1上の^特定のノルム有界作用素のべき乗の平均が適切な意味で収束することを述べています。^[1]

声明

を からまでの線形演算子とし、ととする。すると ${\textstyle T}$ ${\textstyle L^{1}}$ ${\textstyle L^{1}}$ ${\textstyle \|T\|_{1}\leq 1}$ ${\textstyle \|T\|_{\infty }\leq 1}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}T^{k}f}$

ほぼどこにでも存在します。 ${\textstyle f\in L^{1}}$

有界条件が に緩和されると、この記述はもはや真ではない。^[2]${\displaystyle \|T\|_{\infty }\leq 1+\varepsilon }$

注記

1. Dunford, Nelson; Schwartz, JT (1956)、「演算子平均のほぼすべての場所での収束」、Journal of Rational Mechanics and Analysis、5 : 129–178、MR  0077090。
2. フリードマン、N. (1966)、「ダンフォード・シュワルツの定理について」、Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete、5 (3): 226–231、doi : 10.1007/BF00533059、MR  0220900、S2CID  122257150。