ダーフィー広場

数論において、ダーフィー平方は整数分割の属性である。n の分割が大きさsのダーフィー平方を持つとは、その分割が s以上の値を持つ部分を少なくともs個含む最大の数sのことである。^{[1]同等だがより視覚的な定義は、ダーフィー平方とは分割の}フェラーズ図に含まれる最大の平方である、というものである。^[2] ダーフィー平方の辺の長さは、分割の階数として知られている。 ^[3]

ダーフィー記号は、ダーフィー正方形の右側または下にある点によって表される 2 つのパーティションで構成されます。

例

パーティション4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1:

には、3 以上の部分が 3 つ含まれますが、4 以上の部分が 4 つ含まれていないため、辺が 3 の Durfee 正方形 (赤色) があります。Durfee 記号は、2 つのパーティション 1 と 2+1+1 で構成されます。

歴史

ダーフィー方陣は、イギリスの数学者ジェームズ・ジョセフ・シルベスターの弟子であったウィリアム・ピット・ダーフィーにちなんで名付けられました。 1883年にアーサー・ケイリーに宛てた手紙の中で、シルベスターは次のように書いています。 ^[4]

「ダーフィーの定規は偉大な発明であるが、その重要性を作者は認識していない。」

母関数

ダーフィー平方法では、整数分割に対して 次の生成関数が得られます。

${\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {x^{k^{2}}}{\prod _{i=1}^{k}(1-x^{i})^{2}}}}$

ここではダーフィー正方形の大きさであり、大きさkのダーフィー正方形の右と下の 2 つのセクションを表します(最大でk の大きさの部分への 2 つの分割、つまり最大でk の部分を持つ分割です)。^[5]${\displaystyle x^{k^{2}}}$ ${\displaystyle (1-x^{i})^{2}}$

プロパティ

視覚的な定義から、ある分割のダーフィー平方とその共役分割は同じ大きさであることは明らかです。整数nの分割には、 までの辺を持つダーフィー平方が含まれます。 ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$

参照

• h指数
• ヤコビ三重積

参考文献

1. Andrews, George E.; Eriksson, Kimmo (2004). Integer Partitions . Cambridge University Press. p. 76. ISBN 0-521-60090-1。
2. Canfield, E. Rodney; Corteel, Sylvie ; Savage, Carla D. (1998). 「Durfee多項式」. Electronic Journal of Combinatorics . 5.研究論文32. doi : 10.37236/1370 . MR  1631751.
3. スタンレー、リチャード・P.（1999）列挙的組合せ論、第2巻、p.289。ケンブリッジ大学出版局。ISBN  0-521-56069-1。
4. パーシャル、カレン・ハンガー(1998). 『ジェームズ・ジョセフ・シルベスター：手紙に見る生涯と作品』オックスフォード大学出版局. p. 224. ISBN 0-19-850391-1。
5. ハーディ、ゴッドフリー・ハロルド、ライト、EM（1938年）、数論入門（初版）、オックスフォード：クラレンドン・プレス、JFM  64.0093.03、Zbl  0020.29201