二者関係

Second order tensor in vector algebra

数学、特に多重線型代数において、二項テンソルまたは二項テンソルは、ベクトル代数に適合する表記法で記述される2次テンソルです。

2つのユークリッドベクトルを乗算する方法は数多くあります。内積は2つのベクトルを受け取り、スカラーを返します。一方、外積^[a]は擬似ベクトルを返します。これらはどちらも様々な重要な幾何学的解釈が可能で、数学、物理学、工学の分野で広く用いられています。2項積は2つのベクトルを受け取り、この文脈では2項テンソルと呼ばれる2階テンソルを返します。2項テンソルは物理的または幾何学的な情報を含むために使用できますが、一般的にはそれを幾何学的に直接解釈する方法はありません。

二項積はベクトルの加算に対して分配法則を持ち、スカラー乗算と結合法則を持ちます。したがって、二項積は両方の被演算子において線形です。一般に、2つの二項を加算して別の二項積を得ることができ、さらに数値を乗じてその二項積をスケールすることができます。しかし、この積は可換ではありません。つまり、ベクトルの順序を変えると、異なる二項積が得られます。

二項代数の形式は、ベクトル代数をベクトルの二項積を含むように拡張したものです。二項積は他のベクトルとの内積や外積とも結合的であり、内積、外積、二項積を組み合わせて他のスカラー、ベクトル、または二項積を求めることができます。

また、ベクトルの数値成分を行ベクトルと列ベクトルに、また正方行列の2階テンソルの数値成分を行列式に並べることができるため、行列代数の側面も持ちます。また、点積、交差積、二項積はすべて行列形式で表すことができます。二項積の表現は、行列の表現とよく似ている場合があります。

二項ベクトルとベクトルのドット積は別のベクトルを与え、この結果のドット積をとると、二項ベクトルから導出されるスカラー値が得られます。ある二項ベクトルが他のベクトルに与える影響は、間接的な物理的または幾何学的な解釈をもたらすことがあります。

二項記法は1884年にジョサイア・ウィラード・ギブスによって初めて確立されました。この記法と用語は今日では比較的廃れています。物理学においては、連続体力学や電磁気学などで用いられています。

本稿では、大文字の太字変数は2項（2項を含む）を表し、小文字の太字変数はベクトルを表します。別の表記法では、それぞれ二重の上線または下線、一重の上線または下線を使用します。

定義と用語

二項積、外積、テンソル積

ダイアドは、次数2、ランク1のテンソルであり、2 つのベクトル(一般には複素ベクトル)のダイアッド積です。一方、ダイアディックは、次数2の一般的なテンソルです(フルランクの場合もそうでない場合もあります)。

この製品には、同義の用語と表記法がいくつかあります。

2 つのベクトルの二項積であり、（並置され、記号、乗算記号、十字、点などは使用されない）で表されます。 $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ $\mathbf {a} \mathbf {b}$
2つの列ベクトルの外積はまたはと表記され、定義される。ここではの転置を意味する。 $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}$ ${\mathsf {T}}$
2つのベクトルのテンソル積はと表され、 $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$

二項関係のコンテキストでは、これらはすべて同じ定義と意味を持ち、同義語として使用されますが、テンソル積は、用語のより一般的で抽象的な使用例です。

3次元ユークリッド空間

同等の使用法を説明するために、3次元ユークリッド空間を考えてみましょう。

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}

2つのベクトルで、 i、j、k （ e ₁、e ₂、e ₃とも表記）は、このベクトル空間における標準基底ベクトルです（直交座標も参照）。このとき、 aとbの2項積は、次のように表すことができます。

{\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}

または行ベクトルと列ベクトルからの拡張により、3×3行列（ aとbの外積またはテンソル積の結果でもある）

\mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.

ダイアドは、ダイアディック (和の単項式、または同等の行列のエントリ)のコンポーネントです。ダイアディックは、一対の基底ベクトルのスカラーに数を乗じたダイアディック積です。

標準的な基底（および単位）ベクトルi、j、kは次のように表現されます。

{\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

（転置可能）標準的な基底（および単位）ダイアドは次のように表現されます。

{\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

標準基底における簡単な数値例:

{\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

北次元ユークリッド空間

ユークリッド空間がN次元であり、

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}

ここで、e _iとe _jはN次元の標準基底ベクトルです（ e _iのインデックスiは、 a _iのようにベクトルの要素ではなく、特定のベクトルを選択します）。この場合、代数形式では、それらの二項積は次のようになります。

\mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.

これは二項関係の非イオン形式として知られています。これらの外積/テンソル積を行列形式で表すと、次のようになります。

\mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.

二項多項式 A （ダイアディックとも呼ばれる）は、複数のベクトルa _iとb _jから形成されます。

\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots

N個未満の二項和に縮約できない二項関係は完全であると言われる。この場合、形成ベクトルは共面ではない（^{[疑わしい-議論あり]} 、 Chen (1983) を参照）。

分類

次の表は二者関係を分類したものです。

	行列式	アジュゲート	行列とその階数
ゼロ	= 0	= 0	= 0; ランク0: すべてゼロ
リニア	= 0	= 0	≠ 0; ランク1: 少なくとも1つの非ゼロ要素とすべての2×2部分行列式がゼロ（単一二項行列）
平面	= 0	≠ 0 (単一二項)	≠ 0; ランク2: 少なくとも1つの非ゼロの2×2部分行列式
完了	≠ 0	≠ 0	≠ 0; ランク3: 非ゼロ行列式

アイデンティティ

以下の恒等式はテンソル積の定義から直接得られる。^[1]

スカラー乗算と互換性あり:
$(\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )$
任意のスカラーに対して。 $\alpha$
ベクトル上の分配的加算：
${\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}$

二項代数

二項とベクトルの積

ベクトルと二項演算には 4 つの演算が定義されており、これらはベクトル上で定義された積から構成されます。

	左	右
ドット積	$\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)=\left(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b}$	$\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$
外積	$\mathbf {c} \times \left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {c} \times \mathbf {a} \right)\mathbf {b}$	$\left(\mathbf {ab} \right)\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)$

二項と二項の積

二項ベクトルから別の二項ベクトルへの演算は5通りあります。a 、b、c、dを実数ベクトルとすると、以下のようになります。

		ドット	クロス
ドット	ドット積 ${\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)&=\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {a} \mathbf {d} \end{aligned}}$	二重ドット積 ${\begin{aligned}\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)&=\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {ab} \right)\cdot \mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)\end{aligned}}$ そして $\mathbf {ab} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {cd} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$	点積 $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\times }\left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)$
クロス		クロスドット積 $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)$	二重クロス積 $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)$

賃貸

\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}

2つの一般的な二項関係の場合、次のようになります。

		ドット	クロス
ドット	ドット積 $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\mathbf {a} _{i}\mathbf {d} _{j}$	二重ドット積 ${\begin{aligned}\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\end{aligned}}$ そして ${\begin{aligned}\mathbf {A} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\end{aligned}}$	点積 $\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)$
クロス		クロスドット積 $\mathbf {A} {}_{\times }^{\,\centerdot }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)$	二重クロス積 $\mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)$

二重ドット積

二重点積の最初の定義はフロベニウスの内積である。

{\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} \end{aligned}}

さらに、

{\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}

それはわかります、

\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\mathbf {A} {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}

したがって、二重ドット積の2番目の定義は、最初の定義に2番目の二項項の転置を加えたものになります。これらの理由から、二重ドット積の最初の定義が推奨されますが、一部の著者は依然として2番目の定義を使用しています。

ダブルクロス製品

2 つのベクトルaとbから形成される任意の 2 元について、その二重交差積はゼロであることがわかります。

\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0

しかし、定義により、2項ベクトルの自己積は一般に非ゼロとなる。例えば、6つの異なるベクトルから成る 2項ベクトルAは、

\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}

の自己二重交差積はゼロではない

\mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]

テンソル収縮

スパー係数または展開係数は、各二項積をベクトルのドット積に置き換えることによって、座標基底における二項の形式的な展開から生じます。

{\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}

インデックス表記では、これは2項のインデックスの縮約です。

|\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}

3次元の場合のみ、回転係数はすべての2項積を外積に置き換えることによって生じる。

{\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}

指数表記では、これはAとレヴィ・チヴィタテンソルの縮約である。

\langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.

ユニットダイアディック

Iで表される単位二項関係が存在し、任意のベクトルaに対して、

\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a}

3つのベクトルa、b、cの基底と逆基底が与えられたとき、単位二項関係は次のように表される。 ${\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}$

\mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}

標準基底（i、j、kの定義については、上記のセクション§3次元ユークリッド空間を参照）では、

\mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk}

明示的には、単位二項の右側のドット積は

{\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}

そして左へ

{\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}

対応する行列は

\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}

これは、テンソル積という言語を用いることで、より慎重な基盤（「並置記法」の論理的内容が何を意味するのかを説明する）の上に成り立つ。Vが有限次元ベクトル空間である場合、 V上の二項テンソルは、Vとその双対空間とのテンソル積における基本テンソルである。

Vとその双対空間のテンソル積は、VからVへの線型写像の空間と同型である。すなわち、二項テンソルvfは、単にV内の任意のw をf ( w ) vに写す線型写像である。Vがユークリッドn空間である場合、内積を用いて双対空間をV自身と同一視することができ、二項テンソルはユークリッド空間内の2つのベクトルの基本テンソル積となる。

この意味で、単位二項関数ijは、3次元空間から自身への関数であり、a ₁i + a ₂j + a ₃kをa ₂iに送り、jj はこの和をa ₂jに送ります。ここで、 ii + jj + kkがどのような（正確な）意味で恒等関数であるかが明らかになります。つまり、その効果は、標準基底の各単位ベクトルを、その基底のベクトルの係数でスケーリングして和をとることであるため、 a ₁i + a ₂j + a ₃kを自身に送ります。

単位二項関係の性質

{\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}

ここで、「tr」はトレースを表します。

例

ベクトル投影と拒絶

非ゼロベクトルa は常に 2 つの垂直な成分に分割できます。1 つは単位ベクトル nの方向に平行 (‖) 、もう 1 つはそれに垂直 (⊥) です。

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }

平行成分はベクトル射影によって求められ、これはaと2項nnのドット積に等しい。

\mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}

そして垂直成分はベクトル除去から求められ、これはaと2項I − nnのドット積に等しい。

\mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}

回転二項

2次元回転

二元論

\mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

は2次元における90°反時計回りの回転演算子である。ベクトルr = x i + y jを左点に結ぶと、次のベクトルが得られる。

(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,

要約すれば

\mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }

または行列表記で

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.

任意の角度θに対して、平面内で反時計回りに回転する2次元回転ダイアディックは

\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}

ここで、IとJは上記の通りであり、任意の2次元ベクトルa = a _x i + a _y jの回転は

\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a}

3D回転

ベクトルaの一般的な3次元回転は、単位ベクトル ωの方向の軸を中心に、反時計回りに角度θだけ回転し、ロドリゲスの回転公式の2項形式で実行できます。

\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,

ここで回転二項は

\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,

ωの直交座標要素は二項座標要素の直交座標要素も形成する。

{\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,

Ωのaへの影響は外積である

{\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a}

これは列ベクトルを持つ外積行列の二項形式です。

ローレンツ変換

特殊相対論では、単位ベクトルnの方向の速度vのローレンツ効果は次のように表される。

t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)

\mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t

どこ

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

はローレンツ因子です。

参照

注記

説明ノート

^ 外積は、向き付けられた3次元および7次元内積空間にのみ存在し、3次元内積空間においてのみ良好な性質を持つ。関連する外積はすべてのベクトル空間に存在する。

引用

^ スペンサー（1992年）、19ページ。
^ 例えば、IV Lindell & AP Kiselev (2001). 「弾性力学におけるポリアディック法」(PDF) .電磁気学研究の進歩. 31 : 113–154 . doi : 10.2528/PIER00051701 .

参考文献

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イスモ・V・リンデル（1996年）『電磁場解析法』ワイリー・ブラックウェル社、ISBN 978-0-7803-6039-6。。
ホリス・C・チェン（1983年）『電磁波理論 ― 座標フリーアプローチ』マグロウヒル社、ISBN 978-0-07-010688-8。。
K. Cahill (2013). 『物理数学』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1107005211。

外部リンク

ベクトル解析、数学と物理学の学生のための教科書、J.ウィラード・ギブス博士（法学博士）、エドウィンド・ビッドウェル・ウィルソン博士（博士）の講義に基づく
上級場の理論、IVリンデル
ベクトル解析と二項解析
テンソル解析入門
Nasa.gov、物理学と工学の学生のためのテンソル解析の基礎と相対性理論入門、JC Kolecki
Nasa.gov、物理学と工学の学生のためのテンソル入門、JC Kolecki

[1] 外積は、向き付けられた3次元および7次元内積空間にのみ存在し、3次元内積空間においてのみ良好な性質を持つ。関連する外積はすべてのベクトル空間に存在する。

[2] スペンサー（1992年）、19ページ。

[3] 例えば、IV Lindell & AP Kiselev (2001). 「弾性力学におけるポリアディック法」(PDF) .電磁気学研究の進歩. 31 : 113–154 . doi : 10.2528/PIER00051701 .