三体問題
不等辺三角形の頂点に位置し、初速度がゼロである3つの同一物体のおおよその軌道。運動量保存の法則に従い、質量の中心は元の位置に留まります

物理学、特に古典力学において、三体問題とは、空間内で互いの周りを回る3つの質点の初期位置と速度（運動量）を求め、その後の軌道をニュートンの運動の法則とニュートンの万有引力の法則を用いて計算することである。[ 1 ]

二体問題とは異なり、三体問題には一般的な閉形式解が存在しない。つまり、各物体の位置を表す明示的な式は存在しない。[ 1 ]三体が互いに周回する場合、結果として生じる力学系は通常カオス的となる。ほとんどの初期条件において、三体の運動を予測する唯一の方法は、数値的手法を用いて推定することである。

三体問題はn体問題の特殊なケースです。歴史的に、最初に研究が進められた三体問題は、地球、月、太陽に関する問題でした。[ 2 ] [ 3 ]現代的な意味での三体問題とは、古典力学または量子力学における3つの粒子の運動をモデル化するあらゆる問題を指します。

数学的記述

三体問題の数学的記述は、 重力相互作用する3つの質量を持つ物体のベクトル位置に関するニュートンの運動方程式で表すことができます ri＝（×i、yi、zi） {\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})\ }mi{\displaystyle m_{i}}

r¨1=−Gm2(r1−r2) |r1−r2|3−Gm3(r1−r3) |r1−r3|3 ,r¨2=−Gm3(r2−r3) |r2−r3|3−Gm1(r2−r1) |r2−r1|3 ,r¨3=−Gm1(r3−r1) |r3−r1|3−Gm2(r3−r2) |r3−r2|3 .{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}&=-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right|^{3}}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}&=-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}\right|^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right|^{3}}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{3}&=-Gm_{1}{\frac {\left(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}~.\end{aligned}}}ここで、 は重力定数です。  G {\displaystyle \ G\ }

天文学者ユハン・フランクは「これら3つの2階ベクトル微分方程式は、18個の1階スカラー微分方程式と同等である」と述べている。[ 4 ]ジューン・バロー・グリーンは別の表現として、質量、距離、慣性座標系における座標を持つ3つの粒子を表す場合、問題は9つの2階微分方程式で記述される、と指摘している。[ 5 ] : 8 Pi{\displaystyle P_{i}}mi{\displaystyle m_{i}} PiPj=rij ,{\displaystyle \ P_{i}P_{j}=r_{ij}\ ,} qij {\displaystyle \ q_{ij}\ } (i,j=1,2,3) {\displaystyle \ (i,j=1,2,3)\ }

この問題はハミルトン形式でも同様に記述することができ、その場合、位置と運動量の各成分ごとに1つずつ、合計18個の1階微分方程式で記述される。[ 6 ] ri {\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}\ } pi {\displaystyle \ \mathbf {p} _{i}\ }

d rid t=∂ H∂ pi ,d pid t=−∂ H∂ ri ,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}={\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {p} _{i}}}\ ,\qquad {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}=-{\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {r} _{i}}}\ ,}

ハミルトニアンはどこですか？ H{\displaystyle {\mathcal {H}}}

H = −Gm1m2|r1−r2| − Gm2m3|r3−r2| − Gm3m1|r3−r1| + |p1|22m1 + |p2|22m2 + |p3|22m3 .{\displaystyle {\mathcal {H}}\ =\ -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{2}m_{3}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{3}m_{1}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right|}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{3}\right|^{2}}{2m_{3}}}~.}

この場合、は単に重力エネルギーと運動エネルギーを合わせたシステムの合計エネルギーになります。 H{\displaystyle {\mathcal {H}}}

制限三体問題

円形制限三体問題

制限された三体問題の定式化 では、バロー・グリーン[ 5 ]の記述において、11–14

二つの物体は、相互の重力の影響を受けて、それぞれの重心の周りを円軌道で公転し、二体系を形成します。その運動は既知です。第三の物体（一般に小惑星と呼ばれる）は、他の二つの物体に対して質量がないと仮定され、二つの回転物体によって定義される平面内を運動し、それらの重力の影響を受けながらも、それ自体は影響を与えません。[ 5 ] : 11

バロー・グリーンによれば、「問題は第三の物体の運動を確かめることである。」[ 5 ]：11

限定三体問題は、完全な三体問題よりも理論的に解析が容易です。また、地球・月・太陽系をはじめとする多くの現実世界の諸問題を正確に記述するため、実用面でも興味深い問題です。こうした理由から、限定三体問題は三体問題の歴史的発展において重要な役割を果たしてきました。[ 7 ]

制限3体問題は4次元の位相空間を持ちますが、保存量はヤコビ積分だけです。[ 8 ]ハインリッヒ・ブルンスは代数的保存量はもう存在しないことを示し、1889年にアンリ・ポアンカレは解析的保存量はもう存在しないことを示しました。 [ 8 ]したがって、位相空間の次元は運動定数の数よりも大きいため、システムは正確には解けず 、実際にはカオス状態になります。[ 8 ]

ヤコビ積分の値に応じて、最初に大きな質量を周回していた物体は、二次質量によって捕獲されるか、ラグランジュ点L2またはL3を経由して排出される可能性がある。[ 9 ]

この問題の変形では、2つの大きな物体が両方とも放射圧を及ぼし、5つの古典的なラグランジュ点に加えて4つの追加の平衡点が追加されます。[ 10 ]

解答

一般解

重力的に相互作用する3つの物体の系はカオス的ですが、弾性的に相互作用する3つの物体の系はカオス的ではありません

三体問題には一般的な閉形式の解は存在しない。 [ 1 ]言い換えれば、有限個の標準的な数学的演算で表現できる一般解は存在しない。さらに、三体運動は特殊な場合を除いて、一般的には非反復的である。[ 11 ]

しかし、1912年にフィンランドの数学者カール・フリティオフ・スンドマンは、三体問題に対する解析解がピュイズー級数、具体的にはt 1/3のべき乗によるべき級数として存在することを証明した。[ 12 ]この級数は、角運動量ゼロに対応する初期条件を除き、すべての実数tに対して収束する。実際には、角運動量ゼロの初期条件はまれであり、ルベーグ測度はゼロであるため、後者の制約は重要ではない。

この結果を証明する上で重要な問題は、この級数の収束半径が最も近い特異点までの距離によって決まるという事実です。したがって、三体問題における可能な特異点を研究する必要があります。以下で簡単に説明するように、三体問題における特異点は、二体衝突（ある瞬間に2つの粒子が衝突する）と三体衝突（ある瞬間に3つの粒子が衝突する）の2つだけです。

衝突は、測度ゼロの初期条件に対応することが示されているため、いかなる数の衝突も起こりにくい。しかし、対応する解における衝突を回避するために初期状態に課すべき基準は知られていない。そこで、サンドマンの戦略は以下のステップから構成される。

  1. 適切な変数の変更を使用して、正規化と呼ばれるプロセスでバイナリ衝突を超えてソリューションの分析を継続します。
  2. 三体衝突は角運動量Lがゼロの場合にのみ発生することを証明した。初期データをL ≠ 0に制限することで、三体問題の変換された方程式からすべての実特異点を除去した。
  3. L ≠ 0の場合、三体衝突は発生しないだけでなく、系は三体衝突から厳密に制限されていることを示す。これは、微分方程式におけるコーシーの存在定理により、実軸を中心とする複素平面上のストリップ（ Lの値に依存する）には複素特異点が存在しないことを意味する（コーシー・コバレフスカヤ定理と関連）。
  4. このストリップを単位円板に写像する共形変換を求めよ。例えば、s = t 1/3（正規化後の新しい変数）かつ| ln s | ≤ βとすれば、この写像は次のように与えられる。σ=eπs2β−1eπs2β+1.{\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}

これでSundmanの定理の証明は完了です。

対応する級数は極めてゆっくりと収束する。つまり、意味のある精度の値を得るにはあまりにも多くの項が必要となるため、この解法は実用性に乏しい。実際、1930年にデイヴィッド・ベロリスキーは、サンドマン級数を天文観測に用いる場合、計算には少なくとも10倍の計算時間が必要となると計算した。800万語[ 13 ]​

特殊な場合の解

三体問題における特殊な周期解の20の例

1767 年、レオンハルト オイラーは、各瞬間に 3 つの質量が共線上にある 3 つの周期解の族を発見しました。1772 年、ラグランジュは、各瞬間に 3 つの質量が正三角形を形成する解の族を発見しました。オイラーの共線解とともに、これらの解は三体問題の中心構成を形成します。これらの解は任意の質量比に対して有効であり、質量はケプラーの楕円上を動きます。これら 4 つの族は、明示的な解析式が存在する唯一の既知の解です。円形に制限された三体問題の特殊なケースでは、これらの解は、原色とともに回転するフレームで見ると、ラグランジュ点と呼ばれる点になり、 L 1、 L 2、 L 3、 L 4 、およびL 5とラベル付けされ、 L 4と L 5はラグランジュの解の対称的な例となります。

1892年から1899年にかけてまとめられた研究で、アンリ・ポアンカレは、制限三体問題に対する周期解が無限に存在すること、およびこれらの解を一般三体問題に引き継ぐ手法を確立しました。

1893年、マイセルは現在ピタゴラスの三体問題と呼ばれる問題を提唱した。これは、3:4:5の比を持つ3つの質量が3:4:5の直角三角形の頂点に静止しており、最も重い物体が直角に、最も軽い物体が小さい鋭角に位置するというものである。ブラー[ 14 ]は1913年にこの問題をさらに研究した。1967年、ヴィクター・シェベヘリーとC・フレデリック・ピーターズは数値積分を用いてこの問題において最終的に最も軽い物体から逃れることを確立し、同時に近傍周期解も発見した[ 15 ] 。

1970年代、ミシェル・エノンとロジャー・A・ブルークはそれぞれ、同じ解の族に属する一連の解を発見した。それはブルーク・エノン・ハジデメトリウ族である。この族では、3つの天体はすべて同じ質量を持ち、逆行軌道と順行軌道の両方をとることができる。ブルークの解の中には、2つの天体が同一の軌道をたどるものがある。[ 16 ]

1993年、サンタフェ研究所の物理学者クリス・ムーアは、3つの等しい質量が8の字型に回転するゼロ角運動量解を発見した。[ 17 ] 2000年には、数学者のアラン・シェンシネとリチャード・モンゴメリーがその正式な存在を証明した。[ 18 ] [ 19 ]この解は、質量と軌道パラメータの小さな摂動に対して数値的に安定であることが示されており、物理宇宙でそのような軌道を観測することが可能となっている。しかし、安定領域が狭いため、これは起こりにくいと主張されてきた。例えば、8の字軌道をもたらす連星間散乱事象の確率は、1パーセントの数分の1であると推定されている。[ 20 ]

2013年、ベオグラード物理学研究所の物理学者ミロヴァン・シュヴァコフとヴェリコ・ドミトラシノヴィッチは、等質量ゼロ角運動量の三体問題に対する13の新しい解族を発見した。[ 11 ] [ 16 ]

2015年、物理学者アナ・フドマルは、等質量ゼロ角運動量の三体問題に対する14の新しい解の族を発見した。[ 21 ]

2017年、研究者の李暁明氏と廖士俊氏は、等質量ゼロ角運動量三体問題の669個の新しい周期軌道を発見した。[ 22 ]これに続き、2018年には、不等質量のゼロ角運動量系に対する1,223個の新しい解がさらに発見された。[ 23 ]

2018年、LiとLiaoは、質量の異なる「自由落下」三体問題に対する234の解を報告した[ 24 ] 。自由落下の定式化は、三体すべてが静止している状態から始まる。そのため、自由落下構成における質量は、閉じた「ループ」を周回するのではなく、開いた「軌道」に沿って前後に移動する。

2023年、イヴァン・フリストフ、ラドスラヴァ・フリストヴァ、ドミトラシノヴィッチ、谷川清隆は、等質量の場合に限定した「周期的自由落下軌道」の三体問題の探索を発表し、12,409の異なる解を発見した。[ 25 ]

数値的アプローチ

コンピュータを用いれば、数値積分を用いて任意の高精度で問題を解くことができます。電磁相互作用と重力相互作用の両方を含み、特殊相対論などの現代物理学の理論を組み込んだ三体問題（さらにはn体問題）を数値的に解くコンピュータプログラムを作成する試みがなされてきました。[ 26 ]さらに、ランダムウォークの理論を用いることで、異なる結果のおおよその確率を計算することができます。[ 27 ] [ 28 ]

歴史

伝統的な意味での三体重力問題は、アイザック・ニュートンが『自然哲学の原理』を出版した1687年に実質的に遡る。二体問題を解決したニュートンは、地球、月、太陽のようなシステムで長期安定性が可能かどうかを発見しようとした。[ 29 ]ルネッサンス期の主要な天文学者であるニコラウス・コペルニクス、ティコ・ブラーエ、ヨハネス・ケプラーの導きにより、ニュートンは後の世代に三体重力問題の始まりを紹介した。[ 30 ]ニュートンは、『プリンキピア』第1巻の命題66とその22の系で、相互に摂動を与える重力吸引を受ける3つの質量の大きい物体の運動の問題の定義と研究の第一歩を踏み出した。ニュートンは、第3巻の命題25から35で、命題66の結果を月の理論、つまり地球と太陽の重力の影響下にある月の運動に適用する最初のステップを踏み出しました。 [ 31 ]その後、この問題は他の惑星と地球および太陽の相互作用にも適用されました。[ 30 ]

この物理的問題は、アメリゴ・ヴェスプッチが最初に取り組み、続いてガリレオ・ガリレイやシモン・ステヴィンが取り組んだが、彼らは自分が何に貢献したかを理解していなかった。ガリレオはすべての物体の落下速度が均一かつ同じように変化することを決定したが、それを惑星の運動に適用しなかった。[ 30 ]一方、1499年にヴェスプッチは月の位置に関する知識を使ってブラジルでの自分の位置を決定した。[ 32 ]これは1720年代に技術的に重要になった。正確な解決法は航海、特に海上での経度の決定に応用でき、実際にはジョン・ハリソンのマリンクロノメーターの発明によって解決されたからである。しかし、月の理論の精度は、太陽と惑星が地球の周りの月の運動に摂動を与える影響のために低かった。

ジャン・ル・ロン・ダランベールとアレクシ・クレローは長年にわたりライバル関係にあり、両者ともこの問題をある程度の一般性をもって解析しようと試み、1747年に王立科学アカデミーに最初の解析結果を提出した。[ 33 ] 1740年代のパリにおける彼らの研究に関連して、「三体問題」（フランス語：Problème des trois Corps ）という名称が一般的に使われるようになった。ジャン・ル・ロン・ダランベールが1761年に出版した論文によると、この名称が初めて使われたのは1747年である。[ 34 ]

19世紀末から20世紀初頭にかけて、短距離引力二体力を用いて三体問題を解く方法が科学者によって開発され、PFベダック、H.-W.ハマー、U.ファン・コルクに短距離三体問題を再正規化するアイデアがもたらされ、21世紀初頭に科学者に再正規化群のリミットサイクルのまれな例が提供されました。 [ 35 ]ジョージ・ウィリアム・ヒルは19世紀後半に金星と水星の運動を応用してこの制限された問題に取り組みました。[ 36 ]

20世紀初頭、 カール・スンドマンは、あらゆる時間の値に対して有効な機能的理論的証明を提供することで、この問題に数学的かつ体系的にアプローチしました。これは、科学者が三体問題を理論的に解決した初めての事例でした。しかし、このシステムには十分な定性的な解がなく、科学者が実際に適用するには速度が遅すぎたため、この解決策は依然としていくつかの問題を未解決のまま残していました。[ 37 ] 1970年代には、 V.エフィモフによって二体力から三体力への示唆が発見され、エフィモフ効果と名付けられました。[ 38 ]

2017年、 廖士俊と李暁明は、国家級スーパーコンピュータを用いて、クリーン数値シミュレーション（CNS）と呼ばれるカオス系の数値シミュレーションの新しい戦略を適用し、等質量の三体系の周期解の695族を得ることに成功した。[ 39 ]

2019年に、Breenらは数値積分器を用いて訓練された三体問題のための高速ニューラルネットワークソルバーを発表しました。 [ 40 ]

2023年9月現在、この問題に対するいくつかの解決策が見つかったとの報道がある。[ 41 ] [ 42 ]

3つの物体に関わるその他の問題

「三体問題」という用語は、3 つの物体の相互作用を伴うあらゆる物理的問題を指すために、より一般的な意味で使用されることがあります。

古典力学における重力三体問題の量子力学的類似例としてヘリウム原子が挙げられます。ヘリウム原子核と2つの電子は、クーロン相互作用の逆二乗 に従って相互作用します。重力三体問題と同様に、ヘリウム原子も厳密に解くことはできません。[ 43 ]

しかしながら、古典力学と量子力学の両方において、逆二乗力以外にも、正確な解析的三体解を導く非自明な相互作用法則が存在する。そのようなモデルの一つは、調和引力と逆三乗斥力の組み合わせからなる。[ 44 ]このモデルは、特異点を含む非線形微分方程式の集合と関連しているため、非自明であると考えられる（例えば、調和相互作用のみでは容易に解ける線形微分方程式系が得られるのに対し）。この二つの点で、このモデルはクーロン相互作用を持つ（解けない）モデルに類似しており、その結果、ヘリウム原子のような物理系を直感的に理解するためのツールとして提案されてきた。[ 44 ] [ 45 ]

点渦モデルでは、 2次元理想流体中の渦の運動は、一次微分のみを含む運動方程式で記述される。つまり、ニュートン力学とは対照的に、渦の相対位置によって決定されるのは速度であり、加速度ではない。結果として、3つの渦の問題は依然として積分可能であるが[ 46 ]、カオス的挙動を得るには少なくとも4つの渦が必要である[ 47 ] 。3つの渦の速度場における受動トレーサー粒子の運動と、ニュートン力学の制限された3体問題との間には類似点を見出すことができる[ 48 ] 。

重力三体問題も一般相対論を用いて研究されてきた。物理的には、ブラックホールの事象の地平線付近など、非常に強い重力場を持つ系では相対論的な扱いが必要となる。しかし、相対論的問題はニュートン力学よりもかなり難しく、高度な数値解析技術が必要となる。完全な二体問題（つまり任意の質量比）でさえ、一般相対論では厳密な解析解は存在しない。[ 49 ]

n体問題

三体問題はn体問題の特殊なケースであり、重力などの物理的な力の 1 つを受けてn個の物体がどのように動くかを記述する。これらの問題には、 n = 3の場合はKarl F. Sundmanによって、 n > 3の場合はQiudong Wangによって証明されたように、収束するべき級数の形で大域的な解析解が存在する(詳細についてはn体問題を参照)。しかし、Sundman 級数と Wang 級数は収束が非常に遅いため、実用には役に立たない。[ 50 ]そのため、現在は数値積分の形で数値解析によって解を近似するか、場合によっては古典的な三角級数近似を行う必要がある ( n体シミュレーションを参照)。原子系 (原子、イオン、分子など) は量子n体問題として扱うことができる。古典的な物理システムの中で、n体問題は通常、銀河または銀河団を指す。恒星、惑星、そしてそれらの衛星などの惑星系も、 n体系として扱うことができます。一部の応用では、摂動論によって簡便に扱われます。摂動論では、系は二体問題として扱われ、さらに、仮想的な摂動を受けない二体軌道からの逸脱を引き起こす追加の力も考慮されます。

関連項目

参考文献

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  33. ^両者の1747年の回想録は、1745年の王立科学アカデミーの『 Histoires 』 （ Mémoiresを含む）（1749年にパリで遅ればせながら出版）（フランス語）で読むことができる。
    クレロー「万有引力の原理による世界体系について」（329～364ページ）
    ダランベール：「すべての惑星の軌道と運動をそれらの相互作用を考慮して決定する一般的な方法」（365～390ページ）。この特異な日付は、「回想録」セクションの390ページに印刷されている注記によって説明されている。「クレロー氏とダランベール氏の先行する回想録は1747年中にのみ読まれたが、この年の巻（つまり、本来は1745年の活動記録を収める巻だが、1749年に出版された巻）に収録することが適切であると判断された。」
  34. ^ Jean le Rond d'Alembert は、この問題の数学史を概説した 1761 年の論文の中で、オイラーがある微分方程式を積分する方法を「1740 年 (三体問題の問題が登場する 7 年前)」に与えたと述べています。 d'Alembert、『Opuscules Mathématiques』、第 1 巻を参照。 2、パリ、1​​761 年、Quatorzième Mémoire (「Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune ...」)、329 ～ 312 ページ、秒。 VI、p. 245.
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さらに詳しい文献

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