渦拡散

白色流体中の黒色流体塊の渦拡散シミュレーション。^{[ 1 ]}

流体力学において、渦拡散、渦分散、あるいは乱流拡散は、流体物質が渦運動によって混合する過程です。これらの渦は、亜熱帯海洋環流からコルモゴロフマイクロスケールの小さな渦まで、その大きさは様々であり、乱流（または乱流）の結果として発生します。渦拡散の理論は、ジェフリー・イングラム・テイラー卿によって初めて提唱されました。

層流では、物質特性（塩分、熱、湿度、エアロゾルなど）が個々の分子のランダムな運動によって混合されます。純粋に確率論的な議論によれば、高濃度領域から低濃度領域への分子の正味フラックスは、反対方向へのフラックスよりも高くなります。この勾配下降フラックスにより、時間の経過とともに濃度プロファイルが平衡化されます。この現象は分子拡散と呼ばれ、その数学的側面は拡散方程式によって表されます。

乱流では、分子拡散による混合に加え、渦が流体を攪拌します（渦拡散 § 攪拌と混合に関する注記）。これにより、様々な初期位置、ひいては様々な濃度の流体塊が、初期濃度の異なる流体領域に浸透します。これにより、攪拌を担う渦よりも大きなスケールで流体特性が均質化され、個々の分子運動に比べて非常に効率的に均質化されます。自然界のほとんどのマクロな流れでは、渦拡散は分子拡散よりも数桁も強いため、乱流の研究において分子拡散が無視されることがあります。

大気中および大気圏外での乱流拡散の問題は、基礎物理学から導き出された単一のモデルでその重要な側面をすべて説明できるものが存在しないことです。有用性が重複しない2つの代替アプローチがあります。勾配輸送理論によれば、流体内の固定点における拡散フラックスは局所的な濃度勾配に比例します。この理論は本質的にオイラー理論であり、つまり、空間的に固定された座標系における流体の特性を記述します（流体のラグランジュ的およびオイラー的指定を参照）。対照的に、統計的拡散理論は流体粒子の運動に従うため、ラグランジュ理論です。さらに、計算アプローチは、粒子が連続的に移動すると仮定するか、離散的に移動すると仮定するかによって、連続運動理論と不連続運動理論に分類できます。

歴史的発展

渦拡散理論は、1910年代末頃、イギリスのGIテイラー^{[ 2 ]}とLFリチャードソン^{[ 3 ]} 、オーストリアのW.シュミットによって、分子拡散の古典理論を直接一般化した理論として提唱されました。彼らは、渦の質量効果は、スケールの違いを除けば分子の質量効果と全く同じであるという考えを提唱しました。これは後の節で「勾配モデル」として説明されていますが、この名称は、分子拡散の場合と同様に、拡散フラックスが局所的な濃度勾配に比例するという事実に由来しています。

その後の研究（1930年代）では、主にOGサットンによって、当初のアプローチのいくつかの問題点が指摘され^{[ 4 ]}、乱流流体の渦構造と静止流体の分子構造の違いはスケール以上のものであるという考えが提唱されました^{[ 5 ] 。}

その後数十年にわたり、大気と海洋・湖沼の両方において、渦拡散に関する確立された理論を実験的に検証する多くの研究が行われ、その多くは元の理論と一致する結果が得られました。特に、乱流水流中の異物の拡散^{[ 6 ]} 、湖沼における水の鉛直構造^{[ 7 ]} 、そして大気の最下層^{[ 8 ]}に関する実験では、渦拡散は分子拡散よりも確かに強く、概ねGI Taylorによって最初に提唱された理論に従うという実験的証拠が見つかりました。元の勾配理論に対する反例がいくつか、本稿の後半で示されています。

現在、渦拡散が大気および海洋の既知のプロセスにどのように寄与しているかについて、活発な研究が進められています。これらのプロセスを完全に記述するために、元の理論を基盤として新たなモデルと理論が構築されました。特に、これらの研究には、エアロゾル沈着^{[ 9 ]}から上層大気における内部重力波^{[ 10 ]} 、深海の渦拡散と浮力^{[ 11 ]}から南極周極流の混合層表面への栄養塩供給^{[ 12 ]}に至るまで、渦拡散メカニズムを説明する研究が含まれています。

渦拡散の数学的定式化

出典: ^{[ 13 ] [ 14 ]}

このセクションでは、渦拡散作用下における濃度プロファイルの時間的変化を記述するために、連続方程式に基づく数学的枠組みを構築する。速度と濃度場は平均成分と変動成分（渦成分）に分解される。そして、渦による濃度フラックスは、速度と濃度の変動の共分散によって与えられることが導かれる。この共分散は原理的に未知であるため、共分散に関する追加の仮定を置かずに濃度プロファイルの変化方程式を解くことはできない。次のセクションでは、そのような仮定の一つ（勾配モデル）を提示し、本セクションの主な結果に結び付ける。その次のセクションでは、問題に対する全く異なる統計的（およびラグランジアン的）アプローチについて説明する。

固定された直交座標系における位置であるスカラー場 を考えてみましょう。この場は、受動的に保存されるトレーサー種（実験における着色染料、海塩、大気中の水蒸気など）の濃度を測定します。「受動的」という形容詞は、少なくともある程度の近似値の範囲内で、トレーサーが密度や圧力などの動的特性を全く変化させないことを意味します。トレーサーは流れを変化させることなく、流れとともに移動するだけです。これは、水蒸気や塩など、自然界に存在する多くの「トレーサー」には厳密には当てはまりません。「保存される」とは、絶対的な発生源や吸収源が存在せず、トレーサーは拡散と移流によってのみ移動することを意味します。 ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$ ${\textstyle {\vec {x}}}$

の保存方程式を考えてみましょう。これは、右辺にソース項を持つ一般化された流体連続方程式です。ソース項は分子拡散に対応し（トレーサーの正味の生成／消滅には対応しません）、この方程式はオイラー視点で書かれます（偏微分を含みます）。 ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {u}}\phi )=K_{0}\nabla ^{2}\phi }$$

${\textstyle K_{0}}$ 分子拡散係数（質量拡散係数）です。

目的は、層流平均流が乱流渦とどのように相互作用するか、特にそれがトレーサー輸送にどのような影響を与えるかを明らかにすることです。標準的なレイノルズ分解に従って、濃度場は平均成分と変動成分に分割できます。

$${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)=\langle \phi ({\vec {x}},t)\rangle +\phi '({\vec {x}},t)}$$

速度場についても同様です。

$${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {x}},t)=\langle {\vec {u}}({\vec {x}},t)\rangle +{\vec {u}}'({\vec {x}},t)}$$

平均項（山括弧内）は、流れの層流成分を表します。平均場は一般に空間と時間の関数であり、単なる定数ではないことに注意してください。この意味での平均は、空間と時間のすべての利用可能なデータを平均化するものではなく、単に乱流運動をフィルタリングすることを意味します。つまり、平均化領域は、乱流を平滑化するものの、平均流自体に関する情報は消去されない程度に制限されます。これは、渦と平均流のスケールを分離できることを前提としていますが、常にそうであるとは限りません。平均化の範囲を適切に選択するか、実験を繰り返すことができる場合は理想的にはアンサンブル平均を実行することで、これにできるだけ近づくことができます。つまり、平均化の手順は実際には簡単ではありません。このセクションでは、このトピックを理論的に扱い、そのような適切な平均化手順が存在すると仮定します。変動する（プライム付きの）項には、平均化されるという定義特性があります。つまり、 です。これは、とりわけ流体をかき混ぜる乱流 (渦) を説明するために使用されます。 ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$

レイノルズ分解に進むことができます。定義により、方程式全体を平均化することで、非線形項を除くすべての乱流変動を除去できます（レイノルズ分解、レイノルズ応力、レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式を参照）。非線形移流項は次のようになります。 ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$ ${\textstyle \phi '}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\vec {u}}\phi \rangle &=\langle \left(\langle {\vec {u}}\rangle +{\vec {u}}'\right)\left(\langle \phi \rangle +\phi '\right)\rangle \\&=\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \end{整列}}}$$ 保存方程式に代入すると次のようになります。$${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)=K_{0}\nabla ^{2}\langle \phi \rangle }$$

左辺の3番目の項（乱流項）を右辺（）に代入すると、結果は次のようになります。この方程式は、(i) とが層流成分になったこと、および (ii) 右辺に新たな2番目の項が出現したことを除けば、最初の方程式と似ています。この2番目の項は、レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式におけるレイノルズ応力項と同様の機能を持ちます。 ${\textstyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \右）}$$ ${\textstyle {\vec {u}}}$ ${\textstyle \phi }$

これはオイラー的な扱い方です。この問題をラグランジアン的な観点から考察することもできます（いくつかの項を物質微分に吸収します）。

$${\displaystyle {\frac {D\phi }{Dt}}+\phi \nabla \cdot {\vec {u}}=K_{0}\nabla ^{2}\phi }$$

平均物質微分を次のように定義します。

$${\displaystyle {\frac {\overline {D}}{{\overline {D}}t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\langle {\vec {u}}\rangle \cdot \nabla }$$

これは平均流に関連する物質微分です（移流項は の層流部分のみを含みます）。右辺の発散項を分散させ、物質微分の定義として次の式を使用することができます。この式は、オイラーの場合と同じ注意点(i)と(ii)、そして微分演算子に対する平均流量の定義を除けば、最初に用いたラグランジュ方程式に似ています。以下の解析では、オイラー方程式に戻ります。 ${\textstyle {\vec {u}}}$ $${\displaystyle {\frac {{\overline {D}}\langle \phi \rangle }{{\overline {D}}t}}+\langle \phi \rangle \nabla \cdot \langle {\vec {u}}\rangle =\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \右）}$$

渦拡散係数の解釈は以下のとおりです。は分子拡散による受動トレーサーのフラックスです。常に下降勾配となります。その発散は、この効果によるトレーサー濃度の蓄積（負の場合）または減少（正の場合）に対応します。この用語は、流体を撹拌する乱流渦によるフラックスのように解釈できます。同様に、その発散は乱流渦によるトレーサーの蓄積/減少を表します。この渦フラックスが下降勾配であるかどうかはまだ指定されていません。後のセクションを参照してください。 ${\textstyle K_{0}\nabla \langle \phi \rangle }$ ${\textstyle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle }$

体積 の小さな流体塊の濃度収支を調べることもできます。オイラー定式化から始めて、発散定理を使用します。右辺の 3 つの項は、それぞれ分子拡散、渦拡散、平均流による移流を表します。 について個別の方程式がないという問題が生じます。この項のモデルを考え出さずに方程式系を閉じることはできません。これを実現する最も簡単な方法は、分子拡散項と同様に、この項も濃度の勾配に比例すると仮定することです(勾配ベースの理論のセクションを参照)。詳細については 、乱流モデリングを参照してください。${\textstyle V}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\langle \phi \rangle {\text{d}}V=\oint K_{0}\nabla \langle \phi \rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi \rangle \langle {\vec {u}}\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A}$$ ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$ ${\textstyle \langle \phi \rangle }$

勾配拡散理論

箱の中の粒子のオイラー参照システムの例。^{[ 15 ]}

乱流拡散の最も単純なモデルは、個々の分子の運動（分子拡散）の結果として勾配下降流を引き起こす確率的効果との類推によって構築できます。流体中に分散した不活性で受動的なトレーサーを考えてみましょう。トレーサーの濃度があらゆる方向において周囲よりも高い小さな流体領域があるとします。この領域は、乱流渦（一見ランダムな方法で往復する変動流）を介して、周囲と流体（およびトレーサー）を交換します。周囲からこの領域に流入する渦は、この領域から周囲に流入する渦と統計的に同じです。これはトレーサーが「受動的」であるため、濃度の高い流体塊は濃度の低い流体塊と同様の動的挙動を示すためです。重要な違いは、領域内部の濃度が初期には外部よりも高いため、外側に流れるトレーサーは内側に流れるトレーサーよりもはるかに多くのトレーサーを運ぶことです。これはトレーサーフラックスによって定量化できます。フラックスの単位は、トレーサー量／面積／時間で、これはトレーサー濃度×速度と同じです。局所的なトレーサー蓄積率は、出ていくフラックスと入ってくるフラックスの差によって決まります。この例では、出ていくフラックスが入ってくるフラックスよりも大きいため、トレーサーの負の局所蓄積（つまり、枯渇）が生じます。この効果により、初期プロファイルがどのようなものであっても、時間の経過とともに初期プロファイルが平衡化されるのが一般的です。この時間的変化を計算するには、フラックスの計算方法を知っておく必要があります。このセクションでは、最も単純な仮説、つまりフラックスは濃度差に線形に関連している（分子拡散の場合と同様）という仮説を検討します。これは、先ほど行った分析から得られる最も直感的な推測でもあります。フラックスは原則としてベクトルです。このベクトルはトレーサー輸送の方向を指し、この場合は に平行になります 。したがって、このモデルは通常、勾配拡散（または同等の下り勾配拡散）と呼ばれます。 ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t=0)}$ ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ ${\textstyle \phi ({\vec {x}})}$ ${\textstyle -\nabla \phi ({\vec {x}})}$

勾配拡散に関する大まかな議論

出典: ^{[ 3 ]}

渦拡散の簡単な導出の概念図。渦は、流れとフィラメントを準ランダムに往復させることで、2つの流体領域の内容物を混合します。実際のプロセスは、単純な螺旋が示唆するよりもはるかに混沌としています。と は、渦によって混合される任意の同一物質の濃度を表しています。この図において、渦の影響を受ける2つの領域の長さスケールは、渦の長さスケールによって設定され、その逆は成り立ちません。${\textstyle \Phi _{1}}$ ${\textstyle \Phi _{2}}$

この節では、勾配拡散の数学がどのように生じるのかを、単純かつ大まかで、かつ経験的に説明する。より厳密かつ一般的な勾配モデルの扱いは次の節で提示される。これは、一般的な数学的扱いに関する節（初期の段階ではまだ勾配モデルを前提とせず、変動の共分散はそのまま残していた）を直接的に踏襲したものである。表記を最大限簡潔にするため、ここでは平均値は明示的に示さない。また、分子拡散係数は、通常は渦拡散係数よりも大幅に小さく、渦拡散メカニズムから注意を逸らしてしまうため、ここでは無視する。 ${\textstyle K_{0}}$

中心が離れた2つの隣接する流体塊を考える。これらの塊には、不活性で受動的なトレーサーの体積濃度が と含まれている。一般性を失うことなく と置く。長さスケールと速度スケールの単一の渦が、2つの塊の間で物質を継続的に撹拌していると想像する。2つの塊の横方向境界を介して交換されるトレーサーフラックスを とする。境界は- 軸に垂直である。塊1から塊2へのフラックスは、少なくとも大きさのオーダーで次のようになる。 ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle \phi _{1}}$ ${\textstyle \phi _{2}}$ ${\textstyle \phi _{2}>\phi _{1}}$ ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle J}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J&=\phi _{1}U-\phi _{2}U\\&=-U\Delta \phi \\&=-(U\Delta x){\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\end{aligned}}}$$

この議論は、渦の長さと速度スケールのみを用いて、渦が生成するトレーサーフラックスを推定するため、物理的に根拠のある次元解析と見ることができる。研究対象領域全体（このようなペアとが多数含まれると考えられる）が渦の長さスケールよりもはるかに大きい場合、連続的に変化する媒体における濃度の微分として、 を近似することができる。${\textstyle \phi _{1}}$ ${\textstyle \phi _{2}}$ ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle \Delta \phi }$ ${\textstyle \Delta x}$

$${\displaystyle J=-(U\Delta x){\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$$

フィックの拡散の法則との類似性に基づいて、括弧内の項を、乱流渦に関連付けられた拡散係数として解釈することができ、これは長さと速度のスケールの積によって与えられます。 ${\textstyle K}$

$${\displaystyle J=-K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$$

1次元形式の連続方程式 を使用すると、次のように書くことができます。 ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial J}{\partial x}}=0}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}$$

が空間的に均一であると仮定すると、導関数から取り出すことができ、次の形式の拡散方程式が得られます。 ${\textstyle K}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=K{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}$$

これは放物型偏微分方程式の典型的な例です。これは熱方程式としても知られています。点源におけるその基本解は、次のとおりです。 ${\textstyle x=0}$

$${\displaystyle \phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Kt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}}$$

ガウス分布と比較すると、分散は、標準偏差は と特定できます。これは、分子拡散またはランダムウォークの非常に典型的な時間依存性です。 ${\textstyle \sigma ^{2}(t)=2Kt}$ ${\textstyle \sigma (t)={\sqrt {2Kt}}\sim t^{1/2}}$

この小節の結論として、渦が流体の2つの周囲領域を攪拌する仕組みと、この挙動から「勾配モデル」と呼ばれる数学モデルが導き出される仕組みについて説明しました。勾配モデルとは、拡散フラックスが負の濃度空間勾配に沿って整列することを意味します。この小節では、すべての変化が1つの軸に沿って起こる、非常に単純な幾何学的形状を想定しました。この議論では、空間的分離と渦速度のスケールを桁単位でしか用いていなかったため、非常に大まかなものでした。次の節では、より厳密な扱いを示します。

一般的な方程式からの解釈

出典: ^{[ 13 ]}

このサブセクションでは、一般的な数学的処理に関するセクションを基にして、勾配仮定が挿入されたときに何が起こるかを観察します。

レイノルズ平均濃度方程式を思い出してください。ここでも、トレーサーの長さと速度スケールを用いて上記の節で述べたものと同様の勾配仮定を仮定します。ただし、係数の値は、上記の節（大きさのオーダーのみで指定）と同じである必要はありません。勾配仮説は次のように表されます。 これにより、濃度方程式は次のように書き直すことができます。これは、変換とを用いて、初期の濃度方程式と再び類似しています。これは、乱流拡散と平均流による移流が存在する場合の、フィックの第二法則（フィックの拡散法則を参照）の一般化を表しています。これが、勾配下降渦拡散モデルがしばしば「フィック的」と呼ばれる理由であり、この数学的類似性を強調しています。渦拡散係数は一般に空間と時間の関数となり得ることに注意してください。これは、その値が時間の経過とともに変化し、場所によって変化する渦のパターンによって決まるためです。異なる仮定は異なるモデルにつながる可能性があり、観測と理論の間には様々なトレードオフがあります。 $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$ $${\displaystyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle =-K({\vec {x}},t)\nabla \langle \phi \rangle }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left((K_{0}+K)\nabla \langle \phi \rangle \right)}$$ ${\textstyle \phi \rightarrow \langle \phi \rangle ,{\vec {u}}\rightarrow \langle {\vec {u}}\rangle }$ ${\textstyle K_{0}\rightarrow K_{0}+K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$

フィッキアン拡散という用語は、が真の定数である場合のみに用いられることがあります。 ^{[ 16 ] は}、次のように書くためには少なくとも空間的に均一である必要があります。 この場合、分子拡散率と渦拡散率の合計は、新しい有効粘性として考えることができ、分子拡散率と質的に同様に作用しますが、大きさが大幅に増加します。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=(K_{0}+K)\nabla ^{2}\langle \phi \rangle }$$

本稿の文脈では、「フィッキアン」という形容詞は勾配モデルと同義語としても用いられるため^{[ 17 ]}、より一般的な形も許容される。この点に関して、科学論文における用語の用法は必ずしも一貫していない。 ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$

勾配モデルの欠点と反例

勾配モデルは歴史的に渦拡散の最初のモデルでした。^{[ 13 ]}勾配モデルは単純で数学的に便利ですが、拡散フラックスが純粋に勾配下降であるという根底にある仮定は普遍的に妥当ではありません。以下にいくつかの実験的反例を示します。

1. 単純な均質乱流せん断流の場合^{[ 5 ]}、と間の角度は65度であることが分かりました。フィッキアン拡散方程式では0度と予測されます。${\textstyle -\nabla \langle \phi \rangle }$ ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$
2. 海上では、表層漂流物同士が当初より遠く離れていた場合、当初より近い場合よりも物理的距離を大きく増加させる確率が高くなります。対照的に、フィックの拡散理論によれば、2つの漂流物の相互距離（すなわち、最終距離から初期距離を引いた値）の変化は、それぞれの初期距離や最終距離自体とは無関係であると予測されます。これは1949年にストンメルによって観察されました。^{[ 17 ]}
3. 点源（例えば煙突）の近くでは、拡散する水蒸気雲のエンベロープの時間変化は、典型的には時間に対して線形であることが観測される。フィッキアン拡散モデルでは、時間に対して平方根依存性を示すと予測される。^{[ 4 ] [ 7 ]}

これらの観察結果は、純粋な勾配拡散とは異なるメカニズムが存在すること、そして分子拡散と渦拡散の間の定性的な類似性が完全ではないことを示唆しています。次節の統計モデルでは、渦拡散に対する別の視点を提示します。

統計的拡散理論

ラグランジュ参照系の例。観測者は粒子の軌道を追う。^{[ 15 ]}

流体の乱流の統計理論は膨大な文献から構成されており、その結果は気象学から海洋学まで多くの研究分野に応用されています。

統計的拡散理論は、GIテイラー（1921）の論文「連続運動による拡散」^{[ 18 ]に端を発し、後に「乱流の統計理論」 [ 19 ]}へと発展しました。拡散に対する統計的アプローチは、空間の固定点での空間輸送を研究するのではなく、ラグランジュ参照系を用いて流体中を移動する粒子を追跡し、そこから拡散を表現するための統計的特性を決定しようとする点で、勾配に基づく理論とは異なります。

特にテイラーは、高レイノルズ数においては、平均流と乱流運動による対流輸送と比較して、分子拡散による空間輸送は無視できると主張した。分子拡散を無視すれば、流体粒子の運動に従って保存され、その結果、平均場の発展は流体粒子の運動の統計から決定できる。 ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \left\langle \phi \right\rangle }$

ラグランジアン定式化

出典: ^{[ 13 ]}

時刻のソースによってスカラー フィールドが何らかの値に決定される、境界のない乱流を考えます。は、時刻 t の 位置から発生した流体粒子の時刻における位置です。${\textstyle t_{0}}$ $${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {x}})}$$ ${\textstyle {\vec {X}}(t,{\vec {Y}})}$ ${\textstyle t_{0}}$ ${\textstyle {\vec {Y}}}$

分子拡散を無視すれば、流体粒子の軌跡に沿って は保存されます。すると、流体粒子の軌跡の始点と終点におけるの値は等しくなります。最後の式の期待値を計算すると、次の式が得られます。 ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \phi }$ $${\displaystyle \phi ({\vec {X}}(t,{\vec {Y}}),t)=\phi ({\vec {Y}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {Y}})}$$

$${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =\left\langle \phi _{0}({\vec {Y}}(t,{\vec {x}})\right\rangle =\int f_{X}({\vec {x}};t|{\vec {Y}})\phi _{0}({\vec {Y}})d{\vec {Y}}}$$

ここで、粒子の位置の 順方向確率密度関数です。${\textstyle f_{X}}$

点光源からの分散

位置 に固定された単位点ソースの場合、つまり の期待値はです。これは、点ソースから生じる平均保存スカラー場が、ソースで発生する流体粒子の粒子位置の確率密度関数によって与えられることを意味します。 ${\textstyle {\vec {Y_{0}}}}$ ${\textstyle \phi _{0}({\vec {x}})=\delta ({\vec {x}}-{\vec {Y_{0}}})}$ ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$ $${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =f_{X}({\vec {x}};t|Y_{0})}$$ ${\textstyle f_{X}}$

最も単純なケースは、統計的に定常な等方性乱流中における、原点（ ）に位置する点源からの分散である。特に、等方性乱流速度場の平均がゼロとなる実験を考える。 ${\textstyle Y_{0}=0}$

この設定では、次の結果を導き出すことができます。

• 

  ラグランジュの時間スケールよりもはるかに短い時間におけるランジュバン方程式によって与えられた流体粒子の軌跡のサンプル。期待値は線形に変化することに注意してください。（両軸とも適切な無次元量で表されています。）

  

  ラグランジュの時間スケールよりもはるかに長い時間における、ランジュバン方程式によって与えられた流体粒子の軌跡のサンプル。期待値は時間の平方根に比例することに注意してください。（両軸とも適切な無次元量で表されています。）

  等方性乱流速度場が平均ゼロであると仮定すると、流体粒子は原点から等方的に分散します。つまり、流体粒子の位置の平均と共分散はそれぞれ、標準偏差とクロネッカーのデルタです。$${\displaystyle \left\langle {\vec {X}}(t,0)\right\rangle =\int _{0}^{t}\left\langle {\vec {U}}(s,0)\right\rangle ds=0}$$ $${\displaystyle \left\langle X_{i}(t,0)X_{j}(t,0)\right\rangle =\sigma _{X}^{2}(t)\delta _{ij}}$$ ${\textstyle \sigma _{x}(t)}$ ${\textstyle \delta _{ij}}$
• 粒子変位の標準偏差は、ラグランジュ速度の自己相関関数 を用いて次のように表される。ここで、は二乗平均平方根速度である。この結果は、テイラーによって最初に得られた結果と一致する。^{[ 18 ]}${\textstyle \rho (s)}$ $${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)=2u'^{2}\int _{0}^{t}(t-s)\rho (s)ds}$$ ${\textstyle u'}$
• あらゆる時間において、分散は拡散係数で次のように表すことができます。${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)}$

$${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sigma _{X}^{2}=u'^{2}\int _{0}^{t}\rho (s)ds}$$

• この量は、ラグランジュ積分時間スケール と呼ばれる乱流の時間スケール特性を定義します。${\displaystyle T_{L}=\int _{0}^{\infty }\rho (s)ds}$
• 十分に小さい時間（）において、を で近似できる場合、直線的な流体運動は標準偏差の線形増加をもたらし、これは時間依存の拡散係数 に対応する。これは、勾配拡散に対する上述の実験的反例の一つ、すなわち煙突付近の煙の線形拡散速度の観察に光を当てる。${\textstyle t\ll T_{L}}$ ${\textstyle \rho (s)}$ ${\textstyle \rho (0)=1}$ ${\textstyle \sigma _{X}\approx u't}$ ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)\approx u'^{2}t}$
• 十分に長い時間（）では、分散は一定の拡散係数を持つ拡散に対応するので、標準偏差は時間の平方根に従って増加する。${\textstyle t\gg T_{L}}$ ${\textstyle \Gamma _{T}=u'^{2}T_{L}}$ $${\displaystyle \sigma _{X}(t)\approx {\sqrt {2u'^{2}T_{L}t}}}$$
• これは、勾配拡散の単純なケースで導出されたものと同じタイプの依存性です。2つのアプローチのこの一致は、十分に長い時間においては勾配モデルがうまく機能しているものの、発生源から最近放出された粒子の挙動を予測できていないことを示唆しています。

ランジュバン方程式

最も単純な確率ラグランジュモデルはランジュバン方程式であり、これは流体粒子に追従する速度のモデルを提供します。特に、流体粒子速度のランジュバン方程式は、乱流分散の完全な予測をもたらします。方程式によれば、ラグランジュ速度の自己相関関数は指数 です。 のこの式を使用すると、粒子変位の標準偏差を積分して次の式を得ることができます。ランジュバン方程式によれば、流体粒子速度の各成分はオルンシュタイン・ウーレンベック過程です。したがって、流体粒子の位置（つまり、オルンシュタイン・ウーレンベック過程の積分）もガウス過程 になります。したがって、ランジュバン方程式によって予測される平均スカラー場は、前の式で与えられたガウス分布 です。 ${\displaystyle \rho (s)=\exp(-|s|/T_{L})}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ $${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)=2u^{2}T_{L}[t-T_{L}(1-\exp(-t/T_{L}))]}$$ $${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =(\sigma _{X}{\sqrt {2\pi }})^{-3}\exp(-x_{i}x_{i}/2\sigma _{X}^{2})}$$ ${\displaystyle \sigma _{X}(t)}$

自然科学における渦拡散

海洋における渦拡散

海洋盆地を横切る物質輸送において、分子拡散は無視できるほど小さい。しかし、観測結果から、海洋は常に混合状態にあることが示唆されている。これは、コルモゴロフ・マイクロスケールから盆地全体に広がる環流まで、様々な海洋渦によって可能になっている。この混合を可能にする渦活動は、最小スケールの運動によって失われたエネルギーを絶えず消散させる。このエネルギーは、主に潮汐と風圧によってバランスをとっており、これらは消散したエネルギーを絶えず補うエネルギー源として機能している。^{[ 20 ] [ 21 ]}

垂直輸送：転覆循環と渦湧昇

表面のすぐ近くの層を除けば、海洋の大部分は安定して成層している。高緯度のいくつかの狭く散発的な領域では、表層水が不安定になり、深く沈み込み、循環の深い南向きの支流を構成する^{[ 20 ]} （ AMOCを参照）。主に南極環流中の渦拡散により、これらの水塊は再び上昇する。湧昇はエクマン輸送による沿岸成分も持つが、南極環流が湧昇の主な発生源であると考えられており、その全体的な強度の約80％を占めている^{[ 22 ]} 。したがって、南極以南の地域での乱流混合の効率が、循環の速度、ひいては海洋全体の熱と塩分の輸送を決定する重要な要素である。

渦拡散は、数千年前に海洋表層に溶解した大気中の炭素の湧昇も制御するため、地球の気候システムにおいて重要な役割を果たしている。^{[ 9 ]}大気中の二酸化炭素の増加によって引き起こされる地球温暖化の文脈において、これらの古代の（したがって炭素含有量の少ない）水塊の湧昇と、同時に現在の炭素含有量の多い空気の溶解および沈降は、海洋における炭素排出量の純蓄積を引き起こす。これは結果として気候変動を緩和するが、海洋酸性化などの問題を引き起こす。^{[ 10 ]}

水平輸送：プラスチック

21世紀に大きな研究の関心を集めている水平輸送の一例として、浮遊プラスチックの輸送が挙げられます。長距離輸送において、最も効率的な輸送メカニズムは風力循環です。亜熱帯環流における収束型エクマン輸送は、これらの地域を浮遊プラスチックの濃度が高い地域（例えば、太平洋ゴミベルト）へと変化させます。^{[ 23 ]}

大規模な（決定論的な）循環に加えて、多くのより小規模なプロセスがプラスチック輸送の全体像を曖昧にしている。サブグリッド乱流拡散は、運動に確率論的な性質を付加する。この固有の確率論的性質を克服するために、浮遊粒子の大規模集団を対象とした数値研究がしばしば行われる。

さらに、シミュレーションで解像され、よりよく理解されている、よりマクロな渦も存在します。たとえば、中規模渦は重要な役割を果たします。中規模渦は、直径が数百キロメートルでゆっくり回転する渦で、ロスビー数が1 よりはるかに小さいことが特徴です。高気圧性渦 (北半球で反時計回り) には、内側の表面放射状の流れの要素があり、その中心に浮遊粒子が正味蓄積します。中規模渦は、ゴミを保持するだけでなく、西向きに漂うため、ゴミを長距離輸送することもできます。これは、表面漂流物、放射性同位体マーカー、^{[ 24 ]}プランクトン、クラゲ、^{[ 25 ] [ 12 ]}熱と塩分で示されています。^{[ 11 ]}サブメソスケールの渦と海洋前線も重要ですが、通常は数値モデルでは解像されず、前述の輸送の確率的要素に寄与します。^{[ 23 ]}

雰囲気

出典: ^{[ 16 ]}

大気中の拡散の問題は、多くの場合、適切な境界条件の下で、元の勾配に基づく拡散方程式を解く問題に帰着します。この理論は、勾配に基づく理論で導入された拡散係数Kにちなんで、K理論と呼ばれることがよくあります。

たとえば、K が定数であると考えられる場合、それは大気中の煙などの受動的なスカラー量のフラックスを測定するものと考えることができます。 ${\textstyle \phi }$

必ずしも等しいとは限らない拡散係数が 3 つの空間座標によって変化する静止媒体 の場合、より一般的な勾配ベースの拡散方程式では次のように述べられます。点源を考えると、境界条件は次のようになります。ここで、は源の強度 (放出される の総量) です。 ${\textstyle \phi }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K_{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow \infty \quad {\text{for}}\quad -\infty <x<\infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow 0\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \phi \rightarrow \infty }$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi dx=\Phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\displaystyle \phi }$

この問題の解はガウス関数である。特に、強度が一定で、平均風速とともに移動するラグランジュ基準系を仮定した大気の、瞬間点源の解は次式で表される。この瞬間点源解を空間に関して積分すると、瞬間体積源（例えば爆弾の爆発）の方程式が得られる。この瞬間点源方程式を時間に関して積分すると、連続点源解が得られる。 ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle {\overline {u}}}$ ${\textstyle v=w=0}$ ${\textstyle {\overline {u}}}$ $${\displaystyle {\frac {\phi }{\Phi }}={\frac {1}{(4\pi Kt)^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}$$

大気境界層

K理論は、大気境界層を通過するスカラー量のダイナミクスを研究する際に適用されてきました。渦拡散係数が一定であるという仮定は、この分野ではほとんど適用できず、そのため、前述のようにK理論を単純に適用することはできません。 ${\displaystyle \phi }$

一般性を失うことなく、定常状態、すなわちと、無限の横風線源（ において）を考えてみましょう。、すなわち平均流によるx方向の輸送がその方向の渦流束を大幅に上回ると仮定すると、静止媒体の流束に関する勾配に基づく拡散方程式は次のようになります。この方程式は、特に最後の条件は地上で流束がゼロであることを意味する以下の境界条件と組み合わされます。この方程式は多くの研究の基礎となっています。 の形に関する異なる仮定は、異なる解をもたらします。${\textstyle \partial \phi /\partial t=0}$ ${\textstyle z=0}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=0}$$ ${\textstyle \partial (K_{x}\partial \phi /\partial x)/\partial x\ll {\overline {u}}\partial \phi /\partial x}$ ${\textstyle q}$ $${\displaystyle {\overline {u}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow \infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad z>0\quad {\text{but}}\quad \phi \rightarrow \infty \quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0,\quad z\rightarrow 0\quad {\text{such that}}\quad \lim _{x\rightarrow 0}\int _{0}^{\infty }{\overline {u}}\phi dz=\Phi \\(3)\quad &K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad x>0\end{aligned}}}$$ ${\textstyle K_{z}}$

モートン・L・バラッド著「非常に安定した大気中での煙道ガスの拡散」でK理論を用いて説明された曲がった煙突の例。^{[ 26 ]}

例えば、K理論は大気乱流拡散（地表からの熱伝導、運動量分布）において広く使われている。これは、関係する基本的な微分方程式を1つ以上の空間座標を消去することによって大幅に簡素化できるためである。^{[ 27 ]}しかし、惑星境界層の熱伝導では、熱源は正弦波時間関数であるため、これらの解のいくつかは数学的にかなり複雑である。

欠点と利点

一般的に、K理論にはいくつかの欠点がある。カルダー^{[ 28 ]は}、大気の場合の拡散方程式の適用可能性を研究し、標準的なK理論の形は一般的には妥当ではないと結論付けた。モニン^{[ 29 ]}は、K理論を拡散の半経験的理論と呼び、元の方程式からの推論の連鎖が長くなり複雑になるにつれて、K理論の基本的な性質を念頭に置く必要があると指摘している。

^{とはいえ、K理論は多くの有用かつ実用的な結果をもたらしています。その一つが、バラッド[ 26 ]}による研究です。彼は、非常に安定した大気中における曲がった煙突からの煙の拡散という複雑な問題をK理論で解き明かしました。

撹拌と混合に関する注意

「かき混ぜる」という動詞は「混ぜる」とは異なる意味を持ちます。前者は渦拡散のようなより大規模な現象を表すのに対し、後者は分子拡散のようなより微視的なプロセスを表すこともあります。これらはしばしば互換的に使用され、一部の科学文献ではそのように用いられます。「混ぜる」は、特に形式にとらわれない説明においては、両者の結果として用いられることが多いです。導入部のアニメーションでは、渦拡散による攪拌によって黒い領域がより小さく、より混沌とした空間パターンに分解されているのが分かりますが、灰色の陰影はどこにも現れません。2つの流体はますます絡み合っていきますが、渦拡散では混ざり合いません。実際には、界面が大きくなるにつれて分子拡散の効率が高まり、境界を越えて分子が実際に混ざり合うことで均質化が完了します。これは真に微視的に不可逆なプロセスです。しかし、分子拡散が最後の段階を担わなくても、渦拡散によって空間濃度が変化すると合理的に主張することができます。実際には、濃度は、対象種の粒子を計数する、非常に小さいながらも有限なコントロールボリュームを用いて定義されます。このような小さなコントロールボリュームを平均化することで、有用な濃度指標が得られます。この手順は、コントロールボリュームのサイズよりも小さいすべての渦の作用を良好に捉えます。これにより、分子拡散を明示的に考慮することなく、渦拡散とそれが濃度に及ぼす影響を記述する方程式を定式化することができます。

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