エルミート・ヤンとミルズの関係

数学、特にゲージ理論と複素幾何学において、エルミート ヤン–ミルズ接続（エルミート–アインシュタイン接続）は、ケーラー多様体上の正則ベクトル束の内積に関連付けられたチャーン接続であり、アインシュタイン方程式の類似を満たす。つまり、接続の曲率 2 形式とケーラー形式の縮約は恒等変換の定数倍であることが求められる。エルミート ヤン–ミルズ接続はヤン–ミルズ接続の特殊な例であり、インスタントンと呼ばれることが多い。

ドナルドソン、ウーレンベック、ヤウによって証明された小林–ヒッチン対応は、コンパクト ケーラー多様体上の正則ベクトル束がエルミート ヤン–ミルズ接続を許容する場合、かつその場合の傾きは多安定であると主張しています。

エルミートのヤン・ミルズ方程式

エルミート・アインシュタイン接続は、エルミート・ヤン＝ミルズ方程式の解として生じる。これはケーラー多様体上のベクトル束上の偏微分方程式系であり、ヤン＝ミルズ方程式が導かれる。を次元 のケーラー多様体上のエルミート・ベクトル束上のエルミート接続とすると、エルミート・ヤン＝ミルズ方程式は以下のようになる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{A}^{0,2}=0\\&F_{A}\cdot \omega =\lambda (E)\operatorname {Id} ,\end{aligned}}}$

ある定数に対して。ここで次が成り立ちます。 ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle F_{A}\wedge \omega ^{n-1}=(F_{A}\cdot \omega )\omega ^{n}.}$

はエルミート接続と仮定されているので、曲率は歪エルミートであり、したがって が成り立つ。基礎となるケーラー多様体がコンパクトである場合、はチャーン・ヴェイル理論を用いて計算できる。すなわち、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$ ${\displaystyle F_{A}^{2,0}=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda (E)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\deg(E)&:=\int _{X}c_{1}(E)\wedge \omega ^{n-1}\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{X}\operatorname {Tr} (F_{A})\wedge \omega ^{n-1}\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{X}\operatorname {Tr} (F_{A}\cdot \omega )\omega ^{n}.\end{aligned}}}$

と恒等準同型写像は の階数によって与えられる痕跡を持つので、次式を得る。 ${\displaystyle F_{A}\cdot \omega =\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \lambda (E)=-{\frac {2\pi i}{n!\operatorname {Vol} (X)}}\mu (E),}$

ここでベクトル束の傾きは、 ${\displaystyle \mu (E)}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mu (E)={\frac {\deg(E)}{\operatorname {rank} (E)}},}$

そして の体積は の体積形式に関して取られます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega ^{n}/n!}$

エルミート ヤン＝ミルズ方程式の 2 番目の条件はアインシュタイン計量の方程式と類似しているため、エルミート ヤン＝ミルズ方程式の解は、エルミート＝アインシュタイン接続、またはエルミート ヤン＝ミルズ接続と呼ばれることがよくあります。

例

ケーラー・アインシュタイン計量のレヴィ・チヴィタ接続は、ケーラー・アインシュタイン計量に関してエルミート・アインシュタインである。（ただし、これらの例は危険なほど誤解を招く。なぜなら、上のページ計量のように、エルミートであるが、レヴィ・チヴィタ接続がエルミート・アインシュタインではない コンパクト・アインシュタイン多様体が存在するためである。）${\displaystyle {\mathbb {C} P}^{2}\#{\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$

エルミートベクトル束が正則構造を持つとき、エルミート接続であるチャーン接続 が自然に選択されます。チャーン接続では、条件 が自動的に満たされます。ヒッチン–コ​​バヤシ対応は、正則ベクトル束がエルミート計量を持つ場合、ベクトル束が多安定 である場合にのみ、関連付けられたチャーン接続がエルミートヤン–ミルズ方程式を満たすと主張しています。この観点から、エルミートヤン–ミルズ方程式は、関連付けられたチャーン接続ではなく、計量 の方程式系と見なすことができ、方程式を解くこのような計量はエルミート–アインシュタイン計量と呼ばれます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

チャーン接続におけるエルミート・アインシュタイン条件は、小林 （1980、第6節）によって初めて導入されました。これらの方程式は、任意の次元におけるヤン・ミルズ方程式を意味し、実数次元4においては、インスタントンを定義する自己双対ヤン・ミルズ方程式と密接に関連しています。特に、ケーラー多様体の複素次元が のとき、形式は自己双対形式と反自己双対形式に分割されます。複素構造は、これと次のように相互作用します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \Lambda _{+}^{2}=\Lambda ^{2,0}\oplus \Lambda ^{0,2}\oplus \langle \omega \rangle ,\qquad \Lambda _{-}^{2}=\langle \omega \rangle ^{\perp }\subset \Lambda ^{1,1}}$

ベクトル束の次数がゼロのとき、エルミート・ヤン＝ミルズ方程式は となる。上記の表現によれば、これはまさに となる条件である。つまり、はASDインスタントンである。次数がゼロでない場合、エルミート・ヤン＝ミルズ方程式の解は反自己双対にはならず、実際、この場合ASD方程式の解は存在しないことに注意されたい。^[1]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=F_{A}^{2,0}=F_{A}\cdot \omega =0}$ ${\displaystyle F_{A}^{+}=0}$ ${\displaystyle A}$

参照

• アインシュタイン多様体
• 変形エルミートヤン・ミルズ方程式
• ゲージ理論（数学）

参考文献

• 小林昭七 (1980)、「第一チャーン類と正則テンソル体」、名古屋数学ジャーナル、77 : 5– 11、doi : 10.1017/S0027763000018602、ISSN  0027-7630、MR  0556302、S2CID  118228189
• 小林昭七（1987）「複素ベクトル束の微分幾何学」、日本数学会刊行物、第15巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08467-1、MR  0909698

1. Donaldson, SK, Donaldson, SK, & Kronheimer, PB (1990). 4次元多様体の幾何学. オックスフォード大学出版局.