エイゼンシュタインシリーズ

アイゼンシュタイン級数は、ドイツの数学者ゴットホルト・アイゼンシュタイン[ ^1]にちなんで名付けられ、直接書き下すことのできる無限級数展開を持つ特定のモジュラー形式である。元々はモジュラー群に対して定義されたアイゼンシュタイン級数は、保型形式理論において一般化することができる。

モジュラー群のアイゼンシュタイン級数

単位円上のqの関数としてのG ₆の実部。負の数は黒で示されます。

単位円上のqの関数としてのG ₆の虚数部。

τ を正の虚数部を持つ複素数とする。重み2 k （ k ≥ 2 は整数）の正則アイゼンシュタイン級数G 2 k ( τ ) を次の級数で_定義する：[ 2 ^]

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}$

この級数は上半平面においてτの正則関数に絶対収束し、以下に示すフーリエ展開はτ = i ∞において正則関数に拡張されることを示す。アイゼンシュタイン級数がモジュラー形式であることは注目すべき事実である。実際、鍵となる性質はそのSL(2, )不変性である。具体的には、a , b , c , d ∈かつad − bc = 1ならば、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

（証拠）

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}}$

ad − bc = 1 ならば

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}}$

となることによって

${\displaystyle (m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}}$

^は2 → ^{2 の}一対一写像である。すなわち、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )}$

全体的に、ad − bc = 1の場合、

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

したがって、G _{2 k}は重み2 kのモジュラー形式です。

級数の絶対収束を確実にするためにはk ≥ 2と仮定することが重要であることに注意する必要がある。そうしないと、 SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 不変性の証明において和の順序を変えることが不当になるからである。実際、重み 2 の非自明なモジュラー形式は存在しない。しかし、k = 1の場合でも、正則アイゼンシュタイン級数の類似体を定義できるが、それは準モジュラー形式にしかならない。また、重みは偶数である必要がある。そうでないと、 (- m , - n )項と( m , n )項が互いに打ち消し合う ため、和がゼロになってしまうからである。

モジュラー不変量との関係

楕円曲線のモジュラー不変量 g ₂とg ₃は、最初の2つのアイゼンシュタイン級数によって与えられる: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}}$

モジュラー不変量に関する記事では、シータ関数の観点からこれら 2 つの関数の表現が示されています。

再帰関係

^{モジュラー群[4]}の任意の正則モジュラー形式は、G ₄とG ₆の多項式として表すことができます。特に、高次のG _{2 k は、}再帰関係によってG ₄とG ₆を用いて表すことができます。d k = (2 k + 3) k ! G 2 k + 4 とすると、例えば、d 0 = _{3 G 4}、d ₁ = 5 _G 6 となります_。このとき_、d kは_次の関係を満たします。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}}$

すべてのn ≥ 0に対して。ここで、は二項係数です。 ${\displaystyle n \choose k}$

d _{k は}ワイエルシュトラスの楕円関数の級数展開で現れる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}}$

フーリエ級数

G4_​

G6_​

G8_​

G ₁₀

G ₁₂

G ₁₄

q = e ^{2π iτ}と定義する。（古い書籍の中にはq をq = e π ^iτと定義しているものもあるが、数論ではq = e ^{2 π iτ}が現在標準となっている。）すると、アイゼンシュタイン級数^[5]のフーリエ級数は

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}$

ここで係数c _{2 k}は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}}$

ここで、B _nはベルヌーイ数、ζ ( z )はリーマンのゼータ関数、σ _p ( n )は約数和関数、つまりnの約数のp乗の和である。特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}}$

q上の和はランバート級数として再び和をとることができる。つまり、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

任意の複素数 | q | < 1かつaに対して。アイゼンシュタイン級数の q展開を扱う際には、この代替表記法が頻繁に導入される。

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}}$

エイゼンシュタインシリーズに関わるアイデンティティ

シータ関数として

出典: ^[6]

q = e ^{2 π iτ}とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$

そしてヤコビ・シータ関数を定義する^。これは通常eπiτ^という名詞 を使う。

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

ここでθ _mとϑ _ijは別の表記である。そして対称関係が成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}}$

基本的な代数は、

${\displaystyle E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}}$

モジュラー判別式に関連する式、

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}$

一方、3番目の対称関係は、E ₈ = Eの結果である。²
₄そしてa ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0。

エイゼンシュタインシリーズの製品

アイゼンシュタイン級数は、完全モジュラー群SL(2, )のモジュラー形式の最も明確な例である。重み2 kのモジュラー形式の空間は、2 k = 4, 6, 8, 10, 14に対して次元1を持つので、これらの重みを持つアイゼンシュタイン級数の異なる積は、スカラー倍を除いて等しくなければならない。実際、以下の恒等式が得られる。^[7]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.}$

上に示したアイゼンシュタイン級数のq展開を用いると、これらは約数の累乗の和を含む恒等式として言い換えられる。

${\displaystyle \left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},}$

したがって

${\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),}$

他のものについても同様である。8次元偶ユニモジュラー格子Γのシータ関数は、完全モジュラー群の重み4のモジュラー形式であり、以下の恒等式を与える。

${\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)}$

E8型のルート格子_における長 さ2nの2_乗のベクトルの数rΓ ( n )について。

ディリクレ指標によってねじられた正則アイゼンシュタイン級数を含む同様の手法により、正の整数n ' をnの約数で表した 2 乗、 4 乗、または 8 乗の和として表す表現の数を求める式が生成されます。

上記の再帰関係を用いると、E _{2 k}以上のすべての多項式は、 E ₄とE ₆の多項式として表すことができます。例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}[phone]\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}[phone]\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}}$

アイゼンシュタイン級数の積の間の多くの関係は、ハンケル行列式、例えばガーバンの恒等式 を使って簡潔に表すことができる。

${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}}$

どこ

${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}}$

はモジュラー判別式である。^[8]

ラマヌジャン恒等式

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、微分 を含む最初のいくつかのエイゼンシュタイン級数の間にいくつかの興味深い恒等式を与えた。^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$

これらの恒等式は、級数間の恒等式と同様に、約数関数の和を含む算術畳み込み恒等式を与える。ラマヌジャンに倣って、これらの恒等式を最も単純な形にするには、 σ _p ( n )の定義域をゼロを含むように 拡張する必要がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}}$

そして、例えば

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).}$

このタイプの他の恒等式は、 L、M、N関数間の前述の関係とは直接関係しないが、ラマヌジャンとジュゼッペ・メルフィによって証明されている^{[10] [11]。}例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).\end{aligned}}}$

一般化

保型形式は、一般の半単純リー群に対するモジュラー形式の考え方を一般化したものである。ここでは、モジュラー群は算術群に置き換えられている。ロバート・ラングランズは、アイゼンシュタイン級数の理論をこの設定に一般化した。^[12]

リー群がA ₁型の場合、理論は古典的な場合と類似する。例えば、ヒルベルト・モジュラー形式はよく研究されている。

参考文献

1. 「ゴットホルト・アイゼンシュタイン - 伝記」.数学史. 2023年9月5日閲覧。
2. Gekeler, Ernst-Ulrich (2011). 「モジュラー群GL(2,𝔽q[T])のパラアイゼンシュタイン級数」.台湾数学ジャーナル. 15 (4): 1463– 1475. doi : 10.11650/twjm/1500406358 . ISSN  1027-5487. S2CID  119499748.
3. Obers, NA; Pioline, B. (2000-03-07). 「弦理論におけるアイゼンシュタイン級数」.古典重力と量子重力. 17 (5): 1215– 1224. arXiv : hep-th/9910115 . Bibcode :2000CQGra..17.1215O. doi :10.1088/0264-9381/17/5/330. ISSN  0264-9381. S2CID  250864942.
4. ( 2015). 「Eisenstein級数のLacunary recurrences」. Research in Number Theory . 19. arXiv : 1504.00356 . doi : 10.1007/s40993-015-0010-x . ISSN  2363-9555.
5. カレル, マーティン L. (1974). 「特定のアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数」 . Annals of Mathematics . 99 (1): 176– 202. doi :10.2307/1971017. ISSN  0003-486X. JSTOR  1971017.
6. 「アイゼンシュタイン級数を含むこの級数恒等式を証明するにはどうすればいいか？」Mathematics Stack Exchange . 2023年9月5日閲覧。
7. ディクソン, マーティン; ニューラー, マイケル (2018). 「アイゼンシュタイン級数の積とモジュラー形式の尖端におけるフーリエ展開」.数論ジャーナル. 188 : 137–164 . arXiv : 1603.00774 . doi :10.1016/j.jnt.2017.12.013. S2CID  119614418.
8. Milne, Steven C. (2000). 「アイゼンシュタイン級数のハンケル行列式」. arXiv : math/0009130v3 .この論文では の非同等の定義が使用されていますが、これは本記事で説明されています。${\displaystyle \Delta }$
9. Bhuvan, EN; Vasuki, KR (2019-06-24). 「ラマヌジャンのアイゼンシュタイン級数の15次の恒等式について」 . Proceedings - Mathematical Sciences . 129 (4): 57. doi :10.1007/s12044-019-0498-4. ISSN  0973-7685. S2CID  255485301.
10. ラマヌジャン、シュリニヴァサ(1962). 「ある種の算術関数について」.論文集. ニューヨーク、チェルシー. pp.  136– 162.
11. メルフィ、ジュゼッペ(1998). 「いくつかのモジュラー恒等式について」.数論、ディオファントス、計算および代数的側面：ハンガリー、エゲルで開催された国際会議の議事録. Walter de Grutyer & Co. pp.  371– 382.
12. モーグリン、コレット; Waldspurger、Jean-Loup (1995)。スペクトル分解とアイゼンシュタイン級数。数学におけるケンブリッジトラクト。 Vol. 113. ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-41893-3. ISSN  0950-6284.

さらに読む

• アキエゼル、ナウム・イリイチ (1970).楕円関数理論の要素(ロシア語). モスクワ.英語に『楕円関数理論の要素』として翻訳。AMS Translations of Mathematical Monographs 79。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。1990年。ISBN 0-8218-4532-2。
• アポストル、トム・M. (1990).モジュラー関数と数論におけるディリクレ級数（第2版）. ニューヨーク、NY: Springer . ISBN 0-387-97127-0。
• Chan, Heng Huat; Ong, Yau Lin (1999). 「アイゼンシュタイン級数について」(PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 127 (6): 1735– 1744. doi : 10.1090/S0002-9939-99-04832-7 .
• イワニエツ、ヘンリク(2002). 『保型形式のスペクトル法』大学院数学研究 53 (第2版). プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. 第3章. ISBN 0-8218-3160-7。
• セール、ジャン＝ピエール（ 1973年）『算数講座』『大学院数学テキスト7』（訳編）ニューヨーク＆ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 9780387900407。