ウィルソン・コーワンモデル

計算神経科学において、ウィルソン・コーワンモデルは、非常に単純な興奮性ニューロンと抑制性ニューロンのモデル集団間の相互作用のダイナミクスを記述する。このモデルはヒュー・R・ウィルソンとジャック・D・コーワンによって開発され^{[ 1 ] [ 2 ]}、モデルの拡張はニューロン集団のモデル化に広く使用されている。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}このモデルは、位相平面法と数値解法を使用して刺激に対するニューロン集団の応答を記述するため、歴史的に重要である。モデルニューロンは単純であるため、基本的なリミットサイクル挙動、つまり神経振動と刺激依存の誘発応答のみが予測される。重要な発見には、集団応答における 複数の安定状態とヒステリシスの存在がある。

数学的記述

ウィルソン・コーワンモデルは、興奮性ニューロンと抑制性ニューロンの相互接続された均質な集団を考察する。すべての細胞は同数の興奮性求心性神経線維と抑制性求心性神経線維を受け取る。つまり、すべての細胞は同じ平均興奮量 x(t) を受け取る。目標は、時刻 t における興奮性細胞と抑制性細胞の発火数の時間的変化を解析することである。 ${\displaystyle E(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$

この進化を記述する方程式はウィルソン・コーワンモデルです。

${\displaystyle E(t+\tau )=\left[1-\int _{tr}^{t}E(t')dt'\right]\;S_{e}\left(\int _{-\infty }^{t}\alpha (tt')[c_{1}E(t')-c_{2}I(t')+P(t')]dt'\right)}$

${\displaystyle I(t+\tau )=\left[1-\int _{tr}^{t}I(t')dt'\right]\;S_{i}\left(\int _{-\infty }^{t}\alpha (tt')[c_{3}E(t')-c_{4}I(t')+Q(t')]dt'\right)}$

どこ：

• ${\displaystyle S_{e}\{\}}$ トリガー閾値の分布に依存するシグモイド関数である（下記参照）。${\displaystyle S_{i}\{\}}$
• ${\displaystyle \alpha (t)}$ 刺激減衰関数である
• ${\displaystyle c_{1}}$ およびはそれぞれ興奮性細胞あたりの興奮性シナプスと抑制性シナプスの平均数を与える接続係数であり、抑制性細胞の場合は対応する係数である。${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{4}}$
• ${\displaystyle P(t)}$ 興奮性/抑制性集団への外部入力です。${\displaystyle Q(t)}$

が細胞の閾値電位を表し、がすべての細胞の閾値の分布を表す 場合、単位時間あたりに閾値レベル以上の興奮を受けるニューロンの予想される割合は次のようになります。${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle D(\theta )}$

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}D(\theta )d\theta }$ 、

が単峰性の場合、それはシグモイド形式の関数です。 ${\displaystyle D()}$

すべての細胞が同じ興奮性入力と異なる閾値を受け取るのではなく、すべての細胞が同じ閾値を持ち、細胞あたりの求心性シナプスの数が異なっている（求心性シナプスの数の分布）と考える場合は、関数の変形を使用する必要があります。 ${\displaystyle C(w)}$ ${\displaystyle S()}$

${\displaystyle S(x)=\int _{\frac {\theta }{x}}^{\infty }C(w)dw}$

モデルの導出

トリガー後の不応期を とすると、不応期にある細胞の割合は、感受性（トリガーできる）細胞の割合は となります。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \int _{tr}^{t}E(t')dt'}$ ${\displaystyle 1-\int _{tr}^{t}E(t')dt'}$

時点における興奮性細胞の平均興奮レベルは次のようになります。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}\alpha (tt')[c_{1}E(t')-c_{2}I(t')+P(t')]dt'}$

したがって、ある時点で発火する細胞の数は、不応期になく、かつ興奮性レベルに達している細胞の数であり、このようにしてモデルの最初の式の右辺の積が得られる（無相関項を仮定）。抑制性細胞についても同様の考え方を適用でき、2番目の式が得られる。 ${\displaystyle E(t+\tau )}$ ${\displaystyle 1-\int _{tr}^{t}E(t')dt'}$ ${\displaystyle S_{e}(x(t))}$

時間粗視化を仮定したモデルの単純化

時間粗粒度モデリングを想定すると、モデルは簡素化され、モデルの新しい方程式は次のようになります。

${\displaystyle \tau {\frac {d{\bar {E}}}{dt}}=-{\bar {E}}+(1-r{\bar {E}})S_{e}[kc_{1}{\bar {E}}(t)-kc_{2}{\bar {I}}(t)+kP(t)]}$

${\displaystyle \tau '{\frac {d{\bar {I}}}{dt}}=-{\bar {I}}+(1-r'{\bar {I}})S_{i}[k'c_{3}{\bar {E}}(t)-k'c_{4}{\bar {I}}(t)+k'Q(t)]}$

ここで、バー項は元の項の時間粗粒度バージョンです。

てんかんへの応用

3つの概念の決定は、全体的（システム）レベルでの神経生理学的活動の過剰同期を理解する上で基本となる。^{[ 7 ]}

1. てんかん発作中に、正常な（ベースライン）神経生理学的活動が脳の広い領域の過剰同期へと進化するメカニズム
2. 超同期領域の拡大速度を支配する主な要因
3. 大規模電気生理学的活動パターンのダイナミクス

これらの問題に対する標準的な分析は、2008年にシュスターマンとトロイによってウィルソン・コーワンモデルを用いて開発され^{[ 7 ]} 、てんかん様活動の質的・量的特徴を予測します。特に、このモデルは、脳波電極を慢性的に埋め込まれた被験者におけるてんかん発作の伝播速度（通常の脳波活動の約4～7倍遅い）を正確に予測します。^{[ 8 ] [ 9 ]}

超同期への移行

脳活動の正常な状態からてんかん発作への移行は、2008年まで理論的に定式化されていませんでした。この年、ベースライン状態から刺激の点から均一に広がる大規模な自立振動までの理論的経路が初めてマッピングされました。^{[ 7 ]}

ベースラインの生理学的活動の現実的な状態は、次の2つの要素の定義を使用して定義されています。^{[ 7 ]}

（１）閾値下興奮性活動Eと閾値上抑制性活動Iによって表される時間非依存成分。

（２）時間とともに変化する成分であり、これには単一パルス波、多重パルス波、または自発的な神経活動によって引き起こされる周期波が含まれる場合がある。

このベースライン状態は、脳がリラックス状態にある時の活動を表し、ニューロンは微量の、自然に存在する神経ホルモン物質の濃度によって、ある程度の自発的で弱い刺激を受ける。覚醒中の成人では、この状態は一般的にアルファリズムと関連付けられるが、より深いリラクゼーションや睡眠中には、より遅い（シータおよびデルタ）リズムが観察されるのが一般的である。この一般的な設定を記述するために、古典的なウィルソン・コーワンモデルの3変数空間依存拡張を利用することができる。^{[ 10 ]}適切な初期条件下では、^{[ 7 ]}興奮性成分uが抑制性成分Iよりも優位となり、3変数システムは2変数ピント・アーメントラウト型モデルに簡約される^{[ 11 ]。}${\displaystyle (u,I,v)}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=u-v+\int _{R^{2}}\omega (xx',yy')f(u-\theta )\,dxdy+\zeta (x,y,t),}$

${\displaystyle {\partial v \over \partial t}=\epsilon (\beta uv).}$

変数 v は興奮 u の回復を制御し、回復の変化率を決定します。接続関数は正で連続的、対称であり、典型的な形式は です。^{[ 11 ]}文献^{[ 7 ]}では、一般に急激に増加するシグモイド形状であると認められている発火率関数は で近似されます。ここで、H はヘビサイド関数を表します。は短時間刺激です。このシステムは、さまざまな神経科学研究で効果的に使用されてきました。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}特に、発作中に発生する可能性がある螺旋波の存在を予測しました。この理論的予測は、その後、ラットの皮質からのスライスの光イメージングを使用して実験的に確認されました。^{[ 16 ]}${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \omega (x,y)}$ ${\displaystyle \omega =Ae^{-\lambda {\sqrt {-(x^{2}+y^{2})}}}}$ ${\displaystyle (A,\lambda )=(2.1,1).}$ ${\displaystyle f(u-\theta )=H(u-\theta )}$ ${\displaystyle \zeta (x,y,t)}$ ${\displaystyle (u,v)}$

拡大率

大振幅の安定バルク振動を示す超同期領域の拡大は、振動が安定静止状態と共存する場合に発生します。この拡大の原因となるメカニズムを理解するには、を固定した状態でシステムを の周りで線形化する必要があります。線形化されたシステムは、 が増加するにつれて周波数が増加する閾値下減衰振動を示します。振動周波数が十分に高くなる臨界値で は、 システムに双安定性が生じます。つまり、安定で空間的に独立した周期解（バルク振動）と安定静止状態が、連続したパラメータ範囲にわたって共存することになります。バルク振動が発生する場合、 ^{[ 7 ]}「超同期領域の拡大率は、2つの主要な特徴の相互作用によって決定されます。(i)領域の端から外側に向かって形成され伝播する波の速度、および(ii)バルク振動の各サイクルにおいて、活性化変数が静止状態から活性化閾値まで上昇する際のグラフの凹形状です。数値実験では、 閾値に向かって上昇する間、凹形状成分により時間の経過とともに垂直方向の増加率が減速するにつれて、領域から発生する安定した孤立波が、波の速度に比例して領域を空間的に拡大させることが示されています。この初期の観察から、比例定数は、1サイクル中に解が凹形状である時間の割合であるはずであると自然に予想されます。」したがって、のとき、領域の拡大率は^{[ 7 ]によって推定されます。}${\displaystyle (u,v)=(0,0)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \beta^{*}}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle \beta \geq \beta ^{*}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Delta t,}$ ${\displaystyle \mathrm {Rate} }$ ${\displaystyle \beta \geq \beta ^{*}}$

${\displaystyle \mathrm {Rate} =(\Delta t/T)c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)}$

ここで、 は閾値下時間間隔の長さ、は周期解の周期、 は超同期領域から発せられる波の速度である。ウィルソンら^{[ 17 ]}によって導出された の現実的な値は である。 ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=22.4\,\mathrm {mm/s} }$

比率の評価方法${\displaystyle \Delta t/T?}$ 比率の値を決定するには、空間的に独立なシステムを満たす基礎となるバルク振動を解析する必要がある。 ${\displaystyle \Delta t/T}$

${\displaystyle {{du} \over {dt}}=u-v+H(u-\theta ),}$

${\displaystyle {{dv} \over {dt}}=\epsilon (\beta u-v).}$

このシステムは標準関数とパラメータ値を用いて導出され、^{[ 7 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}バルク振動は のときに発生する。のとき、シュスターマンとトロイはバルク振動を解析し を発見した。これにより、範囲は ${\displaystyle \omega =2.1e^{-\lambda {\sqrt {-(x^{2}+y^{2})}}}}$ ${\displaystyle \epsilon =0.1}$ ${\displaystyle \theta =0.1}$ ${\displaystyle \beta \geq \beta ^{*}=12.61}$ ${\displaystyle 12.61\leq \beta \leq 17}$ ${\displaystyle 0.136\leq \Delta t/T\leq 0.238}$

${\displaystyle 3.046\,\mathrm {mm/s} \leq \mathrm {Rate} \leq 5.331\,\mathrm {mm/s} ~~~~~~~~~~~~(2)}$

なので、式（1）は移動が進行波速度の一部であることを示しており、これはてんかん活動の緩やかな広がりに関する実験的および臨床的観察と一致する。^{[ 18 ]}この移動メカニズムはまた、多くの実験研究にもかかわらずこれまで観察されたことのない駆動源なしでてんかん活動が広がり、持続することに対するもっともらしい説明を提供する。^{[ 18 ]}${\displaystyle 0.136\leq \Delta t/T\leq 0.238}$ ${\displaystyle \mathrm {Rate} }$

理論的な移行率と実験的な移行率の比較

左側頭葉の表面に慢性的に埋め込まれた硬膜下電極を使用して、ヒト被験者の発作中に実験的に記録された過同期活動の移動率は^{[ 8 ]}と推定されている^{[ 7 ]。}

${\displaystyle \mathrm {Rate} \approx 4\,\mathrm {mm/s} }$ 、

これは、上記(2)で示した理論的予測範囲と一致する。式(1)の比率は、同期発作活動領域の先端が通常の脳波活動よりも約4～7倍ゆっくりと移動することを示しており、これは上記の実験データと一致する。^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathrm {Rate} /c}$

要約すると、大規模電気生理学的活動の数理モデル化と理論解析は、過同期性脳活動の広がりと移動を予測するためのツールを提供し、てんかん患者の診断評価と管理に有用となり得る。また、深い睡眠（デルタ波）、認知活動、その他の機能的状況において発生する、脳の広い領域にわたる電気活動の移動と広がりを予測するのにも有用である可能性がある。

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