楕円偏微分方程式

数学において、楕円型偏微分方程式は偏微分方程式（PDE）の一種です。数学モデリングでは、楕円型偏微分方程式は、一般的に時間とともに変化する現象をモデル化する放物型偏微分方程式や双曲型偏微分方程式とは異なり、定常状態をモデル化するために頻繁に使用されます。楕円型偏微分方程式の標準的な例は、ラプラス方程式とポアソン方程式です。楕円型偏微分方程式は純粋数学においても重要であり、微分幾何学や最適輸送など、 様々な研究分野の基礎となっています

定義

楕円微分方程式は、さまざまな文脈や一般性のレベルで現れます

まず、2変数の未知関数 に対する2階線形偏微分方程式を考えます。これはの関数で 、偏微分には 添え字表記を用います。平面楕円 の方程式との類推により、この偏微分方程式は楕円型と呼ばれます。 の方程式は放物型、の方程式は双曲型と呼ばれます。 ${\displaystyle u=u(x,y)}$ $${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,}$$ ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$$ ${\displaystyle B^{2}-AC=0}$ ${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

一般的な線形2階偏微分方程式では、未知数は任意の数の独立変数の関数であり、 対称性 を条件として定義域上で定義された関数で ある。この方程式は、対称行列の空間における値の関数として見たときに、すべての固有値がある正の定数よりも大きい場合、楕円型と呼ばれる。つまり、定義域内の 任意の点とすべての実数に対して、となる 正の数θが存在する。^{[1] [2]}${\displaystyle u=u(x_{1},\dots ,x_{n})}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\dots ,x_{n})u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})u_{x_{i}}+c(x_{1},\dots ,x_{n})u=f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$$ ${\displaystyle a_{ij},b_{i},c,f}$ ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$ ${\displaystyle a=(a_{ij})}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\dots ,x_{n})\xi _{i}\xi _{j}\geq \theta (\xi _{1}^{2}+\cdots +\xi _{n}^{2})}$$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}$

2階線形楕円型偏微分方程式の最も単純な例はラプラス方程式であり、係数は、、 の定数関数です。ポアソン方程式は、もう少し一般的な2階線形楕円型偏微分方程式であり、f がゼロである必要はありません。これらの方程式の両方において、楕円率定数θ は1とすることができます。 ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle a_{ii}=1}$ ${\displaystyle b_{i}=c=f=0}$

この用語は文献全体で一貫して使用されているわけではなく、ある著者が「楕円形」と呼ぶものを、他の著者は「厳密に楕円形」または「均一楕円形」と呼んでいます。^[3]

非線形および高次方程式

楕円性は、より一般的な方程式のクラスに対しても定式化できる。最も一般的な2階偏微分方程式は、

${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u,x_{1},\dots ,x_{n})=0}$

ある関数Fに対して、方程式を線形化し、上記の線形定義を適用することで楕円度が定義されます。線形化は特定の関数 において行われるため、非線形2階偏微分方程式の楕円度は方程式自体だけでなく、対象となる解にも依存します。例えば、最も単純なモンジュ・アンペール方程式は、未知関数の ヘッセ行列の行列式を含みます。${\displaystyle u}$

${\displaystyle \det D^{2}u=f.}$

行列式の微分に関するヤコビの公式から分かるように、 が正関数であり、解が一様凸であるという制約を満たす場合、この方程式は楕円型である。^[4]${\displaystyle f}$

高階の楕円型偏微分方程式も存在し、最も単純な例は4階の重調和方程式である。^[5]さらに一般的には、複数の未知関数に対する結合偏微分方程式からなる重要な楕円系が存在する。 ^[6]例えば、複素解析におけるコーシー・リーマン方程式は、 2変数実関数のペアに対する1階の楕円系とみなすことができる。^[7]

さらに、楕円型偏微分方程式（任意の次数、系を含む）のクラスは、さまざまな弱解の概念、すなわち、さまざまな不規則性（例えば、微分不可能性、特異点、不連続性）を持つ解を許容する方法で方程式を再定式化し、滑らかでない物理現象をモデル化することの対象となります。^{[8]このような解は}変分法でも重要であり、直接法ではオイラー方程式の楕円系に対して弱解がしばしば生成されます。^[9]

標準形

2変数関数の2階楕円型偏微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle A(x,y)u_{xx}+2B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$

この方程式は、最高次の項では線形ですが、関数値とその1次導関数を含む非線形表現が可能です。 これは準線形方程式と呼ばれることもあります${\displaystyle u=u(x,y)}$

標準形は、 uをwとzの関数として見たとき、上の式が次の形になる ように、ドメインの変換を要求する。${\displaystyle (w,z)=(w(x,y),z(x,y))}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle u_{ww}+u_{zz}+F(u_{w},u_{z},u,w,z)=0}$

何らかの新しい関数Fに対して、このような変換の存在は、A、B、Cが実解析関数である場合、またより精緻な作業によって、それらが連続的に微分可能な場合であっても、局所的に証明できる。局所性とは、必要な座標変換がuの領域全体で定義できず、領域内の特定の点を囲む小さな領域でのみ定義できることを意味する。^[10]

このような変換の存在を形式的に証明するには、ベルトラミ方程式の解の存在を用いる。微分幾何学の観点からは、標準形の存在は、関連するリーマン計量の等温座標の存在と同値である。

${\displaystyle A(x,y)dx^{2}+2B(x,y)\,dx\,dy+C(x,y)dy^{2}}$

領域上で。（偏微分方程式の楕円性条件、すなわちAC – B ²の正値は、このテンソルまたはその否定が実際にリーマン計量であることを保証するものです。）

2変数以上の2階準線型楕円偏微分方程式には、通常、標準形は存在しない。これは、高次元の一般的なリーマン計量には等温座標が存在せず、非常に特殊な計量にのみ等温座標が存在するという事実に対応する。^[11]

特性と正則性

一般的な2階線形偏微分方程式では、特性は関連するテンソルの零方向として定義されます^[12]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx^{i}\,dx^{j},}$

主記号と呼ばれる。波面集合の技術を用いると、特性はfの不規則な点がPDEの解uにどのように伝播するかを理解するのに重要になる。非公式には、関数の波面集合は、滑らかでない点と、滑らかさを欠く周波数空間の方向から構成される。滑らかな係数を持つ線形微分演算子を適用しても、波面集合から点が削除される効果しかないというのは基本的な事実である。^[13]しかし、元の波面集合のすべての点（場合によってはそれ以上）は、演算子の（実）特性方向に加算することで回復される。^[14]

滑らかな係数を持つ線型楕円演算子Pの場合、主な記号はリーマン計量であり、実数の特性方向は存在しません。前の段落によれば、解uの波面集合はPu = fの波面集合と正確に一致することになります。これにより、 fが滑らかであれば（つまり、その波面集合が空であれば）、解uも滑らかであるという基本的な正則定理が成立します。より一般的には、 u が滑らかでない点は、fが滑らかでない点と一致します。 ^[15]この正則現象は、例えば、方程式のすべての係数が滑らかであっても不連続性が形成される可能性がある双曲型 PDEとは対照的です。

楕円型偏微分方程式の解は、当然のことながら、放物型偏微分方程式または双曲型偏微分方程式の時間独立解と結びついています。たとえば、熱方程式の時間独立解は、ラプラス方程式 を解きます。つまり、放物型および双曲型偏微分方程式が動的システムのモデリングと結びついている場合、楕円型偏微分方程式の解は定常状態と結びついています。非公式には、定常状態は一般に真に動的な解の平滑化されたバージョンであるため、これは上記の正則性定理を反映しています。ただし、モデリングで使用される偏微分方程式は非線形であることが多く、上記の正則性定理は線形楕円方程式にのみ適用されます。さらに、非線形楕円方程式の正則性理論ははるかに微妙で、解が必ずしも滑らかになるとは限りません。

参照

• 楕円型境界値問題
• 楕円演算子
• 双曲型偏微分方程式
• 放物型偏微分方程式
• 最大原理（解の性質）
• ソボレフ空間

注釈

1. Evans 2010、第6章
2. Zauderer 2006、第3.3章「一般的な方程式の分類」
3. Evans（2010、p.311）とGilbarg＆Trudinger（2001、pp.31、441）と比較してください。
4. ギルバーグ＆トゥルーディンガー 2001、第17章。
5. John 1982、第6章; Ladyzhenskaya 1985、セクションV.1; Renardy＆Rogers 2004、セクション9.1。
6. アグモン 2010; モリー 1966.
7. クーラント＆ヒルベルト 1962年、176ページ。
8. Crandall, Ishii & Lions 1992; Evans 2010、第6章; Gilbarg & Trudinger 2001、第8章および第9章; Ladyzhenskaya 1985、セクションII.2およびV.1; Renardy & Rogers 2004、第9章。
9. ジアキンタ 1983;モーリー、1966 年、8、480 ページ。
10. クーラント＆ヒルベルト 1962年。
11. スピヴァック 1979.
12. ヘルマンダー 1990、152ページ。
13. ヘルマンダー 1990、256ページ。
14. ヘルマンダー、1990 年、定理 8.3.1。
15. ヘルマンダー 1990、結果 8.3.2。

参考文献

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参考文献

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外部リンク

• 「楕円偏微分方程式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「楕円偏微分方程式、数値解析法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「楕円偏微分方程式」。MathWorld。