楕円コホモロジー

数学において、楕円コホモロジーは代数位相幾何学におけるコホモロジー理論の一種である。楕円曲線やモジュラー形式と関連している。

歴史と動機

歴史的に、楕円コホモロジーは楕円型種族の研究から生じた。アティヤとヒルツェブルッフは、スピン多様体に対して が滑らかかつ非自明に作用する場合、ディラック作用素の指数が消えることを知られていた。 1983 年に、ウィッテンは、この状況では特定のツイストディラック作用素の同変指数は少なくとも一定であると予想した。これは多様体への -作用に関する他のいくつかの問題につながり、オカニンは楕円型種族を導入することでこれらの問題を解決することができた。次に、ウィッテンはこれらの問題を自由ループ空間上の（予想上の）指数理論に関連付けた。 楕円コホモロジーは、1980 年代後半にランドウェーバー、ストン、ラヴェネルによって元の形で発明され、楕円型種族に関するいくつかの問題を明確にし、自由ループ空間上の微分作用素族の（予想上の）指数理論の文脈を提供するために導入された。ある意味では、これは自由ループ空間の K 理論の近似として見ることができます。${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

定義と構成

i が奇数で可逆元が存在するとき、コホモロジー理論は偶周期的であると呼ぶ。これらの理論は複素配向を持ち、形式群法則を与える。形式群法則の特に豊富な情報源は楕円曲線で ある。${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A^{i}=0}$ ${\displaystyle u\in A^{2}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{0}=R}$

が周期的であり、その形式群法則が上の楕円曲線の形式群法則と同型であるとき、は楕円型と呼ばれる。このような楕円コホモロジー理論の通常の構成には、ランドウェーバーの完全関数定理が用いられる。 の形式群法則がランドウェーバー完全ならば、有限複体上の楕円コホモロジー理論を次のように定義できる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle A^{*}(X)=MU^{*}(X)\otimes _{MU^{*}}R[u,u^{-1}].\,}$

フランケは、ランドウェーバーの正確さを満たすために必要な条件を特定しました。

1. ${\displaystyle R}$ 平らにする必要がある${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. の既約成分は存在せず、そのファイバーは任意の${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}R/pR}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

これらの条件は、楕円種に関連する多くのケースで検証できる。さらに、楕円曲線のモジュライスタックから形式群のモジュライスタックへの写像が普遍的なケースでも満たされるという意味で、これらの条件は満たされる。

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}\to {\mathcal {M}}_{fg}}$

は平坦である。これはコホモロジー理論の前層を与える。

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{e\ell \ell }^{pre}:{\text{Aff}}/({\mathcal {M}}_{1,1})_{flat}\to {\textbf {スペクトル}}}$

楕円曲線のモジュライスタック上平坦なアフィンスキームのサイト上。大域切断をとることで普遍楕円コホモロジー理論を得たいという願望は、位相モジュラー形式^[1]の構築につながった^{。20ページ}

${\displaystyle \mathbf {Tmf} ={\underset {X\to {\mathcal {M}}_{1,1}}{\textbf {Holim}}}{\text{ }}{\mathcal {O}}_{e\ell \ell }^{pre}(X)}$

前のサイト上のこの前層のホモトピー極限として。

参照

• スペクトル代数幾何学
• 中間ヤコビアン
• 彩色ホモトピー理論

参考文献

1. Goerss, Paul G. (2009-05-08). 「Landweber Exact Homology Theories の族の実現」. arXiv : 0905.1319 [math.AT].

• Franke、Jens (1992)、「楕円コホモロジーの構築について」、Mathematische Nachrichten、158 (1): 43–65、doi :10.1002/mana.19921580104。
• ランドウェーバー, ピーター S. (1988)、「楕円種：入門概要」、ランドウェーバー, PS (編)、『楕円曲線と代数的位相幾何学におけるモジュラー形式』、数学講義ノート、第1326巻、ベルリン: シュプリンガー、pp.  1-10、ISBN 3-540-19490-8。
• ランドウェーバー, ピーター S. (1988)、「楕円コホモロジーとモジュラー形式」、ランドウェーバー, PS (編)、『代数的位相幾何学における楕円曲線とモジュラー形式』、数学講義ノート、第1326巻、ベルリン: シュプリンガー、pp.  55– 68、ISBN 3-540-19490-8。
• Landweber, P.S.; Ravenel, D. & Stong, R. (1995)「楕円曲線によって定義される周期コホモロジー理論」、Cenkl, M. & Miller, H. (編)、『チェフ生誕100周年記念 1993』、Contemp. Math.、vol. 181、ボストン: Amer. Math. Soc.、pp.  317– 338、ISBN 0-8218-0296-8。
• ルリー、ヤコブ（2009）「楕円コホモロジー概論」、ニルス・バース、エリック・M・フリードランダー、ビョルン・ヤーレン、他編『代数的位相学：アーベルシンポジウム2007』、ベルリン：シュプリンガー、pp.  219– 277、doi :10.1007/978-3-642-01200-6、hdl : 2158/373831、ISBN 978-3-642-01199-3。

設立記事

• 楕円コホモロジー -グレアム・シーガル

カラビ・ヤウ多様体への拡張

• K3スペクトラ
• 明示的なK3スペクトルの構築
• ゲージ理論、弦理論、コホモロジーにおける楕円曲線