準楕円演算子

偏微分方程式の理論において、開集合上に定義された偏微分作用素${\displaystyle P}$

${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n}}$

が(滑らか)であるような開部分集合上に定義された 任意の超関数に対して、も でなければならないとき、 は準楕円型と呼ばれます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V\subset U}$ ${\displaystyle Pu}$ ${\displaystyle C^{\infty}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{\infty}}$

この主張が を実解析的に置き換えても成り立つ場合、 は解析的に準楕円型であると言われます。 ${\displaystyle C^{\infty}}$ ${\displaystyle P}$

係数を持つ楕円型作用素はすべて準楕円型である。特に、ラプラシアンは準楕円型作用素の一例である（ラプラシアンは解析的にも準楕円型である）。さらに、熱方程式（） の作用素は${\displaystyle C^{\infty}}$ ${\displaystyle P(u)=u_{t}-k\,\デルタ u\,}$

${\displaystyle P=\partial _{t}-k\,\Delta _{x}\,}$

（ただし）は楕円型ではないが、準楕円型である。しかし、波動方程式（） の演算子は${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle P(u)=u_{tt}-c^{2}\,\デルタ u\,}$

${\displaystyle P=\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{x}\,}$

(ただし) は亜楕円形ではありません。 ${\displaystyle c\neq 0}$

参考文献

• 島倉 則夫 (1992).楕円型偏微分作用素：島倉則夫訳. アメリカ数学会, プロビデンス, ロードアイランドISBN 0-8218-4556-X。
• エゴロフ, Yu. V.; シュルツェ, Bert-Wolfgang (1997).擬微分作用素、特異点、応用. ビルクハウザー. ISBN 3-7643-5484-4。
• ウラジミロフ, VS (2002).一般化関数理論の方法. テイラー＆フランシス. ISBN 0-415-27356-0。
• フォランド, GB (2009).フーリエ解析とその応用. AMS. ISBN 978-0-8218-4790-9。

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