エリス排水口

エリス・ドレインホールは、通過可能なワームホールの最も初期の完全な数学モデルとして知られています。これは、アインシュタインの真空場方程式の静的かつ球対称な解であり、時空の幾何学に最小限に結合したスカラー場を、正の極性とは反対の極性（正ではなく負）で組み込むことで拡張されています。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\mathbf {R} }_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}{\mathbf {R} }\,g_{\mu \nu }=-2\,\left(\phi _{,\mu }\phi _{,\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}\phi ^{,\kappa }\phi _{,\kappa }\,g_{\mu \nu }\right)\,.}$

概要

解は1969年（最初の提出日）にホーマー・G・エリス^{[ 1 ] [ a ]}によって、またほぼ同時期にキリル・A・ブロニコフ^{[ 2 ]}によって独立に発見された。 ブロニコフは、解の位相の2次元類似体は一枚の双曲面であり、反正統的な結合極性を用いることでのみそのような位相を持つ解が得られると指摘した。エリスは、重力を受ける素粒子のシュワルツシルト模型の非特異な置換を見つけることを動機としており、反正統的な極性のみが適切であることを示したが、ブロニコフと同様に、どちらの極性についてもすべての解を見つけた。彼は反正統的な極性の解多様体の幾何学をかなり詳細に研究し、

• 2つの漸近的に平坦な3次元領域が2つの球面（「排水口」）で結合されて構成されている。
• 特異点フリー、
• 一方通行の事象の地平線が存在しない、
• 測地学的に完全
• 排水口の片側では重力的に引力があり、もう片側ではより強い反発力がある。
• 彼は時間的ベクトル場を備え、引力側の無限遠の静止から排水口に流れ込み、斥力側の無限遠まで流れ出る「エーテル」の速度場として解釈し、ずっと加速することで重力を「作り出す」（または反応する）と解釈した。
• 光子とテスト粒子が排水孔をどちらの方向にも通過可能。

シェトゥアニとクレマンの論文は、エーテルの流れがなく重力も存在しない排水孔という特殊なケースに「エリス幾何学」という名前を与えました。これはクレマンの編集者への手紙でも同様です。^{[ 3 ] [ 4 ]}この特殊なケースはしばしば「エリス・ワームホール」 と呼ばれます。本格的な排水孔が、その典型的な通過可能なワームホールとしての役割を担っていると考えられる場合、エリスと並んでブロニコフの名前が付けられます。

1. ここで使用されているのは、エリスの論文に掲載されているもののネガです。${\displaystyle {\mathbf {R} }_{\mu \nu }}$

排水口の解決策

エリスワームホール（排水孔ではない）の赤道断面、カテノイド${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

上下に重なった 2 つのユークリッド平面を想像してください。同じ半径の 2 つの円を上下に選び、それらの内部を切り取ります。次に、円のところで外部を接着し、接着部分に鋭いエッジができないように外部を滑らかに曲げます。注意深く行えば、右に示すカテノイド 、またはそれに似た形状になります。次に、上部と下部の連結された空間全体が、渦を巻くことなく上から穴に流れ込み下側から出て行く流体で満たされている様子を想像してください。流体はずっと速度を増し、下側の領域が、図で見られるよりも円錐形に曲がっている様子 を想像してください。この映画をフラット スクリーンから 3D にステップアップし、平面をユークリッド三次元空間に、円を球に置き換え、流体があらゆる方向から上から穴に流れ込み、方向を変えずに下から出て行く様子を考えると、「排水口」がどのようなものかかなりよくわかるでしょう。排水口を時空多様体として技術的に記述したものは、1973年に発表された時空計量によって提供される。^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

1973年にエリスが提示した排水口の計量解は、固有時間形式（明示的に存在する） を持つ。${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f(\rho )\,c\,dt]^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f^{2}(\rho )\right]\,c^{2}dT^{2}-{\frac {1}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\end{aligned}}\,,}$

どこでそして${\displaystyle \;\;d\Omega ^{2}=d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta )^{2}d\varphi ^{2}\;\;}$ ${\displaystyle \;\;T=t+{\displaystyle {\frac {1}{c}}\!\int \!\!\!{\frac {f(\rho )}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho \,.}}$

解は2つのパラメータ と に依存し、不等式を満たすがそれ以外は制約されない。これらを用いて関数 とは次のように与えられる。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq m<n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(\rho )=-{\sqrt {1-e^{-(2\,m/n)\phi }}}}$

そして

${\displaystyle r(\rho )=\textstyle {\sqrt {(\rho -m)^{2}+a^{2}}}}$ ${\displaystyle e^{(m/n)\phi }={\sqrt {\frac {(\rho -m)^{2}+a^{2}}{1-f^{2}(\rho )}}}\,,}$

その中で

${\displaystyle \phi =\alpha (\rho )={\frac {n}{a}}\left[{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}\left({\frac {\rho -m}{a}}\right)\right]}$ そして${\displaystyle \;a={\sqrt {n^{2}-m^{2}}}.}$

座標範囲は

${\displaystyle -\infty <t\,,T<\infty \,,\;\,-\infty <\rho <\infty \,,\;\;0<\vartheta <\pi \,,\;\;}$ そして${\displaystyle \;\,-\pi <\varphi <\pi \,.}$

（シュワルツシルト解との比較を容易にするために、元の解の は に置き換えられている） ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho -m.}$

漸近的に、 ${\displaystyle \rho \to \infty }$

${\displaystyle \alpha (\rho )\sim n/\rho \,,\;\;r(\rho )\sim \rho \,,\;\;f(\rho )\sim -{\sqrt {2m/\rho }}\,,\;\;}$ そして${\displaystyle \;\;f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \,.}$

これらは、排水口の計量とシュワルツシルト計量を比較すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f_{\text{S}}(\rho )\,c\,dt]^{2}-r_{\text{S}}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )\right]\,c^{2}\,dT^{2}-{\frac {1}{1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r_{S}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\,,\end{aligned}}}$

ここで、部分的に（）幾何化された単位では、 ${\displaystyle G=c}$

${\displaystyle r_{\text{S}}(\rho )=\rho \,,\;\;f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,,\;\;}$ そして${\displaystyle \;\;f_{\text{S}}^{2}(\rho )=2M/\rho \,,}$

パラメータはシュワルツシルト質量パラメータのドレインホールのアナログである。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$

一方、 ${\displaystyle \rho \to -\infty }$

${\displaystyle \alpha (\rho )\sim n\pi /a\,,\;\;r(\rho )\sim -\rho e^{m\pi /a}\,,\;\;}$ そして${\displaystyle \;\;f^{2}(\rho )\sim 1-e^{-2m\pi /a}\,.}$

以下の のグラフは、これらの漸近挙動と、 （ここでシュワルツシルト計量には、 の外部と のブラックホール内部を隔てる悪名高い一方通行の事象の地平線がある） に対応して、が正の最小値に達し、その値で「上部」領域（）がより広々とした「下部」領域（ ）に広がるという事実を示しています。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho =2M}$ ${\displaystyle \rho >2M}$ ${\displaystyle \rho <2M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho =2m}$ ${\displaystyle \rho >2m}$ ${\displaystyle \rho <2m}$

グラフ${\displaystyle r}$

グラフ${\displaystyle f^{2}}$

エーテルの流れ

ベクトル場は、固有時間によってパラメータ化された放射状測地線を生成し、これは測地線に沿った 座標時間と一致する。${\displaystyle \partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$

のグラフから推測できるように、これらの測地線のいずれかをたどる試験粒子は、静止状態から排水口に向かって下方に落下し、排水口を通過して下方領域に出て、さらに下方向に速度を増し、到達する。 ${\displaystyle f^{2}}$ ${\displaystyle \rho =\infty ,}$ ${\displaystyle \rho =-\infty }$

${\displaystyle \mathrm {speed} =c|f(-\infty )|=c{\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}<c.}$

問題のベクトル場は、時空全体に遍​​在する、多かれ少なかれ実体のある「エーテル」の速度場と解釈される。このエーテルは一般に「電磁波の伝播における単なる不活性媒体以上のものである。それは、内部の相対運動が重力として我々に現れる、落ち着きなく流れる連続体である。質量を持つ粒子は、この流れるエーテルの源泉あるいは流し場として現れる。」^{[ 1 ]}

一般に時間的測地線の場合、動径運動方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\rho }{d\tau ^{2}}}&=-\left({\frac {f^{2}}{2}}\right)^{\mathbf {\prime } }(\rho )+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\\&=-{\frac {m}{r^{2}(\rho )}}+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$

このことから、

• それは、重力の下向きの引力を生み出す項で測定されるエーテルの流れの「伸張」である。${\displaystyle -(f^{2}/2)'(\rho )}$
• 排水口から落ちるほど軌道が下がるすべての試験粒子は、${\displaystyle \rho =3m}$
• 下向きの引力と釣り合うのに十分な角速度を持つテスト粒子が存在する ため、その軌道（特に円形のもの）は、上側の領域の一部に限定される。${\displaystyle |d\Omega /d\tau |}$ ${\displaystyle \rho >3m}$
• 下向きの引力は、上部領域では排水口に向かう加速、つまり引力を生み出しますが、下部領域では排水口から離れる加速、つまり斥力を生み出します。
• 下向きの引力は、 が最小値、つまり排水口の「喉」で最大となり、${\displaystyle r(\rho )}$ ${\displaystyle \rho =2m}$
• テスト粒子が宇宙のどこにでも静止できる場合（ ）。 （これはエリスワームホールとして知られる非重力排水孔の特殊なケースです。）${\displaystyle m=0,}$ ${\displaystyle d\rho /d\tau =d\Omega /d\tau =0}$

通過可能性

動径運動方程式から明らかなように、上面領域の任意の点から放射状速度（）を持たずに出発した試験粒子は、十分な角速度 がなければ 、排水孔を通って下面領域に落下します。それほど明確ではありませんが、下面領域の任意の点から出発した試験粒子は、十分な上向きの速度があれば排水孔を通過して上面領域に落下できることは事実です。したがって、排水孔は試験粒子が両方向に「通過可能」です。光子についても同様です。 ${\displaystyle d\rho /d\tau =0}$ ${\displaystyle d\Omega /d\tau }$

排水口の測地線の完全なカタログはエリスの論文に掲載されています。^{[ 1 ]}

地平線と特異点の欠如、測地学的完全性

排水孔計量の一般形の計量、すなわち流れるエーテルの速度場として をおくと、放射状ヌル測地線の座標速度は、エーテルの流れに逆らって進む光波については 、流れに沿って進む光波については となる。となるような場所ではどこでも、エーテルの流れに逆らって進む光波は勢いを増すことができる。一方、上流の光波がせいぜい持ちこたえられる程度（ の場合）か、そうでなければエーテルの流れる下流へと流される（ の場合）。（この状況は、「軽いカヌーに乗る人はエーテルの急流を避けるべきだ」という冗談めかした表現で表現されている。^{[ 1 ]}） ${\displaystyle \partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }}$ ${\displaystyle d\rho /dt}$ ${\displaystyle c(f(\rho )+1)}$ ${\displaystyle c(f(\rho )-1)}$ ${\displaystyle f(\rho )>-1}$ ${\displaystyle c(f(\rho )+1)>0}$ ${\displaystyle f(\rho )\leq -1}$ ${\displaystyle f(\rho )=-1}$ ${\displaystyle f(\rho )<-1}$

後者の状況はシュワルツシルト計量で見られ、はシュワルツシルト事象の地平線 にあり、の地平線の内側では より小さくなります。 ${\displaystyle \textstyle f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle r_{\text{S}}(\rho )=\rho =2M}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \rho <2M}$

対照的に、排水口とでは、 のあらゆる値に対して、エーテルの流れに逆らって奮闘する光波が一方の側に進出できない地平線はどこにも存在しません。 ${\displaystyle \textstyle f^{2}(\rho )<1-e^{-2m\pi /a}<1}$ ${\displaystyle \textstyle f(\rho )=-\left[f^{2}(\rho )\right]^{1/2}>-1}$ ${\displaystyle \rho }$

なぜなら

• ${\displaystyle r}$ および実数直線全体上で定義され、${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle r}$ は からによって制限される）、そして${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r(2m)}$
• ${\displaystyle f^{2}}$ は（ によって）離れる方向に制限される、${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}}$

排水口計量は、 となる「座標特異点」も となる「幾何学的特異点」も含まず、漸近的なものさえも含まない。同様の理由から、非束縛軌道を持つすべての測地線、および何らかの追加の引数を伴う束縛軌道を持つすべての測地線は、パラメータが からまで拡張されるアフィン媒介変数化を持つ。したがって、排水口多様体は測地学的に完全 である。 ${\displaystyle 1-f^{2}(\rho )\to 0}$ ${\displaystyle r(\rho )\to 0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

反発の強さ

先に見たように、エーテル流の伸張は上部領域においてテスト粒子の下向きの加速を生み出し、これは と相まって、非局在化ドレインホール粒子の引力による重力質量として同定されます。下部領域では、下向きの加速は形式的には同じですが、 が ではなく に漸近するため、ドレインホール粒子の斥力による重力質量が であると推論することはできません。 ${\displaystyle -m/r^{2}(\rho )}$ ${\displaystyle r(\rho )\sim \rho }$ ${\displaystyle \rho \to \infty }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r(\rho )}$ ${\displaystyle -\rho e^{m\pi /a}}$ ${\displaystyle -\rho }$ ${\displaystyle \rho \to -\infty }$ ${\displaystyle -m}$

排水孔の反発質量を知るには、上部領域と下部領域を交換する排水孔多様体の等長性を求める必要がある。このような等長性は次のように記述できる。排水孔多様体（パラメータはおよび ）とし、排水孔多様体（パラメータはおよび）とする。ここで、 ${\displaystyle M_{m,n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle {\bar {m}}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}}$

${\displaystyle {\bar {m}}=-me^{m\pi /a}}$

そして

${\displaystyle \;\;{\bar {n}}=ne^{m\pi /a}.}$

等長変換は、座標を持つ点と座標を持つ点を同一視する。このことから、 とは実際には同一の多様体であり、の重力質量を持つ上部領域に偽装された下部領域は、真の上部領域がテスト粒子を引き付けるよりも強く重力的に反発し、その比は であることが推論される。 ${\displaystyle M_{m,n}}$ ${\displaystyle [T,\rho ,\vartheta ,\varphi ]}$ ${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle [{\bar {T}},{\bar {\rho }},{\bar {\vartheta }},{\bar {\varphi }}]=[Te^{-m\pi /a},-\rho e^{m\pi /a},\vartheta ,\varphi ]}$ ${\displaystyle M_{m,n}}$ ${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle \rho \to -\infty ,}$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}\to \infty }$ ${\displaystyle {\bar {m}}}$ ${\displaystyle \,|{\bar {m}}|/|m|=-{\bar {m}}/m=e^{m\pi /a}>1}$

漸近平坦性

漸近的な動作からわかるように、排水口は漸近的に平坦です。また、前述の と間の等長変換後の対応する動作からわかるように、排水口は漸近的に平坦です。${\displaystyle \rho \to \infty }$ ${\displaystyle r(\rho )\sim \rho }$ ${\displaystyle f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \sim 0.}$ ${\displaystyle \rho \to -\infty }$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}\to \infty }$ ${\displaystyle M_{m,n}}$ ${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$

パラメータn

排水孔の重力引力質量として解釈されるパラメータ とは異なり、パラメータ には明確な物理的解釈がありません。これは本質的に、のときからのときまで増加する排水孔の喉部の半径と、のときから のときまで減少するスカラー場のエネルギーの両方を固定します。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r(2m)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle ne}$ ${\displaystyle m\to n,}$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle n\pi /2}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle m\to n}$

2015年の論文^{[ 5 ]}の6.1節で述べた理由から、エリスは、排水孔によってモデル化された粒子の慣性質量を何らかの形で規定すると示唆している。彼はさらに、「この考えを『ヒッグス的』に表現すると、排水孔はスカラー場から（慣性）質量を『獲得する』と言える」と述べている。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi }$

応用

エリスは、1916年にアインシュタインが提唱した、慣性質量が重力の源であるという根拠のない仮定を否定することで、改良された新たな場の方程式を導き出した。その解は、1998年に宇宙膨張の加速を明らかにした超新星観測によく適合する宇宙論モデルである。^{[ 5 ]} これらの方程式には、時空幾何学に最小限に結合し、互いに反対極性を持つ2つのスカラー場が存在する。「宇宙定数」は、原始的な排水口「トンネル」の存在と、それぞれが引力よりも斥力の方が大きい新しいトンネルの継続的な生成に起因する、重力物質の正味の斥力密度に置き換えられる。可視物質の粒子に関連する排水口トンネルが重力を生じ、可視物質に関連しない排水口トンネルは目に見えない「暗黒物質」である。「暗黒エネルギー」は、すべての排水口トンネルの正味の斥力密度である。この宇宙モデルでは、 「ビッグバン」の代わりに「ビッグバウンス」が起こり、そのバウンスからインフレーション加速が起こり、減速惰性走行の時代へとスムーズに移行し、最終的にド・ジッターのような指数関数的膨張に戻るとしている 。 ${\displaystyle \Lambda }$

さらなる応用

• エリスワームホールは、2014年の映画『インターステラー』に登場する通過可能なワームホールを構築するための出発点となった（ただし、最終的に使用されたモデルは大きく異なっていた）。^{[ 6 ]}
• エリスワームホールによる散乱^{[ 7 ]}
• エリスワームホールにおける空間レンズ効果（重力がない ので 重力レンズ効果ではない）
  • エリスワームホールによるマイクロレンズ効果^{[ 8 ]}
  • エリスワームホールによるレンズ効果の波動効果^{[ 9 ]}
  • エリスワームホールによるマイクロレンズ効果による像の重心の変位^{[ 10 ]}
  • エリスワームホールの正確なレンズ方程式^{[ 11 ]}
  • ワームホールによるレンズ効果^{[ 12 ] [ 13 ]}

参考文献

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