細長い三角錐
細長い三角錐
タイプジョンソンJ 6 – J 7 – J 8
顔4つの三角形と3つの正方形
エッジ12
頂点7
頂点構成1(3 3 ) 3(3.4 2 ) 3(3 2 .4 2 )
対称群C 3v、[3]、(*33)
回転グループC 3 , [3] + , (33)
二重多面体自己双対[ 1 ]
プロパティ凸状
ネット
細長い三角錐の3Dモデル

幾何学において、細長い三角錐はジョンソン立体（J 7 ）の一つである。その名の通り、四面体の底面に三角柱を取り付けて、それを細長くすることで構成できる。他の細長い錐体と同様に、結果として得られる立体は位相的に（ただし幾何学的にはそうではない）自己双対である。

工事

細長い三角錐は、正四面体を三角柱の底面の1つに取り付けることによって構築されます。このプロセスは伸長として知られています。[ 2 ]正四面体は正三角形を覆い、それを他の3つの正三角形に置き換えます。その結果得られる多面体は、4つの正三角形と3つの正方形を面として持つことになります。[ 3 ]すべての面が正多角形である凸多面体はジョンソン立体と呼ばれ、細長い三角錐はその中に含まれ、7番目のジョンソン立体として列挙されています。[ 4 ]J7{\displaystyle J_{7}}

プロパティ

細長い三角錐の高さ（すなわち、正四面体の頂点と三角形の底辺の中心の間の距離）は、正四面体と三角柱の高さに等しい。表面積は、8つの正三角形と3つの正方形の面積をすべて足し合わせることで計算できる。体積は、正四面体と三角柱に分割し、それぞれの体積を足し合わせることで計算できる。辺の長さを とすると、それぞれの公式は以下の通りである。 [ 5 ] [ 3 ]h{\displaystyle h}あ{\displaystyle A}V{\displaystyle V}1つの{\displaystyle a}h＝（1+63）1つの≈1.8161つの、あ＝（3+3）1つの2≈4.7321つの2、V＝（112（2+33））1つの3≈0.5511つの3。{\displaystyle {\begin{aligned}h&=\left(1+{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)a\approx 1.816a,\\A&=\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 4.732a^{2},\\V&=\left({\frac {1}{12}}\left({\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)\right)a^{3}\approx 0.551a^{3}.\end{aligned}}}

これは3次元対称群、位数6の巡回群を持つ。その二面角は、四面体と三角柱の角度を加えることで計算できる。[ 6 ]C3v{\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}

  • 四面体における二つの隣接する三角形の面間の二面角は である。arccos⁡(13)≈70.5∘{\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 70.5^{\circ }}
  • 三角柱の正方形と底辺との間の二面角は であり、四面体と三角柱が接続される辺における正方形と三角形との間の二面角は である。π2=90∘{\textstyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}arccos⁡(13)+π2≈160.5∘{\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 160.5^{\circ }}
  • 隣接する2つの正方形の面の間の三角柱の二面角は、正三角形の内角です。π3=60∘{\textstyle {\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}

参考文献

  1. ^ドラギチェスク, ミルチャ. 「デュアルモデル：一つの形状で全てを形作る」 . エヴァ・トーレンス、ブルース・トーレンス、カルロ・H・セキン、ダグラス・マッケナ、クリストフ・フェニヴェシ、レザ・サルハンギ（編）. 『Bridges Finland：数学、音楽、美術、建築、教育、文化』（PDF） .  635– 640ページ.
  2. ^ Rajwade, AR (2001).凸多面体と正則性条件およびヒルベルトの第三問題. 数学テキストと読書. Hindustan Book Agency. p. 84–89. doi : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 978-93-86279-06-4。
  3. ^ a bバーマン、マーティン (1971). 「正面凸多面体」.フランクリン研究所ジャーナル. 291 (5): 329– 352. doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . MR 0290245 . 
  4. ^上原龍平 (2020).計算折り紙入門：新しい計算幾何学の世界. シュプリンガー. p. 62. doi : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682 .
  5. ^ Sapiña、R. 「ジョンソン固体の面積と体積」。問題とエクアシオネス(スペイン語)。ISSN 2659-9899 。2020-09-09に取得。J8{\displaystyle J_{8}} 
  6. ^ジョンソン、ノーマン W. ( 1966). 「正則面を持つ凸多面体」 . Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200 . doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603 .   

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