活気のある空間

数学、より正確には関数解析において、エネルギー空間とは、直感的に言えば、与えられた実ヒルベルト空間の部分空間であり、新たな「エネルギー」内積を備えている。この名称の由来は物理学に由来する。多くの物理的問題において、系のエネルギーはエネルギー内積で表現できるからである。

活気のある空間

形式的には、内積とノルムを持つ実ヒルベルト空間を考える。を の線型部分空間とし、を強単調対称線型作用素、すなわち を満たす線型作用素と する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B:Y\to X}$

• ${\displaystyle (Bu|v)=(u|Bv)\,}$ 全員で${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle (Bu|u)\geq c\|u\|^{2}}$ 一定のすべてで${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y.}$

エネルギー内積は次のように定義される。

${\displaystyle (u|v)_{E}=(Bu|v)\,}$ 全員で${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle Y}$

そしてエネルギーの規範は

${\displaystyle \|u\|_{E}=(u|u)_{E}^{\frac {1}{2}}\,}$ 全員で${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y.}$

エネルギー内積を伴った集合は、前ヒルベルト空間である。エネルギー空間は、エネルギーノルムにおけるの完備化として定義される。 は、エネルギーノルムにおける任意のコーシー列がのノルムにおいてもコーシー列であるため、元のヒルベルト空間の部分集合とみなすことができる（これは の強単調性から導かれる）。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

エネルギー内積はからに拡張され 、${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{n})_{E}}$

ここで、およびはエネルギーノルム内 の点に収束するY内のシーケンスです。${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle (v_{n})}$ ${\displaystyle X_{E}}$

エネルギー拡張

オペレーターは精力的な拡張を認める${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{E}}$

${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$

で定義され、式で与えられる 双対空間の値を持つ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}}$ 全員で${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle X_{E}.}$

ここで、はとの間における双対性の括弧を表し、実際には ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{E}}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$ ${\displaystyle X_{E},}$ ${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}}$ ${\displaystyle (B_{E}u)(v).}$

とが元の部分空間の要素である場合、 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y,}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle }$

エネルギー内積の定義により、 の元である をリースの表現定理 を介して双対 の元と見なすと、も双対に含まれる（ の強単調性により）。これらの同一視により、上記の式から次の式が導かれる。言い換えれば、元の演算子は演算子 と見なすことができ、 はからへの関数拡張に過ぎない。${\displaystyle Bu,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle Bu}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{E}u=Bu.}$ ${\displaystyle B:Y\to X}$ ${\displaystyle B:Y\to X_{E}^{*},}$ ${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}.}$

物理学からの例

下向きの力の影響を受ける固定された端点を持つ弦。

実数直線（ここでは水平線とみなす）上の2点に両端が固定された弦を考える。弦の各点における垂直外力の密度を とする。ここで は 垂直方向を指す単位ベクトルであり、 は力の作用点における弦のたわみとする。たわみが小さいと仮定すると、弦の 弾性エネルギーは${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a\leq x\leq b)}$ ${\displaystyle f(x)\mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx}$

そして弦の 全位置エネルギーは

${\displaystyle F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.}$

位置エネルギーを最小にする偏向は、微分方程式を満たす。${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle -u''=f\,}$

境界条件付き

${\displaystyle u(a)=u(b)=0.\,}$

この方程式を考察するために、ルベーグ測度に関してすべての平方積分可能な関数のLp空間を考える。この空間は内積に関してヒルベルト空間である。 ${\displaystyle X=L^{2}(a,b),}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,}$

ノルムは次のように与えられる。

${\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u|u)}}.}$

を から2回連続微分可能な上の局所積分可能関数( )の集合とし、境界条件を満たすとすると、 はの線形部分空間となる。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{L}}_{\text{loc}}^{1}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u(a)=u(b)=0.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

式で与えられる 演算子を考える${\displaystyle B:Y\to X}$

${\displaystyle Bu=-u'',\,}$

したがって、たわみは次式を満たす。部分積分と境界条件 を用いると 、次の式が成り立つことがわかる。${\displaystyle Bu=f.}$

${\displaystyle (Bu|v)=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)}$

任意のおよびにおいて、したがって、は対称線形演算子です。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B}$ も強い単調性を示す。なぜなら、フリードリヒの不等式により、

${\displaystyle \|u\|^{2}=\int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu|u)}$

一部の人にとって${\displaystyle C>0.}$

演算子に関するエネルギー空間はソボレフ空間である。この研究の動機となった弦の弾性エネルギーは ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b).}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},}$

つまり、それはと 自身 のエネルギー内積の半分です。${\displaystyle u}$

弦の 全位置エネルギーを最小にするたわみを計算するには、この問題を次のように書きます。${\displaystyle u}$ ${\displaystyle F(u)}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=(f|v)\,}$ すべてin 。${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X_{E}}$

次に、真の解空間の有限次元部分空間における関数 を、通常、何らかの で近似します。例えば、 をエネルギー空間における連続区分線形関数とすると、有限要素法が得られます。この近似は、連立一次方程式を解くことで計算できます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{h}}$ ${\displaystyle u_{h}}$ ${\displaystyle u_{h}}$

エネルギーノルムは、 との間の誤差を測定するための自然なノルムであることがわかります。Céaの補題を参照してください。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{h}}$

参照

• 内積空間
• 正定値カーネル

参考文献

• ツァイドラー、エバーハルト（1995年）『応用関数解析：数理物理学への応用』ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-94442-7。

• ジョンソン、クラース（1987）.有限要素法による偏微分方程式の数値解法. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-34514-6。