エンゲルのアイデンティティ

エンゲル恒等式は、フリードリヒ・エンゲルにちなんで名付けられた数式で、エンゲル・リー環の場合はリー環のすべての元、エンゲル群の場合は群のすべての元が満たす方程式である。エンゲル恒等式は、エンゲル群の定義条件である。

正式な定義

リー環は、 非結合的環で、その乗法が反可換であり、環 のすべての元に対して定義されたリー括弧に関してヤコビ恒等式を満たす環として定義される。リー環がn-エンゲルリー環となるための必要条件は、 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

• のすべての場合、n-エンゲル恒等式${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle [x,[x,\ldots ,[x,[x,y]]\ldots ]]=0}$ （のn個のコピー）が満たされる。^[1]${\displaystyle x}$

群 の場合、前述の定義において、 [ x , y ] = x ⁻¹ • y ⁻¹ • x • yの定義を使用し、を に置き換えます。ここで は群の単位元です。^[2]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G}$

参照

• 随伴表現
• エフィム・ゼルマノフ
• エンゲルの定理

参考文献

1. Traustason, Gunnar (1993). 「エンゲル・リー代数」. Quart. J. Math. Oxford . 44 (3): 355– 384. doi :10.1093/qmath/44.3.355.
2. トラウスタソン、グンナール。 「エンゲルグループ（調査）」（PDF）。