エンストロフィー

流体力学において、エンストロフィーは別の種類の ポテンシャル密度、より具体的には、流体モデルにおける運動エネルギーに直接関連する量であり、流体の散逸効果に対応するものとして解釈できます。これは特に乱流の研究に有用であり、スラスタの研究、燃焼理論、気象学においてもしばしば用いられます。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

流体の流れを表す領域と一度弱微分可能なベクトル場（ナビエ・ストークス方程式の解など）が与えられたとき、そのエンストロフィーは次のように与えられる。^[1]${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}({\bf {u}}):=\int _{\Omega }|\nabla \mathbf {u} |^{2}\,d\mathbf {x} }$

ここで。この量はソボレフ空間における解の2乗セミノルムと同じである。 ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\left|\partial _{i}u^{j}\right|^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |_{H^{1}(\Omega )^{n}}^{2}}$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )^{n}}$

非圧縮流れ

流れが非圧縮性、または同等にの場合、エンストロフィーは渦度の2乗の積分として記述できます。^[2]${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$

${\displaystyle {\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,d\mathbf {x} }$

あるいは、流速の観点から言えば：

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{\Omega }|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,d\mathbf {x} }$

非圧縮ナビエ・ストークス方程式の文脈では、エンストロフィーは次の有用な結果に現れる：^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )}$

左側の括弧内の量は流れの運動エネルギーなので、この結果はエネルギーが動粘性率 とエンストロフィーの積に比例して減少することを示しています。 ${\displaystyle \nu }$

参照

• 大気循環
• 乱気流

参考文献

1. ナビエ・ストークス方程式と乱流. Ciprian Foiaş. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. 2001年. pp.  28– 29. ISBN 0-511-03936-0. OCLC  56416088。
2. Doering, CRおよびGibbon, JD (1995).ナビエ・ストークス方程式の応用解析, p. 11, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 052144568-X。

さらに読む

• 荒川 明; ラム, VR (1981年1月). 「浅水方程式におけるポテンシャルエンストロフィーとエネルギー保存則」.月刊気象評論. 109 (1): 18– 36.書誌コード:1981MWRv..109...18A. doi : 10.1175/1520-0493(1981)109<0018:APEAEC>2.0.CO;2 . ISSN  1520-0493.
• Umurhan, OM; Regev, O. (2004年12月). 「回転支持流れの流体力学的安定性：線形および非線形2次元せん断ボックスの結果」.天文学と天体物理学. 427 (3): 855– 872. arXiv : astro-ph/0404020 . Bibcode :2004A&A...427..855U. doi :10.1051/0004-6361:20040573. S2CID  15418079.
• ワイス, ジョン (1991年3月). 「二次元流体力学におけるエンストロフィー移動のダイナミクス」. Physica D: 非線形現象. 48 ( 2–3 ): 273– 294. Bibcode :1991PhyD...48..273W. doi :10.1016/0167-2789(91)90088-Q.