エンタングルメント支援スタビライザー形式

量子通信の理論において、エンタングルメント支援スタビライザー形式は、量子通信チャネルを介して量子データを送信する前に送信者と受信者の間で共有されるエンタングルメントの助けを借りて量子情報を保護する方法です。これは、共有エンタングルメントを 含めることによって標準的なスタビライザー形式を拡張しています(Brun et al. 2006)。エンタングルメント支援スタビライザーコードの利点は、送信者が任意のパウリ演算子セットのエラー訂正特性を利用できることです。送信者のパウリ演算子は、必ずしも量子ビット上のパウリ群のアーベル部分群を形成する必要はありません 。送信者は、グローバルスタビライザーがアーベルになるように共有ビットを巧みに使用して 、有効な 量子エラー訂正コードを形成できます。 ${\displaystyle \Pi^{n}}$ ${\displaystyle n}$

意味

エンタングルメント支援コード（Brun et al. 2006）の構築について概説する。サイズ の非可 換部分群が存在するとする。 シンプレクティック幾何学の基本定理（最初の外部参考文献の補題1）を適用すると、 の独立生成元の最小集合が存在し、 以下の交換関係を満たす ことが示される。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle nk=2c+s}$ ${\displaystyle \left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c},{\bar {X}}_{s+1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \left[{\bar {Z}}_{i},{\bar {Z}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \forall i,j,}$

${\displaystyle \left[{\bar {X}}_{i},{\bar {X}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \forall i,j,}$

${\displaystyle \left[{\bar {X}}_{i},{\bar {Z}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \forall i\neq j,}$

${\displaystyle \left\{{\bar {X}}_{i},{\bar {Z}}_{i}\right\}=0\ \ \ \ \ \forall i.}$

を上記の最小生成集合に分解すると、コードには補助量子ビットとeビットが必要であることがわかります。このコードでは、最小生成集合内のすべての反交換ペアに対してeビットが必要です。この要件の単純な理由は、 eビットがパウリ演算子の同時 -固有状態であるためです。eビット の2番目の量子ビットは、反交換ペアを交換ペアに 変換します。上記の分解は、コードに必要な eビットの数も最小化します。つまり、最適な分解です。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \left\{XX,ZZ\right\}}$ ${\displaystyle \left\{X,Z\right\}}$ ${\displaystyle \left\{XX,ZZ\right\}}$

非可換群は、 等方性部分群とエンタングルメント部分群という 2つの部分群に分割できます。等方性部分群は の可換部分群であり、したがって補助量子ビットに対応します。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}=\left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s}\right\}}$ 。

エンタングルメント部分群の要素は反交換ペアになっており、eビットに対応する。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}=\left\{{\bar {Z}}_{s+1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c},{\bar {X}}_{s+1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}\right\}}$ 。

エンタングルメント支援安定化コード誤り訂正条件

2つの部分群と は、エンタングルメント支援型安定化形式における誤り訂正条件において役割を果たす。エンタングルメント支援型符号は、 すべての に対して が成り立つとき、 集合内の誤りを訂正する。${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2}\in {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\in {\mathcal {S}}_{I}\cup \left(\Pi ^{n}-{\mathcal {Z}}\left(\left\langle {\mathcal {S}}_{I},{\mathcal {S}}_{E}\right\rangle \right)\right).}$

手術

エンタングルメント支援符号の動作は以下の通りである。送信者は、自身の保護されていない量子ビット、補助量子ビット、そして自身のeビットの半分に対してユニタリ符号化を実行する。符号化されていない状態は、以下のパウリ演算子の同時+1-固有状態である。

${\displaystyle \left\{Z_{1},\ldots ,Z_{s},Z_{s+1}|Z_{1},\ldots ,Z_{s+c}|Z_{c},X_{s+1}|X_{1},\ldots ,X_{s+c}|X_{c}\right\}.}$

縦棒の右側にあるパウリ演算子は、共有eビットの受信者側の半分を表します。符号化ユニタリは、符号化されていないパウリ演算子を 以下の符号化されたパウリ演算子に変換します。

${\displaystyle \left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s},{\bar {Z}}_{s+1}|Z_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c}|Z_{c},{\bar {X}}_{s+1}|X_{1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}|X_{c}\right\}.}$

送信者は自身の量子ビットすべてをノイズのある量子チャネルを介して送信する。受信者は送信された量子ビットと自身のeビットの半分を取得する。受信者は上記の符号化された演算子を測定してエラーを診断する。最後のステップはエラーを修正することである。

エンタングルメント支援コードのレート

エンタングルメント支援符号のレートは3つの異なる方法で解釈できます（Wilde and Brun 2007b）。エンタングルメント支援量子符号が、 eビットを用いて情報量子ビットを物理量子ビットに符号化すると仮定します。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c}$

• エンタングルメント支援レートは、送信者と受信者の間で共有されるエンタングルメントが自由であると仮定しています。Bennettらは、量子情報を送信するための量子チャネルのエンタングルメント支援容量を導出する際に、この仮定を行っています。エンタングルメント支援レートは、上記のパラメータを持つ符号に対するものです。${\displaystyle k/n}$
• トレードオフレートは、エンタングルメントが自由ではないことを前提としており、レートペアが性能を決定する。レートペアの最初の数値は、チャネル使用ごとに生成されるノイズレス量子ビットの数であり、2番目の数値は、チャネル使用ごとに消費されるeビットの数である。レートペアは、上記のパラメータを持つコードのためのものである。量子情報理論家は、達成可能なレートペアが存在するレート領域を限定する漸近トレードオフ曲線を計算した。エンタングルメント支援型量子ブロックコードの構成は、固定された数と、それぞれの情報量子ビットおよび物理量子ビットの数を与えられた場合に、eビットの数を最小化する。${\displaystyle \left(k/n,c/n\right)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$
• 触媒率は、エンタングルメントビットが伝送された量子ビットを犠牲にして構築されると仮定しています。ノイズのない量子チャネル、またはノイズのある量子チャネルを符号化して使用することは、送信者と受信者の間でエンタングルメントを構築する2つの異なる方法です。コードの触媒率は です。${\displaystyle \left[n,k;c\right]}$ ${\displaystyle \left(k-c\right)/n}$

どの解釈が最も合理的であるかは、コードを使用する状況によって異なります。いずれにせよ、パフォーマンスを解釈するためにどのレート定義を使用するかに関わらず、最終的にはパラメータ、、 がパフォーマンスを左右します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$

エンタングルメント支援コードの例

任意の単一量子ビットエラーを訂正するエンタングルメント支援符号の例を示します（Brun et al. 2006）。送信者が以下の非可換部分群の量子エラー訂正特性を利用したいとします。 ${\displaystyle \Pi ^{4}}$

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}Z&X&Z&I\\Z&Z&I&Z\\X&Y&X&I\\X&X&I&X\end{array}}}$

最初の2つの生成子は反交換性を持つ。3番目の生成子に2番目の生成子を乗じることで、修正された3番目の生成子が得られる。次に、最後の生成子に1番目、2番目、そして修正された3番目の生成子を乗じる。これらの演算において、生成子の誤り訂正特性は不変である。修正された生成子は以下のとおりである。

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}g_{1}&=&Z&X&Z&I\\g_{2}&=&Z&Z&I&Z\\g_{3}&=&Y&X&X&Z\\g_{4}&=&Z&Y&Y&X\end{array}}}$

上記の生成子の集合は、シンプレクティック幾何学の基本定理によって与えられた交換関係を持ちます。

${\displaystyle \left\{g_{1},g_{2}\right\}=\left[g_{1},g_{3}\right]=\left[g_{1},g_{4}\right]=\left[g_{2},g_{3}\right]=\left[g_{2},g_{4}\right]=\left[g_{3},g_{4}\right]=0.}$

上記の生成子の集合は、次の標準生成子とユニタリ的に等価です。

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}X&I&I&I\\Z&I&I&I\\I&Z&I&I\\I&I&Z&I\end{array}}}$

最初の2つのジェネレータの反交換性を解決し、標準的な安定器を取得するために、1つのeビットを追加することができます。

${\displaystyle {\begin{array}{c}X\\Z\\I\\I\end{array}}\left\vert {\begin{array}{cccc}X&I&I&I\\Z&I&I&I\\I&Z&I&I\\I&I&Z&I\end{array}}\right.}$

受信側ボブは左側の量子ビットを所有し、送信側アリスは右側の4つの量子ビットを所有する。次の状態は上記の安定状態の固有状態である。

${\displaystyle \left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{BA}\left\vert 00\right\rangle ^{A}\left\vert \psi \right\rangle ^{A}.}$

ここで、送信者がエンコードしたい量子ビットです。エンコードユニタリは、標準安定子を以下の大域的に可換な生成子の集合に回転します。 ${\displaystyle \left\vert \psi \right\rangle ^{A}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}X\\Z\\I\\I\end{array}}\left\vert {\begin{array}{cccc}Z&X&Z&I\\Z&Z&I&Z\\Y&X&X&Z\\Z&Y&Y&X\end{array}}\right.}$

受信機は、すべての量子ビットを受信すると上記のジェネレータを測定し、エラーを検出して修正します。

エンコードアルゴリズム

前の例を続けます。エンタングルメント支援符号の符号化回路と最適なeビット数を決定するアルゴリズムを詳しく説明します。このアルゴリズムは、(Wilde and Brun 2007a)の付録で初めて登場し、後に(Shaw et al. 2008)の付録でも登場しました。上記の例の演算子は、2値行列として次のように表現されます（スタビライザーコードの記事を参照）。

${\displaystyle H=\left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\1&1&0&1\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right].}$

縦棒の左側の行列を「 マトリックス」、縦棒の右側の行列を「マトリックス」と呼びます。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

アルゴリズムは、上記行列の行演算と列演算で構成されます。行演算はコードの誤り訂正特性には影響しませんが、シンプレクティック幾何学の基本定理から最適な分解に到達するために重要です。上記行列の列を操作するために使用できる演算は、クリフォード演算です。クリフォード演算は、共役の下でパウリ群を保存します。CNOT ゲート、アダマール ゲート、および位相ゲートは、クリフォード群を生成します。量子ビットから量子ビットへのCNOT ゲートは、行列の 列を列に追加し、行列の列を列に追加します。量子ビットのアダマール ゲートは、行列の列を行列の 列と交換し、その逆も同様です。量子ビットの位相ゲートは、行列の 列を行列の列に追加します。3 つの CNOT ゲートは、量子ビット交換操作を実装します。量子ビットと交換の効果は 、と行列の両方で列とを交換することです。 ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

アルゴリズムは、まず最初の行と他のすべての行の間のシンプレクティック積を計算します。ここで強調しておきたいのは、ここでのシンプレクティック積は標準的なシンプレクティック積であるということです。最初の行が2行目とシンプレクティック直交していない場合、または最初の行が他のすべての行とシンプレクティック直交している場合は、行列をそのままにしておきます。それ以外の場合は、2行目を、最初の行とシンプレクティック直交しない最初の利用可能な行と入れ替えます。この例では、1行目は2行目とシンプレクティック直交していないため、すべての行をそのままにしておきます。

行列の左上の要素が1になるように最初の行を配置します。CNOT、スワップ、アダマール演算、またはこれらの演算の組み合わせでこの結果を得ることができます。この例では、1番目と2番目の量子ビットを入れ替えることでこの結果を得ることができます。行列は次のようになります。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&1&1&0\\1&1&0&1\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right].}$

CNOTを実行して、行列の最上行の左端の要素の右側にある要素をクリアします。この例では、これらの要素は既にゼロになっているため、何もする必要はありません。次に、行列の最初の行の要素をクリアします。位相ゲートを実行して、行列の最初の行の左端の要素が1の場合にクリアします。この場合はゼロなので、何もする必要はありません。次に、アダマール変換とCNOTを使用して、行列の最初の行の他の要素をクリアします。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

上記の操作を例に実行します。2番目と3番目の量子ビットに対してアダマール行列を実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\\0&1&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&1&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&1\end{array}}\right].}$

量子ビット1から量子ビット2へ、そして量子ビット1から量子ビット3へCNOTを実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{array}}\right].}$

1行目は完了です。次に、2行目の要素をクリアします。1番目と4番目の量子ビットに対してアダマール行列を実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&1&0&1\\1&1&1&0\\1&1&1&0\end{array}}\right].}$

量子ビット1から量子ビット2へ、そして量子ビット1から量子ビット4へCNOTを実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&1&1\\1&0&1&1\end{array}}\right].}$

最初の2行はこれで完了です。反可換性、つまりシンプレクティック積に対する非直交性を補正するために、1eビットが必要です。

ここで、シンプレクティック積に関して「グラム・シュミット直交化」を行います。行列の最左辺に1を持つ行には、1行目を加算します 。行列の最左辺に1を持つ行には、2行目を加算します 。この例では、1行目を4行目に加算し、2行目を3行目と4行目に加算します。行列は次のように表されます。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{array}}\right].}$

最初の2行は、シンプレクティック幾何学の基本定理により、他のすべての行とシンプレクティック直交する。次の2行についても同じアルゴリズムを実行する。次の2行は互いにシンプレクティック直交するので、個別に処理することができる。2番目の量子ビットに対してアダマール行列を実行する。行列は

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&1\\0&1&1&1\end{array}}\right].}$

2番目の量子ビットから3番目の量子ビットへ、そして2番目の量子ビットから4番目の量子ビットへCNOTを実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right].}$

量子ビット 2 に位相ゲートを実行します。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right].}$

量子ビット 3 でアダマール演算を実行し、続いて量子ビット 2 から量子ビット 3 への CNOT を実行します。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

3 行目を 4 行目に追加し、量子ビット 2 に対してアダマール演算を実行します。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right].}$

4番目の量子ビットにアダマール変換を施し、続いて3番目の量子ビットから4番目の量子ビットへのCNOTを行います。最後に3番目の量子ビットにアダマール変換を施します。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right].}$

上記の行列は、正準パウリ作用素に対応する。受信側にeビットの半分を加えると、同時+1固有状態が上記の状態である正準安定子が得られる。上記の操作を逆順に行うことで、正準安定子は符号化安定子に変化する。

参考文献

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