エントロピー（天体物理学）

天体物理学において「エントロピー」と呼ばれるものは、実際には次のように導かれる断熱定数である。^[1]

熱力学の第一法則を準静的、微小プロセスに適用し、静水圧システムに適用する

${\displaystyle dQ=dU-dW.}$ ^[2]

この特殊なケースの理想気体では、内部エネルギーUは温度 Tのみの関数となるため、熱容量のTに関する偏微分は全微分と全く同じであり、何らかの操作によって

${\displaystyle dQ=C_{\text{v}}dT+P\,dV.}$

理想気体の法則の微分版、前の式、そして一定圧力を仮定してさらに操作すると、次の式が得られる。

${\displaystyle dQ=C_{\text{p}}dT-V\,dP.}$

断熱過程 の場合、を 思い出すと^{[3] 、}${\displaystyle dQ=0\,}$ ${\displaystyle \gamma ={C_{\text{p}}}/{C_{\text{v}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {V\,dP=C_{\text{p}}dT}{P\,dV=-C_{\text{v}}dT}}}$

${\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {dV}{V}}\gamma .}$

この簡単な微分方程式を解くと、

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}=K}$

この式は断熱定数K（アディアバットとも呼ばれる）を表す式として知られている。理想気体方程式から、

${\displaystyle P={\frac {\rho k_{\text{B}}T}{\mu m_{\text{H}}}},}$

ここではボルツマン定数である。これを上の式に代入し、理想単原子気体のと を代入する と、${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle V=[\mathrm {g} ]/\rho \,}$ ${\displaystyle \gamma =5/3\,}$

${\displaystyle K={\frac {k_{\text{B}}T}{(\rho /\mu m_{\text{H}})^{2/3}}},}$

ここで、はガスまたはプラズマの平均分子量である^[4]。は水素原子の質量であり、これは陽子の質量に非常に近い。この量は銀河団の天体物理学理論でより頻繁に用いられる。これは天体物理学者が「エントロピー」と呼ぶもので、単位は[keV⋅cm ² ]である。この量は熱力学的エントロピーと次のように関係している。 ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle m_{\text{H}}}$ ${\displaystyle m_{p}}$

${\displaystyle \Delta S=3/2\ln K.}$

参考文献

1. 「断熱条件の発達」hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . 2024年11月3日閲覧。
2. "m300l5". personal.ems.psu.edu . 2024年11月3日閲覧。
3. Arfken, George B.; Griffing, David F.; Kelly, Donald C.; Priest, Joseph (1984). 「物質の熱的性質」. University Physics . pp.  412– 428. doi :10.1016/B978-0-12-059860-1.50027-8. ISBN 978-0-12-059860-1。
4. 「平均分子量」（PDF） .