等振動定理

数学において、等振動定理（イクイオシレーションていりょう）は、メリット関数が最大差（一様ノルム）となる場合の、連続関数の多項式を用いた近似に関する定理である。その発見はチェビシェフによるものとされている。^[1]

声明

をから までの連続関数とする。次数 のすべての多項式の中で、がの差の一様ノルムを最小化する多項式は、が -1 または +1 となる点が存在する場合に限ります。 ^{[1] [2]}${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \|fg\|_{\infty }}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle a\leq x_{0}, x_{1}, <x_{n+1}\leq b}$ ${\displaystyle f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}\|fg\|_{\infty}}$ ${\displaystyle \sigma }$

つまり、多項式は補間点において上下に振動し、その度合いは同じです。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

証拠

等振動条件を定理の記述にある条件、つまり、差の符号が交互に変化し、大きさが の均一ノルムに等しいような順序付けられた点が区間内に存在するという条件として定義しましょう。 ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle f(x_{i})-g(x_{i})}$ ${\displaystyle f(x)-g(x)}$

この条件は、多項式が の最良の均一近似になるために「十分」であることを証明する必要があります。また、この条件は、多項式が の最良の均一近似になるために「必要」であることを証明する必要があります。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

十分

矛盾により、を一様に良く近似する次数以下の多項式が存在すると仮定する。これは を意味する。すると、多項式 ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|fp\|_{\infty }<\|fg\|_{\infty }}$

${\displaystyle h(x)=g(x)-p(x)=(g(x)-f(x))-(p(x)-f(x))}$

も の次数以下である。しかし、の任意の点について、 であることは明らかである。なぜなら、 であり、 （ は よりも良い近似値であるため）からである。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},...x_{n}}$ ${\displaystyle |p(x_{i})-f(x_{i})|<|g(x)-f(x)|}$ ${\displaystyle |p(x_{i})-f(x_{i})|\leq \|fp\|_{\infty}}$ ${\displaystyle \|fp||_{\infty }<\|fg\|_{\infty }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$

したがって、は と同じ符号を持ちます（第2項の絶対値が第1項よりも小さいため）。したがって、もこれらの点で符号が交互になり、少なくとも 個の根を持ちます。しかし、は最大次数の「多項式」であるため、最大で 個の根しか持たないはずです。これは矛盾です。 ${\displaystyle h(x_{i})=(g(x_{i})-f(x_{i}))-(p(x_{i})-f(x_{i}))}$ ${\displaystyle g(x_{i})-f(x_{i})}$ ${\displaystyle h(x_{i})}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

必要性

多項式 が与えられたとき、 を定義します。 が と等しい場合、その点を上点、 が と等しい場合、下点と呼びます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M=\|f(x)-g(x)\|_{\infty}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)-g(x)=M}$ ${\displaystyle -M}$

交代集合（多項式および関数が与えられた場合）を内の順序付けられた点の集合として定義し、交代集合内のすべての点に対して（前述と同様にまたはに等しい）が成り立つようにします。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},...x_{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}M}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

区分交代集合を、セクションと呼ばれる空でない閉区間を伴う交代集合として定義し、1. セクションが分割する（セクションの和が区間全体となり、任意の2つのセクションの交差が空か単一の共通端点となることを意味する）。2. 任意の について、番目の交代点は番目のセクションに含まれる 。3. が上側の点である場合、 には下側の点が含まれない。同様に、が下側の点である場合、 には上側の点が含まれない。 ${\displaystyle x_{0},...x_{n}}$ ${\displaystyle I_{0},...I_{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle I_{i}}$

等振動条件を満たさない近似多項式が与えられた場合、その多項式が2点交代集合を持つことを示すことができます。この交代集合は、区分交代集合に拡張できます。この区分交代集合を用いて近似を改善できます。ただし、区分交代集合が点を超える場合は、改善しても最大次数の多項式のままであることが保証されません。^{[説明が必要]}${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle n}$

変種

等振動定理は、多項式を有理関数に置き換えた場合にも成り立ちます。分子が次数で分母が次数 であるすべての有理関数の中で、次数との互いに素な多項式である有理関数 は、となる点が存在する場合にのみ、差の一様ノルムを最小化します。ただし、は-1 または +1 です。^[1]${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle \leq m}$ ${\displaystyle g=p/q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n-\nu }$ ${\displaystyle m-\mu }$ ${\displaystyle \|fg\|_{\infty }}$ ${\displaystyle m+n+2-\min\{\mu ,\nu \}}$ ${\displaystyle a\leq x_{0}x_{1}\cdots <x_{m+n+1-\min\{\mu ,\nu \}}\leq b}$ ${\displaystyle f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}\|fg\|_{\infty}}$ ${\displaystyle \sigma }$

アルゴリズム

いくつかのミニマックス近似アルゴリズムが利用可能ですが、最も一般的なのはRemez アルゴリズムです。

参考文献

1. ゴロム、マイケル (1962). 近似理論に関する講義.
2. 「チェビシェフの等振動定理の証明方法に関するメモ」（PDF） 。 2011年7月2日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2022年4月22日閲覧。

外部リンク

• ウェイバックマシンにおけるチェビシェフの等振動定理の証明方法に関するメモ（2011年7月2日アーカイブ）
• ロバート・マヤンズによるチェビシェフの等振動定理
• 数学百科事典におけるドゥ・ラ・ヴァレ＝プッサンの交代定理
• レムコ・ブルーメンによる近似理論