スタックのチャウグループ
代数幾何学における概念

代数幾何学において、スタックのチャウ群は、多様体またはスキームのチャウ群をスタックに一般化したものである。商スタックの場合、 Xのチャウ群はYのG同変チャウ群と同じである。 X ＝ [ はい / G ] {\displaystyle X=[Y/G]}

多様体のチャウ群理論との重要な違いは、サイクルが非自明な自己同型を持つことが許されており、したがって交差理論的な操作ではこれを考慮に入れなければならない点である。例えば、スタック上の0サイクルの次数は整数である必要はなく、有理数となる（非自明な安定子の存在による）。

定義

アンジェロ・ヴィストーリ (1989) は、（分離した）ドリーニュ・マンフォードスタックのチャウ群の基礎理論（主にQ上）を展開した。そこでは、チャウ群は古典的な場合と全く同じように定義され、有理数同値性を法として整閉サブスタックによって生成される自由アーベル群である。

スタックX が、線型代数群Gの線型化作用を持つ準射影多様体Yの商スタック として書ける場合、 Xの Chow 群はYのG -同変 Chow 群として定義されます。このアプローチは、Dan Edidin、William A. Graham、そしてBurt Totaroによって導入・発展されました。その後、Andrew Kresch (1999) は、この理論を商スタックによる成層化を許容するスタックに拡張しました。 X ＝ [ はい / G ] {\displaystyle X=[Y/G]}

代数的スタックの高次チャウ群（モティヴィックホモロジーの前身）については、ロイ・ジョシュアのスタックの交差理論IとIIを参照してください。[1]

例

計算は定義に依存する。したがって、ここでは公理的に進める。具体的には、以下の仮定を置く。基底体k上の局所的に有限型の代数スタックXが与えられ、

  1. (ホモトピー不変性) EがX上の階数n のベクトル束である場合、。 あ p （ E ） ＝ あ p − n （ X ） {\displaystyle A_{p}(E)=A_{pn}(X)}
  2. 次元 < pの各整数サブスタックZに対して、局所化シーケンスの系が成り立ちます。 あ p （ X − Z ） ＝ あ p （ X ） {\displaystyle A_{p}(XZ)=A_{p}(X)}

これらの特性は、 Xが Deligne-Mumford である場合に有効であり、他の合理的な理論でも当てはまると予想されます。

X を分類スタック、すなわち滑らかな線型代数群Gの主G束のスタックとします。定義により、これは商スタック です。ここで、* は * = Spec kに関連付けられたスタックとみなされます。これを次のように近似します。整数pが与えられたとき、 G が自由に作用し、補集合が余次元 を持つ、VのG不変開集合U が存在するような表現を選びます。作用 による の商を とします。作用は自由であり、上のベクトル束も自由であることに注意します。このベクトル束に特性1を適用すると、 B G {\displaystyle BG} [ ∗ / G ] {\displaystyle [*/G]} G → G L （ V ） {\displaystyle G\to GL(V)} Z ＝ V − あなた {\displaystyle Z=VU} > − 薄暗い ⁡ G − p {\displaystyle >-\operatorname {dim} Gp} ∗ × G V {\displaystyle *\times _{G}V} ∗ × V {\displaystyle *\times V} （ × 、 v ） ⋅ グラム ＝ （ × グラム 、 グラム − 1 v ） {\displaystyle (x,v)\cdot g=(xg,g^{-1}v)} ∗ × G V {\displaystyle *\times _{G}V} B G {\displaystyle BG}

あ p （ B G ） ＝ あ p + 薄暗い ⁡ V （ ∗ × G V ） 。 {\displaystyle A_{p}(BG)=A_{p+\dim V}(*\times _{G}V).}

そして、性質2より、 ∗ × G あなた ＝ あなた / G {\displaystyle *\times _{G}U=U/G}

あ p + 薄暗い ⁡ V （ ∗ × G V ） ＝ あ p + 薄暗い ⁡ V （ あなた / G ） {\displaystyle A_{p+\dim V}(*\times _{G}V)=A_{p+\dim V}(U/G)}

以来。 薄暗い ⁡ [ Z / G ] ＝ 薄暗い ⁡ Z − 薄暗い ⁡ G < 薄暗い ⁡ V + p {\displaystyle \dim[Z/G]=\dim Z-\dim G<\dim V+p}

具体的な例として、 とを にスケーリングして作用させるとします。すると は に自由に作用します。上記の計算により、となる整数n , pの各ペアに対して、 G ＝ G メートル {\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}} あ n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} G メートル {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} あなた ＝ あ n − { 0 } {\displaystyle U=\mathbb {A} ^{n}-\{0\}} n + p ≥ 0 {\displaystyle n+p\geq 0}

あ p （ B G メートル ） ＝ あ p + n （ P n − 1 ） 。 {\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=A_{p+n}(\mathbb {P} ^{n-1}).}

特に、任意の整数p ≥ 0に対して、 。一般に、超平面類hに対して、k回の自己交差があり、負のkに対しては、 あ p （ B G メートル ） ＝ 0 {\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=0} あ n − け （ P n ） ＝ 質問 h け {\displaystyle A_{nk}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {Q} h^{k}} h け {\displaystyle h^{k}} h け ＝ 0 {\displaystyle h^{k}=0}

あ p （ B G メートル ） ＝ 質問 h − 1 − p {\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} h^{-1-p}}

ここで、右辺は計算に使用したモデルに依存しません（異なるhが射影空間間の射影の下で対応するため）。 の場合、クラス（任意のn）は の基本クラスと考えることができます。 p ＝ − 1 ＝ 薄暗い ⁡ B G メートル {\displaystyle p=-1=\dim B\mathbb {G} _{m}} h 0 ＝ [ P n ] {\displaystyle h^{0}=[\mathbb {P} ^{n}]} B G メートル {\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}

同様に、

あ ∗ （ B G メートル ） ＝ 質問 [ c ] {\displaystyle A^{*}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} [c]}

ここではhの第一チャーン類である（そしてcとh は射影空間のチョウ群とチョウ環が同一視される際に同一視される）。 なので、 はによって生成される自由 - 加群である。 c ＝ c 1 （ h ） {\displaystyle c=c_{1}(h)} h け ＝ c ⋅ h け − 1 {\displaystyle h^{k}=c\cdot h^{k-1}} あ ∗ （ B G メートル ） {\displaystyle A_{*}(B\mathbb {G} _{m})} 質問 [ c ] {\displaystyle \mathbb {Q} [c]} h 0 {\displaystyle h^{0}}

仮想基本クラス

この概念はシンプレクティック幾何学における倉西理論に由来する。[1] [2]

Behrend (2009)の§2では、DMスタックXとXへの固有の法線錐C Xが与えられたとき、K. BehrendはXの仮想基本類を次のように 定義している。

[ X ] ヴィル ＝ s 0 ! [ C X ] {\displaystyle [X]^{\text{vir}}=s_{0}^{!}[C_{X}]}

ここで、s 0は完全遮蔽理論によって決定される円錐の零断面であり、s 0 !はフルトンの「交差理論」で定義された改良されたギシン準同型である。同論文では、この類の次数、つまりその積分は、Xのベーレンド関数の重み付きオイラー標数に等しいことが示されている。

より最近の（2017年頃）アプローチでは、導来代数幾何学の文脈でこのタイプの構築を行っています。[3]

参照

注記

  1. ^ 深谷健二; 小野薫 (1999). 「アーノルド予想とグロモフ・ウィッテン不変量」.トポロジー. 38 (5): 933–1048 . doi : 10.1016/s0040-9383(98)00042-1 . MR  1688434.
  2. ^ Pardon, John (2016-04-28). 「擬正則曲線のモジュライ空間における仮想基本サイクルへの代数的アプローチ」. Geometry & Topology . 20 (2): 779–1034 . arXiv : 1309.2370 . doi :10.2140/gt.2016.20.779. ISSN  1364-0380. S2CID  119171219.
  3. ^ § 1.2.1. Cisinski, Denis-Charles; Khan, Adeel A. (2017-05-09). 「Brave new motivic homotopy theory II: Homotopy invariant K-theory」. arXiv : 1705.03340 [math.AT].

参考文献

  • ベーレンド、カイ(2009)、「微小局所幾何学によるドナルドソン・トーマス型不変量」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、170 (3): 1307– 1338、arXiv : math/0507523、doi :10.4007/annals.2009.170.1307、MR  2600874
  • Ciocan-Fontanine, Ionuț; Kapranov, Mikhail (2009). 「dg–多様体による仮想基本類」. Geometry & Topology . 13 (3): 1779– 1804. arXiv : math/0703214 . doi :10.2140/gt.2009.13.1779. MR  2496057. S2CID  1211344.
  • Fantechi, Barbara、「代数スタック上の仮想プルバック」（PDF）
  • Kresch, Andrew (1999)、「アルティンスタックのサイクル群」、Inventiones Mathematicae、138 (3): 495– 536、arXiv : math/9810166、Bibcode :1999InMat.138..495K、doi :10.1007/s002220050351、S2CID  119617049
  • トタロ、バート(1999)、「分類空間のチャウ環、代数的K理論」、純粋数学シンポジウム、第67巻、アメリカ数学会、pp.  249– 281、MR  1743244、Zbl  0967.14005
  • ヴィストリ, アンジェロ (1989)、「代数スタックとそのモジュライ空間上の交差理論」、Inventiones Mathematicae、97 (3): 613– 670、Bibcode :1989InMat..97..613V、doi :10.1007/BF01388892、MR  1005008、S2CID  122295050
  • Nabijou, Navid (2015), Virtual Fundamental Classes in Gromov Witten Theory (PDF) , archived from the original (PDF) on 2017-05-16 , retrieved 2017-07-20
  • シェン・ジュンリャン（2014）「仮想基本クラスの構築と応用」（PDF）
  • 働く数学者のためのバーチャルクラス
  • DT不変量としての五次曲線上の直線の古典的な数2875
  • Artin StackでNaive Chowグループを使用する際の主な失敗は何ですか？
  • 仮想基本サイクルの局所モデル
  • https://ncatlab.org/nlab/show/virtual+fundamental+class
  • 仮想基礎クラスについて - Kai Behrend によるスライド
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